高一数学必修2第二章测试题及答案解析同名8164Word下载.docx
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1EFXAAi;
②EFIIAC;
③EF与AC异面;
④EFI平面ABCD.其中一定正确的有()
A.①②B.②③C.②④D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,a,B为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是()
A.若a,b与a所成的角相等,则a//b
B.若aIa,bI伏a//B,贝yaIb
C.若a?
BaIb,贝UaI[3
D.若aXa,bX3aXB贝UaXb
9.已知平面a丄平面3aQ3=I,点A€a,A?
l,直线ABII,直线ACXI直线mIanI3则下列四种位置关系中不一定成立的是
A.ABImB.ACXmC.ABI3D.ACX3
10已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为BBi、CC1的中点,那么直线AE与DiF所成角的余弦值为()
4333
a.—4B..5C・3D.—3
11.已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=「3,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为(_)
C.0
A.fB.|C.0D.—1
12.如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA丄平面ABCD,FA=AB,则PB与AC所成的角是()
A.90°
B.60
二、填空题
13.
14.正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角G—AB—C的平面角等于
15.设平面a//平面伏A,C€a,B,D€3直线AB与CD交于点
S,且点S位于平面a3之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C,有如下四个结论:
1AC丄BD;
2厶ACD是等边三角形;
3AB与平面BCD成60°
的角;
4AB与CD所成的角是60°
其中正确结论的序号是.
三、解答题
17.如下图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC与厶AiBiCi都为正三
求证:
(1)平面ABiFi//平面CiBF;
⑵平面ABiFi丄平面ACGAi.
18如图所示,在四棱锥F-ABCD中,FA丄平面ABCD,AB=4,BCE是CD的中点.
(1)证明:
CD丄平面PAE;
⑵若直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥F-ABCD的体积.
19如图所示,边长为2的等边△FCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2■'
,2,M为BC的中点.
AM丄FM;
⑵求二面角F-AM-D的大小.
20如图,棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCCiBi是菱形,BiC丄AiB.
平面ABiC丄平面AiBCi;
DCi的值.
⑵设D是AiCi上的点,且AiB//平面BiCD,求AiD
2i如图,△ABC中,AC=BC=^AB,ABED是边长为i的正方形,平面ABED丄底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(i)求证:
GF//底面ABC;
⑵求证:
AC丄平面EBC;
⑶求几何体ADEBC的体积V.
22女口下图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4,点D是AB的中点.
(1)求证:
ACi//平面CDBi;
⑶求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.
详解答案
1[答案]D
2[答案]C
[解析]AB与CCi为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:
第一类与AB平行与CCi相交的有:
CD、C1D1
与CCi平行且与AB相交的有:
BBi、AAi,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
3[答案]C
[解析]1°
直线I与平面a斜交时,在平面a内不存在与I平行的直线,
•••A错;
2°
l?
a时,在a内不存在直线与I异面,「・D错;
3°
l//a时,在a内不存在直线与I相交.
无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.
4[答案]D
[解析]由于AD//AiDi,贝U/BAD是异面直线AB,AiDi所成的角,很明显ZBAD=90°
5[答案]B
[解析]对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;
对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在a,使a?
a,b//a,B正确;
对于选项C,a丄a,b丄a,—定有a//b,C错误;
对于选项D,a?
a,b±
a,—定有a丄b,D错误.
6[答案]D
[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;
根据等角定理,可知③正确;
对于④,在平面内,a//c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7[答案]D
[解析]如图所示.由于AAi丄平面AiBiCiDi,EF?
平面AiBiCiDi,则EF丄AAi,所以①正确;
当E,F分别是线段AiBi,BiCi的中点时,EF//AiCi,又AC//AiCi,贝SEF//AC,所以③不正确;
当E,F分别不是线段AiBi,BiCi的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;
由于平面AiBiCiDi//平面ABCD,EF?
平面AiBiCiDi,所以EF//平面ABCD,所以④正确.
5c
8[答案]D
[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;
选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;
选项C中,aB还可能相交,所以C是假命题;
选项D中,由于a丄aa丄伏则a/B或a?
B,贝卩B内存在直线I//a,又b丄B,则b±
l,所以a丄b.
9[答案]C
[解析]如图所示:
AB//I//m;
AC丄l,m//l?
AC丄m;
AB//I?
AB//B
3
10[答案]3命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.
[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFDi即为
异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到
'
5=DF=DiF,DDi=2,结合余弦定理得到结论.
11[答案]C
[解析]取BC中点E,连AE、DE,可证BC丄AE,BC丄DE,「.zAED为二面角A-BC-D的平面角又AE=ED=2,AD=2,「・zAED=90°
故选C.
12[答案]B
[解析]将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB//SC,mCS为正
13[答案]
14[答案]45°
[解析]如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,由于BC丄AB,BG丄AB,贝卩ZC1BC是二面角C1—AB—C的平面角.又△BCC1是等腰直
角三角形,则/CiBC=45°
TallB,「.AC//BD,
ASCS812
则SB=SD,A6=SD,解得SD=9.
16[答案]①②④
[解析]如图所示,①取BD中点,E连接AE,CE,贝yBD丄AE,BD
丄CE,而AEACE=E,「.BD丄平面AEC,AC?
