一元二次方程知识点总结及习题Word文档下载推荐.docx

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m为不等于

的常数

）

（7）.

3、下列方程中，关于x的一元二次方程是

（

（A）3x

2x1

（B）

（C）ax2

bxc0

（D）x2

2xx2

4、下列方程中，不是一元二次方程的是

（A）2x2+7=0

（B）2x2+23x+1=0

（C）5x2+1+4=0

（D）3x2+（1+x）+1=0

5、若关于x的方程a（x－1）2=2x2－2

是一元二次方程，则

a的值是

（A）2

（B）－2

（C）0

（D）不等于2

6、已知关于x的方程m

1x2

p0，当

时，方程为一次方程；

当

时，两根中有一个为零a。

7、已知关于x的方程m

2xm2

0：

（1）m为何值时方程为一元一次方程；

（2）m为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：

ax2

0，其中ax2是二次项，a叫二次项系数；

bx是一次项，b叫

一次项系数，c是常数项。

特别警示：

（1）“a

”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；

（2）二次项系数、一次项系数及常数

项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）x2

10x

900

（2）5x2

2.2

（3）2x2

150（4）x2

（x

3）（x

3）

（5）

2）

2、关于x的方程ax2

3x20是一元二次方程，则

（A）a0

（B）a0

（C）a1

（D）a0

3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出

a、b、c的值.

（1）

5x2；

（2）

m满足的条件是⋯（

4、方程（m－1）x＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则

（A）≠1

（B）≠0

（C）||≠1

（D）＝±

5、关于x的方程3x2

2x6

0中a是

；

b是

c是

。

6、方程3x

49的一般形式为

7、方程（m-5）（m-3）x

m2+（m-3）x+5=0中，当m为何值时，此方程为一元二次方程

知识点三.一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

1、已知方程

3x2

9xm

0的一个根是

1，则m的值是

2、已知x

1是一元二次方程x2

2mx10的一个解，则m的值是

（A）1

（B）0

（C）0或1

3、若x1

是一元二次方程ax2

bx20的一个根，则ab

4、实数b

4ac是方程

的根

（A）

（）

（C）ax2

（D）ax2

5、设a是一元二次方程

0的较大根，

是

x3x

较小根，那么

的值是

（A）-4

（B）-3

（C）1

（D）2

6、已知关于x的一元二次方程

kx2

的一个解与方程

3的解相同。

（1）求k的值；

（2）求方程x2kx20的另一个解。

7、设x1,x2是关于x的一元二次方程x2pxq0的两个根，x11,x21是关于x的一元二次方程x2qxp0的两个根，则p,q的值分别等于多少？

知识点四.一元二次方程的解法

一元二次方程的四种解法：

（1）直接开平方法：

如果x2kk0，则xk.

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如

（xa）2b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，

xab，当b<

0时，方程没有实数根。

（2）配方法：

要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；

配方法的理论根据是完全平方公式

2abb2

（ab）2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有

2bxb2

（xb）2。

配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为

1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，

最后配成完全平方公式

（3）公式法：

一元二次方程

bxc0a0的求根公式是x

bb2

4ac

4ac0；

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形

式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。

（4）因式分解法：

如果xaxb0则x1a,x2b。

分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式

法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

温馨提示：

一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

1、方程x2

0的解是：

（A）x1

（B）x

（C）x1

5,x2

（D）x

2、方程x2

2,x2

1x225

125,x225

1,x2

3、方程

51x2

5x的较简便的解法应选用

4、解下列方程：

（1）x2

33x1

（2）2x2

x30

（3）x2

2x30

5．开平方法解下列方程：

5x2

1250

169（x3）2

289

3610

（13）m20

6．配方法解方程：

x22x50

7．公式法解下列方程：

3x26x2

9n25n2

8．因式分解法解下列方程：

1x290

7x221x0

2（3x

1）

y25y102y24y3

p2323p7y211y

x2（x2）（2x1）3

y24y4508x210x30

6x233x22x6（x5）22（x5）1

（x23x）22（x23）80

9．用适当方法解下列方程：

2（2x7）2

128

2mm2

12（m2

2m）2

y（32y）

y（3y1）

6x（x2）（x2）（x3）

81（2x5）2144（x3）2

10、解下列方程：

23y2

23y

1x12

1x1

（x3）2

2x52

3y26y22y22xm23xm

x2x1x2x212x2x330mx24m1x4m20

知识点五.一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程ax2

bxc0a0的根的判别式是b2

4ac：

（1）

当b2

时，方程有两个不相等的实数根；

（2）

时，方程有两个相等的实数根；

（3）

时，方程无实数根。

若方程有实数根，则有

0。

1、已知方程x2

0有两个不相等的实数根，则

2、关于x的一元二次方程

kx2

0两个不相等的实数根，则

k的取值范围是

（A）k

（B）k

（C）k0

（D）k

1且k0

3、在下列方程中，有实数根

的是

（A）x2

3x10

（B）4x1

（C）x2

（D）

4、当m满足何条件时，方程

10有两个不相等实根？

有两个相等实根？

有实根？

5、关于x的方程mx22m2xm50无实根，试解关于x的方程m5x22m2xm0。

6、已知关于x的一元二次方程x2

4m1x2m10，求证：

不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数

根。

7、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？

若能，求出两段铁丝的长度；

若不能，请说明理由。

知识点六.一元二次方程根与系数的关系

若一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根为x1,x2，则x1x2b,x1x2c。

（韦达定理）

利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

1、关于x的一元二次方程x2

kx4k2

30的两个实数根分别是

x1,x2，且满足x1x2

x1x2，则k的值为：

1或3

（B）1

（C）

（D）不存在

2、已知

是关于x的一元二次方程x2

0的两个不相等的实数根，且满足

1，则m

（A）3或-1

（B）3

（C）1

（D）-3或1

3、关于x的一元二次方程2x2

0有两个实数根

x1,x2，且x1x2

4，则m的取值范围是

（A）m

（B）m

（C）m

（D）

4、方程x2

3x6

0与方程x2

0的所有根的乘积是

5、两个不相等的实数

m,n满足m2

4,n2

4，则mn的值为

6、设x1,x2是关于x的方程x2

m1x

0的两个根，且满足

，求m的值。

7、已知：

△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2

2k3xk2

3k2

0的两个实数根，第三边

BC的长为5，问：

k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

知识点七.一元二次方程的实际应用

列一元二方程解应用题的一般步骤：

（1）审题

（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。

在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率

是。

2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。

3、一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。

求这块铁皮的长和宽。

4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至

128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

5、一根长22cm的铁丝．

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

并说明理由．

6、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，

该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固

定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

7、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。

点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始

向点A以1cm/s的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。

那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善

教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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