电大数学思想方法复习资料Word文件下载.docx
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28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手（演绎证明此猜想为真、或者寻找反例说明此猜想为假），并进一步修正或否定此猜想。
29、化归方法的三个要素是（化归对象、化归目标、化归途径）
30、根据学生掌握数学思想方法的过程由潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，课相应地将数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。
31、（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力地纽带，是数学科学地灵魂，它对发展学生的数学能力，通过学生的思维品质都具有十分重要的作用。
32、概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等主要环节。
33、算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解决）
34、数学从研究对象大致可分成两大类：
数量关系、空间形式。
35、个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，不重复．无遗漏进行的划分。
36、分类必须遵循的原则是①不重复，②无遗漏，③标准同一④按层次逐步划分。
37、深层类比又称实质性类比，是通过对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。
二、判断题（只要答是或否）
1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是）
2、抽象得到的新概念与表达原来的对象的概念之间一定有种属关系（否）
3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明（否）
4、九章算术不包括代数、几何内容（否）
5、即没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识（是）
6、数学模型方法在生物学。
经济学、军事学等领域没应用（否）
7、在解决数学解时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果（是）
8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该解的精确解。
（否）
9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可得到不同的分类（是）
10、数学思想方法教学隶属于教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则，就可实现数学思想方法的教学目标（否）
11、由类比法推得的结论必然正确（否）
12、有时特殊情况能与一般情况等价（否）
13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴（是）
14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明，不懂几何的人不得入内，这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识（否）
15、完全归纳法的一般推理形式是：
设s=A1A2An,由于A1A2An具有性质P，因此推断几何s中的每一个对象都具有性质P（否）
16．抽象和概括是两种完全不同的方法否
17．没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识．是
18．数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域投有应用．否
19．特殊化是研究共性中的个性的一种方法。
（否）
20．数学模型方法应用面很窄。
1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。
（对）
2．数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。
（错）
3．数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。
4．猜想具有两个显著的特点：
一定的科学性和一定的推测性。
（对）
5．表层类比和深层类比其涵义是一样的。
（错）
1．数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法证明了其无解。
2．分类方法具有两要素；
母项与子项。
3．算法具有无限性、不确定性与有效性。
4．理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。
5．最早使用数学模型方法的当数中国古人。
三、选择
1．数学的第一次危机是由于出现了（C）而造成的。
A.无理数（或√虿）B．整数比詈不可约
C．无理数（或厄）D.有理数无法表示正方形边长
2．数学的第二次危机是17世纪伴随牛顿和莱布尼兹创立（A）而产生的。
A．微积分B．解析几何C．数学悖论D.无理数厄
4．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（B）。
A．猜测一类比一联想B．联想一类比一猜测
C．类比一联想一猜测D．类比一猜测一联想
5．归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，思维步骤是（D）。
A．归纳一猜测一特例B.猜测一特例一归纳
C．特例一猜测一归纳D．特例一归纳一猜测
6．传统数学教学只注重（A）的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
A．形式化B．科学化
C．系统化D．模型化
7．所谓统一性，就是（C）之间的协调。
A．整体与整体B．部分与部分
C.部分与部分、部分与整体D．个别与集体
8．中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》____的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
（A）
A．以算为主逻辑演绎B．演绎为主推理证明
C模型计算为主几何作画为主D．模型计算几何证明
9．所谓数学模型方法是（B）。
A．利用数学实验解决问题的一般数学方法
B．利用数学模型解决问题的一般数学方法
C．利用数学理论解决问题的一般数学方法
D．利用几何图形解决问题的一般数学方法
10．公理化方法就是从（D）出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。
A．一般定义和公理B．特定定义和概念
C．特殊概念和公理D．初始概念和公理
1．概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——（B）的认识。
A.由对个体特性的认识抽象为对种的特性
B．由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性
C．由对个体特性的认识上升为对个体所属的属的特性
D．由对个体特性的认识抽象为对个体所属的种的特性
3．反驳反例是用否定____的一种思维形式。
（D）
A．一般特殊B．实例特例
C．特殊特例D．特殊一般
6.传统数学教学只注重（D）的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
A．理论化B．实践化
C．模式化D．形式化
9．我国《数学课程标准》（实验稿）的总体目标指出，数学知识包括和。
（B）
A．数学知识数学思想B．数学事实数学活动经验
C．数学理论数学实践D．数学模型数学活动经验
10.所谓特殊化是指在研究问题时，（D）的思想方法。
A．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含该集合的较大集合
B．从对象的一个给定范围出发，进而考虑该范围中某个较小的区间C．从对象的一个给定数集出发，进而考虑某个包含于该数集的较小子数集
D．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合
2．算法大致可以分为（A）两大类。
A．多项式算法和指数型算法B．对数型算法和指数型算法
C三角函数型算法和指数型算法D．单向式算法和多项式算法
3．反驳反例是用____否定的一种思维形式。
（D）
A．偶然必然B．随机确定
C．常缝变量D．特殊一般
4．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（B）。
A．猜测一类比一联想
B．联想一类比一猜测
C．类比一联想一猜测
D．类比一猜测一联想
5．归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是（D）。
A．归纳一猜测一特例
B.猜测一特例一归纳
C．特例一猜测一归纳
D．特例一归纳一猜测
6．传统数学教学只注重（A）的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
7．所谓统一性，就是（C）之间的协调。
8．中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》____的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
四、简答题
1．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？
答：
①运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。
②而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。
③因此我们说数学模型方法是一种迂回式化归。
2．特殊化在数学教学中的作用有哪些？
①利用特殊值（图形）解选择题。
②利用特殊化探求问题结论。
③利用特例检验一般结果。
④利用特殊化探索解题思路。
3．为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？
①数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。
②因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
③充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。
1、为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？
《几何原本》是数学中最早形成的演绎体系。
在形式上，它是以少数原始概念，如点、线、面等等，和不证明的公设和公里为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。
在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外，从《几何原本》与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2、试对《九章算术》思想方法的一个特点算法化内容加以说明？
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。
以后遇到其他同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案，书中的“术”就是算法。
3、简述确定性现象、随机现象的特点，以及确定性数学的局限性？
人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象。
其特点是：
在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。
即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果
