人教版九年级上册 数学 第23章 旋转 单元测试题解析版精品教育docWord格式文档下载.docx
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6.(3分)在下列几何图形中:
(1)两条互相平分的线段;
(2)两条互相垂直的直线;
(3)两个有公共顶点的角;
(4)两个有一条公共边的正方形.其中是中心对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.(3分)点P(2a+1,4)与P′(1,3b﹣1)关于原点对称,则2a+b=( )
A.﹣3B.﹣2C.3D.2
8.(3分)下列图形中,既可以通过轴对称变换,又可以通过旋转变换得到的图形是( )
9.(3分)如图,将Rt△ABC(其中∠B=30°
,∠C=90°
)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点B、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.180°
10.(3分)已知点P(3a﹣9,1﹣a)是第三象限的点,且横坐标、纵坐标均为整数,若P、Q关于原点对称,点Q的坐标为( )
A.(﹣3,﹣1)B.(3,1)C.(1,3)D.(﹣1,﹣3)
11.(3分)根据指令[s,A](s≥0,0°
≤A<360°
)机器人在平面上能完成如下动作:
先在原地顺时针旋转角度A,再朝其面对的方向沿直线行走距离s.现在机器人在平面直角坐标系的原点,且面对y轴的负方向,为使其移动到点(﹣3,0),应下的指令是( )
A.[3,90°
]B.[90°
,3]C.[﹣3,90°
]D.[3,270°
]
12.(3分)如图,在边长为a正方形ABCD中,把边BC绕点B逆时针旋转60°
,得到线段BM,连接AM并延长交CD于N,连接MC,则△MNC的面积为( )
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
13.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=75°
,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′= .
14.(3分)点A(﹣3,m)和点B(n,2)关于原点对称,则m+n= .
15.(3分)如图,在2×
2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有 个.
16.(3分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°
,得到△DEC,连接AD,若∠BAC=25°
,则∠BAD= .
17.(3分)下列图形中, 是中心对称图形(只需填序号).
18.(3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .
19.(3分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°
,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为 .
20.(3分)如图,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ(0°
<θ<90°
)得到另一条数轴y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:
过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知θ=60°
,点M的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为 .
三.解答题(共6小题,满分60分)
21.(8分)如图,△ABC中,AD是中线,将△ACD旋转后与△EBD重合.
(1)旋转中心是点 ,旋转了 度;
(2)如果AB=7,AC=4,求中线AD长的取值范围.
22.(8分)如图所示,点D是等边△ABC内一点,DA=13,DB=19,DC=21,将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置,求△DEC的周长.
23.(10分)如图.矩形ABCD的顶点B,C在坐标轴上,顶点D的坐标是(3,3),若直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分,求m的值.
24.(10分)如图,△ABC与△ADE关于点A成中心对称.
(1)点A、B、C的对应点分别是什么?
(2)点C、A、E的位置关系怎样?
(3)指出图中相等的线段和相等的角.
25.(12分)如图,在等边△ABC中,点D是AC边上一点,连接BD,过点A作AE⊥BD于E.
(1)如图1,连接CE并延长CE交AB于点F,若∠CBD=15°
,AB=4,求CE的长;
(2)如图2,当点D在线段AC的延长线上时,将线段AE绕点A逆时针旋转60°
得到线段AF,连接EF,交BC于G,连接CF,求证:
BG=CG.
26.(12分)如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B'
落在AC上,B'
C'
交AD于点E,在B'
C′上取点F,使B'
F=AB.
(1)求证:
AE=C′E.
(2)求∠FBB'
的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
参考答案与试题解析
1.
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
①地下水位逐年下降,是平移现象;
②传送带的移动,是平移现象;
③方向盘的转动,是旋转现象;
④水龙头开关的转动,是旋转现象;
⑤钟摆的运动,是旋转现象;
⑥荡秋千运动,是旋转现象.
属于旋转的有③④⑤⑥共4个.
故选:
C.
【点评】本题考查了生活中的平移,是基础题,熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键.
2.
【分析】依题意得,旋转中心为点B,旋转角∠PBP1=∠ABC=90°
,对应点P、P1到旋转中心的距离相等,即BP=BP1=5,可证△BPP1为等腰直角三角形,由勾股定理求PP1.
