复数的开方Word下载.docx
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为解决这一类问题要研究求复数r（cose+isine）的n次方根.
（二）探求复数r（cose+isin0）的n次方根，并推导开方公式
（提出课题）求复数r（cose+isine）的n次方根.
如何研究这一问题呢？
首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗?
生：
我认为有n个.
这只是预测，这要通过求复数r（cose+isine）的n次方根来证实或否定•如何求复数的n次方根？
要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？
让学生回忆实数集中方根的概念.
复数n次方根的意义：
如果xn=z（n€N+,z€C），那么x叫做z的n次方根.
因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数.
在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢?
P（cos+
由上面分析可知，复数r（cose+isine）的n次方根仍是复数，设它为isin），那么这两个复数有什么联系呢?
r（cose+isine）=[p（cos+isin）]n（n€N+）.
求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出p和
r（coE9+isin9）=[P（co昭+isiii切=P”（coEnp+i£
mnQ）・
这样就得到两个用三角形式表示的复数.两个用三角形式表示的复数相等的充要条
件是什么？
它们的模相等，辐角可以相差2n的整数倍.
由①式可得
P^=r,
口@=0+2k71Z）・
由此可知,
因此r（cosB+isin0）的n次方根是
対込匕ZL十d
Inn
由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的
工作是什么？
用公式解题.
生乙：
这个公式还没有推导完，它表示几个值？
各是什么？
还要对公式进一步认识.
对.首先要认识公式.对一个数学公式通常从以下几个方面认识：
公式的推导;
公式成立的条件；
公式所反映的数量关系；
公式的使用.
对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识.本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的.
公式成立的条件是：
n€N+,也就是说，我们研究的是复数开正整数次方.
对公式数量关系的认识:
e+加兀.e+2kK
cos+1sin
nn
它表示复数.如&
复数的模，这里r〉D,听表示r的卫次算术根，它是一个正实数.
问题的关犍是对辐角旦上叱这一表达式的认识.这里的是开方的次数，是n
个给定的自然数；
式中的k€Z它可以取任何整数，随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数？
为什么？
（让学生讨论）
表示无数个不同的复数.
生丙：
表示
n个不同的复数对，因为一个复数的n次方根有n个值.
到目前为止，一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测，并没有证明.但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？
生丁：
对.由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值.
这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数.为研究方便，把
0+
式子中的常数和变数分开，变形为
n
—（keZ）
nu
k=睫③式为:
k=1是③式为:
e
——+
nne4”
9I2[n-l）7T
2n%
k=n时③式为：
一+—nn
显然，k=n与k=0时，这两个角相差2n，由于正弦、余弦函数的周期都是2n,
所在公式②中它们表示同一个复数.
同理，k=n+1,n+2,…，n+（n—1）与k=1,2,…，n—1所表示的复数对应相等.
因此，当k取0,1,…，n—1各值时，就可以得到②式的n个值•由于正弦、余
弦函数的周期都是2n,当k取n,n+1以及其他各整数值时，又重复出现k取0,1,…,n—1时的结果，所以复数r（cose+isin0）的n次方根是
松肿严J&
J+沖L心，,「「环
让学生叙述复数开n次方的法则，教师概括如下:
复数的n（n€N+）次方根是n个复数，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根,
它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2n的0,1，…，n—1倍的和的几分之一.
（三）运用复数开方公式，在运用中深化对复数n次方根的认识
例1求1—i的立方根.
即1—i的立方根是下面三个复数:
k=oat九龍
k二1时为，灯血g-
23兀，.23Kcos+1sin
I1212
解题后让学生概括求复数n次方根的步骤，教师进行归纳总结:
1.将复数z化为三角形式（辐角一般取主值）；
2.代入开方公式;
G+OfcTTe2kIT
3,将公式中辐角一改写为-+—
nnn
4.分别求出复数z的n个n次方根.
几点说明:
中，将1—1的辐
1•将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范•如例1
7171
角取得到三次方根的三个复数的辐角分别为
的，若取的辐角至值丁，得到它的三次方根，这三个复数的辐角分别为詈答案规范.因此，在使用开方公式时我们一般恥的辐角主值.