另一类是随机现象，其特点是：
在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。
用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。
但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。
同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。
这些是确定数学的局限所在。
4、简述计算机在数学方面的三种新用途？
在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作；
第二，用来预测某些数学问题的可能结果；
第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。
5、简述数学抽象的特征？
数学抽象有以下特征：
（1）数学抽象具有无物质性。
数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。
（2）数学抽象具有层次性：
数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。
例如，自然数概念是从客观事物中抽象出来的，字母a表示的数又是在对数的抽象后的结果。
（3）数学抽象过程要凭借分析或直觉;
（4）数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象
6、简述化归方法在数学教学中的应用？
化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：
（1）利用化归方法学习新知识：
数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。
实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，它是借助极限来实现这种转化的。
（2）利用化归方法指导解题；
（3）利用化归原则理清知识结构：
运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用。
7、简述用MM数学模型解决实际问题的基本步骤，并用框图表述？
用MM方法解决实际问题的基本步骤为
（1）从现实原型抽象概括出数学模型；
（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；
（3）下数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，便得到实际问题的解答。
MM方法解题的基本步骤框图表示如下：
8、试用框图表示用特殊化方法解决实际问题的一般过程？
用特殊化解决问题的一般过程，可用框图表示，若我们面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A特殊化为，因为与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由所导出的结论，它包含的内涵一般也会比较多。
把信息反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。
若解决问题A仍有困难，即可对A再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。
（若信息不够则重复进行）
9简述化归方法的和谐化原则？
和谐化是数学内在美的主要内容之一。
美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。
因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。
10、什么是算法的有限性特点？
试举一个不符合有限性特点的例子。
一个算法必须在有限步内终止。
例如，十进制小数的除法的算法。
若取数4.5和3作为初始数据,计算过程为……（省略竖式）得到的结果为1.5.但是对初始数据20和3,计算过程为……（省略竖式）
无论怎样延续这个过程都不能结束,同时也不会中断.如果在某一处中断过程,我们只能得到一个近似的、步准确的结果。
而且如果在某一处中断计算过程已经不是执行原来的算法。
可见，十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。
15．简述培养数学猜想能力的途径。
猜想能力培养可以通过数学教学，如：
①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。
12、简述特殊化方法在数学教学中的应用？
答 特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：
①利用特殊值（图形）解选择题；
②利用特殊化探求问题结论；
③利用特例检验一般结果；
13、什么是类比猜想？
并举一个例子说明
人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。
例如，分式与分数非常相似，只不过用字母替代数而已。
因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。
事实也确是如此。
14、什么是归纳猜想？
并举一个例子说明。
人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。
例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14地猜想。
后来数学家从理论上证明了圆周率地数值为，果然和3.14很接近。
15、简述将化隐为显列为数学思想方法教学的一个原则的理由。
由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是由意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层地数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。
因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学达到思想方法教学之目的。
例如在解决有关应用问题时，为了使学生弄清问题的数量关系，寻找到有效的解题策略，往往借助图示就能使问题得到解决。
这种将图形与数量关系紧密联系起来解决问题的数形方法，教材中并没有明确地表述出来，需要学生用心体会，才能领悟到，但这不是所有学生都能达到的。
实施数学思想方法教学，就要求教师按照“化隐为显”的原则，对教材下一番改造制作的功夫。
16．简述概括与抽象的关系。
①概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系．抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的溉念之间不一定有种属关系。
②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念．由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。
③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系，密不可分的。
抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括．概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。
17．在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题?
为了叨实加强数学思想方法教学，应注意以下几点事项：
①要把数学思想方法的学习纳入数学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程；
②重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标，③做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；
④不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求；
⑤注意不同数学思想方法的综合运用。
18．什么是算法的有限性特点?
试举一个不符合算法有限性特点的例子．
算法的有限性是指．一个算法必须在有限步之内终止．
以十进翻小数的除法这个算法为例，如取敷2和3作为初始数据，则有2÷
3=O．6666…
无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断．因此，除法对于2和3这组数不符合算法有限性特点．
1．圆周角定理证明思路如下：
将四周角的两边所处的位置分成三种情况：
①角的一边落在直径上；
②角的两边在某—直径的两侧，③角的两边在某一直径的同侧．如上田所示．先对情况①进行证明，然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明．最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。
试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。
该证明中需用到几种数学思想方法：
①将圃周角分成三种情况，用到分类方法；
②先证明情况①而情况①是角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法：
②通过对所有三种情况的证明，最后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法，④在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法．
2.解出“用两种不同方法表示同一个量”，“方程个数和未知量个数相等”这三个要点，这是为什么，请阐述你的理解。
设想问题已经解出，即在列式时将未知量与已知量同等对待。
这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。
在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。
已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难，而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。
“用两种不同方法表示同一个量”这是列方程的关键。
所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。
“方程个数和未知量个数相等”是为了得到确定的解，这里有一个自由度的思想，当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程（组），这时方程（组）的解一般会有无穷多个。
4.什么是类比推理?
类比推理的表示形式？
怎样才能增加结论的可靠性？
所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。
常称这种方法为类比法，也称类比推理。
类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质
B具有性质
因此，B也可能具有性质。
其中，分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：
（1）A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些；
（2）这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；
（3）这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；
（4）可迁移的属性d应该是和属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
5、以“
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