线性方程组的数值解法与非线性方程求解Word下载.docx
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（2）体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。
（3）加深对数值计算误差的理解。
（4）学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。
（5）学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。
2.实验内容：
、
（1）输电网络：
一种大型输电网络可简化为图所示电路，其中R1,R2,…,Rn表示负载电阻，r1，r2,…,rn表示线路内阻，I1,I2,…,In表示负载上的电流，设电源电压为V。
1）列出求各负载电流I1,I2,…,In的方程；
2）设R1=R2=…=Rn=R，r1=r2=…=rn=r,在r=1，R=6,V=18，n=10的情况求I1,I2,…,In及总电流I0。
（2）种群的的繁殖与稳定收获：
种群的数量因素因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见一下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作bk（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作sk（=1-dk，dk为一年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量xk应为x1=cigmabkxk，xk+1=skxk-hk（k=1,2,3，…，n-1）。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使xk=xk（k=1,2,…,n）.
1）若bk，sk已知，给定收获量hk，建立求各个年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵、向量表示）
2）设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如要求h1~h5为500,400,200,100，100，求x1~x5.
3）要使h1~h5均为500，如何达到？
（3）1）小张夫妇以按揭的方式贷款买了1套价值为20万的房子，首付了5万元。
每月还款1000元，15年还清。
问贷款利率是多少？
2）某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；
第二家银行开出的条件是每年45000元，20年还清。
从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率*12）
（4）用迭代公式yk+1=byk（1-yk）计算序列yk（k=0,1,2，…），其中b取1.3,2.8,3.2,3.5,3.55,3.7，任意取y0（0<
y0,1）,观察其收敛性。
3.实验步骤：
（1）1）记r1…rn上的电流为i…in。
设电源负极为电势为0，电阻R1上对应节点电压为V1，对于任意节点，根据KCL定律列出方程：
而
，可得：
k=2，3，……，n-1；
k=1时，
，
为与上式形式一致，化为
k=m（
）时，
k=n时，
设以上方程组的矩阵形式为：
则
k=n时，
则
2）代入参数：
，V=18，n=10，
输入程序：
>
n=10;
%由题目要求设定
A11=sparse（1:
n-1,1:
n-1,-1,n,n）;
%定义A的对角元素，除（n,n）
A12=sparse（n,n,-0.5,n,n）;
%定义（n,n）
A1=A11+A12;
%对角元素
A2=sparse（1:
n-1,2:
n,0.5,n,n）;
%输入A的上次对角元素
A3=sparse（2:
n,1:
n-1,0.5,n,n）;
%输入A的下次对角元素
A=A1+A2+A3;
b1=0.5*ones（n,1）;
%b的除第一项元素
b2=sparse（1,1,18,n,1）;
%b的第一项元素
b=b1-b2;
R=A\b
得到结果：
R=
26.0000
17.0000
9.0000
2.0000
-4.0000
-9.0000
-13.0000
-16.0000
-18.0000
-19.0000
所以各阻值为
（R1，R2，…，R10）=（26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19）
总电阻R0（即输入等效电阻）为
，又
得到
（2）
1）要使各年龄种群数量每年维持不变即
依题意得
用矩阵形式表示原方程组为：
，
2）代入题中数据
，
3）要使h1~h5均为500，则h变为：
formatbank;
A1=[0.4,-1,0,0,0
0,0.6,-1,0,0
0,0,0.6,-1,0
0,0,0,0.4,-1
-1,0,5,3,0];
h1=[500,400,200,100,0]'
;
x1=A1\h1
formatbank;
A2=[0.4,-1,0,0,0
h2=[500,500,500,500,0]'
x2=A2\h2
A3=[0.6,-1,0,0,0
0,0.8,-1,0,0
0,0,0.8,-1,0
0,0,0,0.6,-1
-1,0,1,2,0];
h3=[500,500,500,500,0]'
x3=A3\h3
结果：
x1=
8481.01
2892.41
1335.44
601.27
140.51
x2=
10981.01
3892.41
1835.44
-259.49
x3=
13467.74
7580.65
5564.52
3951.61
1870.97
从x1可以看出，第5年龄段：
x5=140.5>
100=h5，说明收获量h5可以达到100。
从x2可以看出，x5为-259.49，但种群数量不可能为负数，在本题所给条件下，无法使h1~h5均为500。
从x3可以看出，x5=1870>
500=h5，说明收获量h5可达到500，从而h1~h5均可达到500。
（3）
1）由题目已知条件，假设第i月月初待还贷款为
，贷款月利率为r，则可列出：
=150000
=
*（1+r）-1000…
=1000/r+（
-1000/r）
2）记第一家银行月利率为s，第二家银行年利率为t,则：
=4500/s+（
-4500/r）
1）r=fzero（inline（'
1000/r+（150000-1000/r）*（1+r）^180'
）,1）
2）r1=fzero（inline（'
4500/s+（500000-4500/s）*（1+s）^180'
r2=fzero（inline（'
45000/t+（500000-45000/t）*（1+t）^20'
ifr1<
r2/12
disp（'
第一家月利率小'
）;
else
第二家月利率小'
end
实验结果：
r=0.0021
r1=0.0059r2=0.0639第二家月利率小
（4）
n=20;
y=1:
n;
y
（1）=0.5
fork=1:
（n-1）
y（k+1）=1.3*y（k）*（1-y（k））;
end;
y;
y=
Columns1through12
0.50000.32500.28520.26500.25320.24580.24100.23780.23560.23410.23310.2324
Columns13through20
0.23190.23160.23130.23120.23100.23100.23090.2309
4.实验数据记录及分析（或程序及运行结果）：
（结果已在上一步中给出）
通过这次实验，是我对线性方程和非线性方程有了更进一步的认识，并且对于它们的解法也有了更深入的了解。
它们可以解决很多实际问题。
所以熟练的掌握它们对于解决现实中的问题有很大的帮助。
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