G+9k7r92阿
2,将公式中的辐角改写为一+——.既便于计第又便我们对复数口
次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的.
练习在复数集C中解方程X4+1=0.
请学生板演.
解：
将方程变形为x4=—1=cosn+isinn,
%+2k^…兀+2k兀
4
nkn=cos|—+-：
r-
l42
JHUx=COE:
+isin
5kTll
+nsn—+-^J,（k=0,1,2.3）.
所如严町“迪宁务爭,
3兀
371
PI
=「°
'
4
+isin“
2
+—
屯■
5兀
■COE——
+isin——
屈
7兀
..771
72
庞.
+isin——
教师讲评：
解方程x4=—1就是求—1的4次方根•在实数集中无解，在复数集中它有4个虚数根.
进一步深化对复数r（cose+isin0）的n次方根的认识.提出以下问题:
问题1复数r（cose+isine）的n次方根有几个，它们的模等于什么?
牛有立个，它们的模都等于听，即啲垃次算术根.
问题2复数r（cose+isine）的n次方根的几个辐角有什么规律?
学生讨论，教师归纳总结.
由n次方根辐角的表达式I一+C^=0,1,11-1）得出，这n个复数的
问题3复数r（cose+isine）的n次方根的几何意义是什么?
学生讨论，教师概括总结.
复数r（cose+isine）的n次方根的几何意义是：
这n个n次方根对应于复平面
内的口个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以刃7为半径的圆上，组成一个正口边形.
例2在复数集C中解方程x3=1,并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点.
原方程就是
3
X=cosO+isinO,
百SI0+2k兀…0+2k^
旳以X=cos+15111——
即孔=cosO+isinO=1;
2712兀1d
Xa=cos-^+i3Ln-^-—i;
471_4K173.
23=cos——+1S1£
l—-=
H3322
如图8-14,三个根Xi,X2,X3在复平面内对应点分别为A,B,C.
因为|Xi|=|X2|=|X3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上.
9TT4TT971
又孔,杯巧的辐角主值分别为0,牛，冷它们相差冷则
2兀
ZAOB=ZBOC=ZCOA=—
故|AB|=|BC|=|AC|,△ABC为正三角形.
解题后思考以下问题:
（1）1的立方根在实数集中有几个值？
在复数集中有几个值？
各是什么?
1的立方根在实数集中有1个值，是1.在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1,两个虚数是一对有很多特征的共轭复数
__丄+也，心-丄-更i
2222
（2）方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？
（因式分解法，本节不展
开）
（四）小结
由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展.在复数集C中,
复数r（cose+isine）的n次方根有n个值.这n个值可由复数开方公式得到.它
们的对应点在复平面内是以原点为圆42斤为半径的圆上正口边形的口个顶点・
（五）作业
1.高中代数下册P214〜215练习第3,第4题.
2.复数—i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是
A・
—±
—1
22
V3亠1
—±
—
C.
川1”
亠d1一
土1
3.求证虚数的平方根仍是虚数.
4.已知£
0,£
1,
（n>
3）.
£
n-i是非零复数z=r（cose+isin0）的n个不同的n次方根
（1）求证：
1,
n-1组成等比数列；
⑵求和Sn=£
0+£
1+£
2+…&
n-1•
作业答案或提示
2.由复数开方运算的几何意义，画出一i的3个立方根在复平面内的对应点，得
出选D.
3.用反证法.假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾.
j-J9+2fc兀e+2kB
4.
J=^/rlcos+isinI）（k=0）1,-■-»
n—1）
J的等比数殉
E斗f271271V甘
⑵因为=1cos-j^+1Ein-^l=b则S”=E,+£
1+…+J-i
亚卫=0.
课堂教学设计说明
本节课设计的指导思想是：
激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法.
1.复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远.在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题.本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程X3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程X3=1只有一根为1的认识.从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，弓I起学生学习兴趣.
2.注重对复数开方公式推导过程的教学•复数开方公式推导是本节课的重点也是难点.在教学中是分四个层次展开的：
由解方程引入；
由n次方根的意义切入；
通过复
数相等求解；
由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推
导.在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力.
3.指导学法，会学公式.在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面.本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识.这对学习其他数学公式也是有指导意义的.
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