第十三讲找规律docx教师版Word文档下载推荐.docx

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首先由五个正方体木块有3个露出了4，可推出4的对面是2；

然后由1与4，5，6相邻，可得1的对面是3；

故剩下的5与6相对．

五个正方体木块有3个露出了4，并且4和1，6，5，3相邻，所以4的对面是2；

1与4，5，6相邻，因为4与2相对，故1与2也相邻，所以1的对面是3；

剩下的5与6相对．

故选C．

本题考查正方体各个面的相对位置，锻炼了学生的看图能力和空间想象能力．

4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：

1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形（如下图），再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①，②，③，④，相应长方形的周长如下表所示：

序号

①

②

③

④

周长

6

10

16

26

若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是（　　）

A．288B．178C．28D．110

图形的变化类。

结合图形分析表格中图形的周长，①的周长为：

2（1+2），②的周长为：

2（2+3），③的周长为：

2（3+5），④的周长为：

2（5+8），由此可推出第n个长方形的宽为第n﹣1个长方形的长，第n个长方形的长为第n﹣1个长方形的长和宽的和．

由分析可得：

第⑤个的周长为：

2（8+13），

第⑥的周长为：

2（13+21），

第⑦个的周长为：

2（21+34），

第⑧个的周长为：

2（34+55）=178，故选B．

要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律．

5．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：

①当

=

时，有

；

②当

③当

…；

则当

时，

=（　　）

A．

B．

C．

D．

平行线分线段成比例；

三角形中位线定理。

本题可有两种思考方式：

①根据题目中所给数据，寻找其中的规律，能判断出准确结果．②根据三角形中位线性质进行解答．

过D点作BE的平行线交AC于F，

∵D为BC的中点，∴DF是△BCE的中位线．

∵

，∴

．

∵DF是△BCE的中位线，∴F是EC的中点，∴

∵BE∥DF，∴

本题根据所给数据可寻找规律，灵活运用三角形中位线的性质对本题的理解会更加透彻．

二.填空题

6．（2010•南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算，a100﹣a99=　100　，a100=　5050　．

两数相减等于前面数的下标，如：

an﹣an﹣1=n．

利用（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=an﹣a1，求a100．

a2﹣a1=3﹣1=2；

a3﹣a2=6﹣3=3；

a4﹣a3=10﹣6=4；

所以a100﹣a99=100．

∵（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）

=2+3+4+…+n

﹣1=an﹣a1，

∴a100=

=5050．

对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

7．（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=　18　．

分析可得：

表1中，第一行分别为1的1，2，3…的倍数；

第二行分别为2的1，2，3…的倍数；

第三行分别为3的1，2，3…的倍数；

表2中，第一行为5的2倍，第三行为7的3倍；

故a=6×

3=18．

a=6×

本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．

8．（2007•防城港）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据

，…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数　

　．

分子的规律依次是：

32，42，52，62，72，82，92…，分母的规律是：

规律是：

5+7=1212+9=2121+11=3232+13=45…，即分子为（n+2）2，分母为n（n+4）．

由题可知规律，第9个数的分子是（9+2）2=121；

第五个的分母是：

32+13=45；

第六个的分母是：

45+15=60；

第七个的分母是：

60+17=77；

第八个的分母是：

77+19=96；

则第九个的分母是：

96+21=117．

因而第九个数是：

故答案为：

主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．

9．（2000•江西）有一列数：

1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了　5　个数；

当按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m）时，共数了　n﹣m+1　个数．

后一个数减前一个数还要加上1．

当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了6﹣2+1=5个数；

当按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m）时，共数了n﹣m+1个数．

通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

10．我们把形如

的四位数称为“对称数”，如1991、2002等．在1000～10000之间有　90　个“对称数”．

由对称数定义可知，在1000～10000之间，a可取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，9个数，b可取的值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个数，a每取一个值b对应的可取10个．

由对称数定义可知，a可取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9；

当a任取9个数中的一个时，b对应的可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个数；

所以在1000～10000之间的对称数共有9×

10即90个．

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对于本题而言，关键是找到a与b的取值规律．

11．在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有　9　个．

被9整除的数，数字和一定是9的倍数．只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．

只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．故答案为9．

解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点．

12．（2008•武汉）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：

拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒　88　根．

分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

第1个图形中，有4根火柴；

第2个图形中，有4+6=10根火柴；

第3个图形中，有10+8=18根火柴；

…第8个图形中，共用火柴的根数是4+6+8+10+12+14+16+18=88根．

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．

13．（2006•崇左）如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数是S，当n=50时，S=　147　．

根据已知图形可以发现，前几个图形中的点数分别为：

3，6，9，12，所以可得规律为：

第n个图形中的点数为3n．

根据题意分析可得：

n=2时，S=3．此后，n每增加1，S就增加3个．

故当n=50时，S=（50﹣1）×

3=147．

147．

此题主要考查了图形的变化规律，可以培养学生的观察能力和分析、归纳能力，属于规律性题目．注意由特殊到一般的归纳方法，此题的规律为：

14．请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成　33　段．

此题主要考查二个内容，一是对折后的段数问题，即对折几次，段数就是2的几次方；

二是剪的次数与段数问题，即剪的次数+1=段数．

连续对折5次后，共25段即32段；

故剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成32+1=33段．故应填33．

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

15．观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为　50　．

第1个图形中小圆点的个数为11=（1+2）2+1；

第2个图形中小圆点的个数为17=（2+2）2+1；

第3个图形中小圆点的个数为26=（3+2）2+1；

第5个图形中小圆点的个数为7×

7+1=50．

故第5个图形中小圆点的个数为50．

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．

16．如图所示，黑珠、白珠共126个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是　白　颜色的，这种颜色的珠子共有　32　个．