平面AEC,故AC丄
BD,故①正确.
2设正方形的边长为a,则AE=CE=a.
由①知ZAEC=90是直二面角A—BD—C的平面角,且/AEC=90°
.••AC=a,
•••/ACD是等边三角形,故②正确.
3由题意及①知,AE丄平面BCD,故/ABE是AB与平面BCD所成的角,而ZABE=45°
所以③不正确.
4分别取BC,AC的中点为M,N,
连接ME,NE,MN.
11
贝卩MN//AB,且MN=2AB=qa,
ME//CD,且ME=2CD=2a,
•••zEMN是异面直线AB,CD所成的角.
亠亠x/2
在RtAAEC中,AE=CE=-^a,AC=a,
「•NE=2AC=2a.•△MEN是正三角形,「./EMN=60°
故④正确.
17[证明]
(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中,
TF、F1分别是AC、A1C1的中点,
•••B1F1//BF,AF1//C1F.
又TB1F1QAF1=F1,C〔FnBF=F,
•平面AB1F1//平面GBF.
(2)在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1丄平面A1B1C1,「.B1F1丄AA1.又B1F1丄A1C1,A1C1nAA1=A1,
「•B1F1丄平面ACC1A1,而B1F1?
平面AB1F1,
•平面AB1F1丄平面ACC1A1.
18[解析]
(1)如图所示,连接AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90°
得AC=5.
又AD=5,E是CD的中点,所以CD丄AE.
••PA丄平面ABCD,CD?
平面ABCD,所以PA丄CD.
而FA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD丄平面PAE.
⑵过点B作BG//CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由
(1)CD丄平面PAE知,BG丄平面PAE.于是ZBPF为直线PB与平面
PAE所成的角,且BG丄AE.
由PA丄平面ABCD知,/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB=4,AG=2,BG丄AF,由题意,知/PBA=ZBPF,
所以PA=BF.
因为sinZPBA=PB,sin/BPF=|B,
由ZDAB=ZABC=90知,AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG
是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt^BAG中,AB=4,AG=2,BG丄AF,所以
BG=pB2+AG2=2质,BF=AB|=務=皆.于是PA=BF=皆.
1
又梯形ABCD的面积为S=十(5+3)X4=16,所以四棱锥P-ABCD
的体积为
1ci1_85128‘5
V=^xSxPA=tX16X=.
33515
19[解析]
(1)证明:
如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,
•••△CD为正三角形,
「PE丄CD,PE=PDsinZPDE=2sin60=°
3.
••平面PCD丄平面ABCD,
「PE丄平面ABCD,而AM?
平面ABCD,「・PE丄AM.
•四边形ABCD是矩形,
「•/ADE,△ECM,AABM均为直角三角形,由勾股定理可求得EM
=.'
3,AM=:
6,AE=3,
•••EM2+AM2=AE2「AM丄EM.
又PEAEM=E,「AM丄平面PEM,「・AM丄PM.
(2)解:
由
(1)可知EM丄AM,PM丄AM,
「•zPME是二面角P-AM—D的平面角.
「•二面角P—AM—D的大小为45:
20[解析]
(1)因为侧面BCCiBi是菱形,所以BiC丄BCi,又已知BiC丄AiB,且AiBABCi=B,
所以BiC丄平面AiBCi,又BiC?
平面ABiC所以平面ABiC丄平面AiBCi.
(2)设BCi交BiC于点E,连接DE,则DE是平面AiBCi与平面BiCD的交线.
因为AiB//平面BiCD,AiB?
平面AiBCi,平面AiBCiA平面BiCD=DE,所以AiB//DE.
又E是BCi的中点,所以D为AiCi的中点.
即AiDDCi=i.
2i[解](i)证明:
连接AE,如下图所示.
VADEB为正方形,
•••AEABD=F,且F是AE的中点,
又G是EC的中点,
•••GF//AC,又AC?
平面ABC,GF?
平面ABC,
•••GF//平面ABC.
(2)证明:
VADEB为正方形,•EB丄AB,
又V平面ABED丄平面ABC,平面ABEDA平面ABC=AB,EB?
平面ABED,
•BE丄平面ABC,「.BE丄AC.
又*/AC=BC="
^AB,
•••CA2+CB2=AB2,
•••AC丄BC.
又vBCABE=B,「.AC丄平面BCE.
J2x[2
⑶取AB的中点H,连GH,VBC=AC=pAB=p,
•CH丄AB,且CH=㊁,又平面ABED丄平面ABC
111
•GH丄平面ABCD,:
S1X£
=.
326
22[解析]
(1)证明:
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面三边长AC
=3,BC=4,AB=5,「・AC丄BC.
又TGC丄AC.「AC丄平面BCC1B1.
••BG?
平面BCGB,「.AC丄BG.
⑵证明:
设CB1与GB的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
VD是AB的中点,E是BC1的中点,二DE//AG.
VDE?
平面CDB1,AG?
平面CDB1,
•••AC//平面CDB1.
(3)解:
TDE//AG,
•zCED为AC1与B1C所成的角.
在△CED中,ED=推1=2,
151厂
CD=2AB=2,CE=2CB1=22,
二异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为牛2