除了第一个黑珠外，后边的黑珠和白珠有一定的规律，即是一个白珠和三个黑珠．

因为这串珠总共有126个，（126﹣1）÷

4=31…1，则最后一个珠子为白颜色．白颜色的珠子共有31+1=32个．

故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的，共有32个．

关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．

17．观察规律：

如图，PM1⊥M1M2，PM2⊥M2M3，PM3⊥M3M4，…，且PM1=M1M2=M2M3=M3M4=…=Mn﹣1Mn=1，那么PMn的长是　

　（n为正整数）．

图形的变化类；

先用勾股定理可求出Rt△PM1M2，Rt△PM2M3，Rt△PM3M4等直角三角形的斜边的长，从这些数据中可发现规律，得到PMn的长是

在Rt△PM1M2中，∵PM1=M1M2=1，∴用勾股定理有：

PM2=

在Rt△PM2M3中，∵PM2=

，M2M3=1，∴用勾股定理有：

PM3=

在Rt△PM3M4中，∵PM3=

，M3M4=1，∴用勾股定理有：

PM4=

=2．

按此规律可知：

PMn=

运用勾股定理进行计算，求出几个直角三角形斜边的长，从这几个数据中发现规律再确定PMn的长．

18．探索规律：

右边是用棋子摆成的“H”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要　52　个棋子．

图形①用棋子的个数=2×

（2×

1+1）+1；

图形②用棋子的个数=2×

2+1）+2；

图形③用棋子的个数=2×

3+1）+3；

…

图形⑩用棋子的个数=2×

10+1）+10=52个．

52．

观察图形可知第10个“H”字用棋子的个数=2×

通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为各个图形中两竖行棋子的个数均为2n+1，横行棋子的个数为n．

19．现有各边长度均为1cm的小正方体若干个，按下图规律摆放，则第5个图形的表面积是　90　cm2．

对于找规律的题目首先应找出哪个部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

根据题意可得：

每个图形的表面积为最下层正方体的表面积之和；

第5个图形中，共5层；

从上到下，每层正方体个数为1，3，6，10，15，共35个正方体；

其表面积为15×

6=90cm2．

20．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过　104　分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

由正五边形广场ABCDE的周长为2000米，可得其边长为400米；

甲、乙两人分别从A，C两点同时出发时距离是800米，

若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时，极有可能此时距离为一条边长400米，此时时间为400÷

（50﹣46）=100分．

而就在此时，甲、乙分别在CD、ED中点处，不再同一条边上，需继续前行，则甲至少还需走200米，即4分，此时甲在点D，乙在边DE上，也就是说出发后经过104分钟，甲乙两人第一次行走在同一条边上．

因为正五边形广场ABCDE的周长为2000米，则其边长为400米，甲，乙两人分别从A，C两点同时出发时距离是400×

2即800米，若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时，极有可能此时距离为一条边长400米，此时时间为400÷

（50﹣46）=100分．而就在此时，甲、乙分别在CD、ED中点处，不再同一条边上，需继续前行，则甲至少还需走200米，即4分，此时甲在点D，乙在边DE上，也就是说出发后经过104分钟，甲乙两人第一次行走在同一条边上．

这是一道发散性的题．注意反证思想的应用．此题属于追及问题与正五边形知识的综合应用．

三.解答题

21．（试比较20062007与20072006的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（为正整数），从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论：

（1）在横线上填写“＜”、“＞”、“=”号：

12　＜　21，23　＜　32，34　＞　43，45　＞　54，56　＞　65，…

（2）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是：

当n≤　2　时，nn+1　＜　（n+1）n；

当n＞　2　时，nn+1　＞　（n+1）n；

（3）根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：

20062007　＞　20072006．

此题中的规律为当n≤2时，nn+1＜（n+1）n；

当n＞2时，nn+1＞（n+1）n．

（1）12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，56＞65，…

（2）当n≤2时，nn+1＜（n+1）n；

当n＞2时，nn+1＞（n+1）n；

（3）20062007＞20072006．

本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找到“＜”、“＞”的临界点．

22．从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：

（1）根据表中规律，求

=　

（2）根据表中规律，则

（3）

+

的值是　

根据上图的几个例子我们可以总结出规律，即根据表中规律，则

（1）按照下表的规律，可以

X-k-b-1.-c-o-m

（3）由表中几个式子我们可以得出规律，即

．所以

=2（

+…

）=2（

）=

本题属于找规律的题目，另外还需要学生对规律灵活应用．

23．从1开始，连续的奇数相加，它们和的情况如下表：

（1）如果n=11时，那么S的值为　121　；

（2）猜想：

用n的代数式表示S的公式为S=1+3+5+7+…+2n﹣1=　n2　；

（3）根据上题的规律计算1001+1003+1005+…+2007+2009=　1523081　．

观察图中n与对应S之间的关系可知：

当数为n时，S=1+3+5+7+…+2n﹣1，此为等差数列，a1=1，an=2n﹣1．

由等差数列前n项和的公式：

S=

就可以容易的做此题．

（1）当n=11是an=2n﹣1=21

=121

（2）因为a1=1，an=2n﹣1，由等差数列前n项和的公式：

=n2所以S=1+3+5+7+…+2n﹣1=n2（3）1001+1003+1005+…+2007+2009可以化为1000×

n+（1+3+5+7+…+1007+1009）

由此可知1009=2n﹣1，即n=505．所以

1001+1003+1005+…+2007+2009=1000×

505+（1+3+5+7+…+1007+1009）=505000+5052=505000+255025=760025．

本题考查同学们都数字的规律性变化的总结以及前n项和公式的知识．