根据旋转的性质可知,∠PBP1=∠ABC=90°
,BP=BP1=5,
∴△BPP1为等腰直角三角形,
由勾股定理,得PP1=
.故选D.
【点评】本题考查了旋转的两个性质:
①旋转角相等,②对应点到旋转中心的距离相等.解题时要注意是按顺时针旋转.
3.
【分析】根据图形特征,找出基本图形和旋转中心即可进行判断.
第一个图形旋转的最小度数是60度,错误;
第二个图形旋转的最小角度是60度,错误;
第三个图形的旋转的最小的度数是90度,正确;
第四个图形的旋转的最小的度数是72°
,错误.
【点评】考查图形的旋转与重合,理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键.
【链接】旋转对称图形的概念:
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.
4.
【分析】根据网格结构作出点A、B、C绕点C顺时针旋转90°
后的对应点A′、B′、C′的位置,然后顺次连接,再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可.
如图所示,△A′B′C′即为△ABC绕点C顺时针旋转90°
后的图形,
点A′(8,3).
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转,熟练掌握网格结构准确作出图形是解题的关键.
5.
【分析】根据中心对称图形的性质,结合选项作出判断即可.
A、根据中心对称的两个图形全等,即可得到,故本选项正确;
B、成中心对称的两图形全等,对应线段相等,故本选项正确;
C、根据对称点到对称中心的距离相等,即可证得对应线段平行,故本选项正确;
D、
=S△ABO≠S△ACO,本选项错误.
D.
【点评】本题主要考查了中心对称图形的性质,要求同学们掌握中心对称图形全等,且对称点到对称中心的距离相等等性质.
6.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
根据中心对称图形的概念,知
(3)不一定是中心对称图形;
(1)、
(2)、(4)都是中心对称图形.
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.
中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后重合.
7.
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y)可得到a,b的值,再代入2a+b中可得到答案.
∵点P(2a+1,4)与P′(1,3b﹣1)关于原点对称,
∴2a+1=﹣1,3b﹣1=﹣4,
∴a=﹣1,b=﹣1,
∴2a+b=2×
(﹣1)+(﹣1)=﹣3.
【点评】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点.注意:
关于原点对称的点,横纵坐标分别互为相反数.
8.
【分析】根据轴对称变换与旋转变换的定义作答.
A、只能通过旋转得到,错误;
B、只能通过轴对称得到,错误;
C、只能通过轴对称得到,错误;
D、可沿图形中间的任意一条直线翻折得到,或以中间两条直线的交点为旋转中心,把一个基本图形连续旋转3个90°
得到.
【点评】旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形,轴对称是沿某条直线翻折得到新图形.观察时要紧扣图形变换特点,进行分析判断.
9.
【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1,根据旋转的性质即可得出结论.
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点B、A、B1在同一条直线上,
∴旋转角最小是∠CAC1,
∴∠CAC1=180°
,
【点评】此题考查是旋转的性质,熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键.
10.
【分析】首先根据P点所在象限确定出a的取值范围,再根据横纵坐标均为正数确定出a的值,然后可得到P点坐标,再求出关于原点对称的点的坐标即可.
∵点P(3a﹣9,1﹣a)是第三象限的点,
∴3a﹣9<0,1﹣a<0,
∴1<a<3,
∵横坐标、纵坐标均为整数,
∴a=2,
∴P点的坐标为(﹣3,﹣1),
∵P、Q关于原点对称,
∴点Q的坐标是(3,1).
B.
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标,关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反.
11.
【分析】若顺时针旋转90°
,则机器人面对x轴负方向,根据向x轴负半轴走3个单位可得相应坐标.
根据点(0,0)到点(﹣3,0),即可知机器人先顺时针转动90°
,再向左平移3个单位,
于是应下指令为[3,90°
].
【点评】此题主要考查了求新定义下的点的旋转坐标;
理解所给定义得到移动后的规律是解决本题的关键.
12.
【分析】作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形,根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH,根据三角形的面积公式计算即可.
作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,
则BG=GC,AB∥MG∥CD,
∴AM=MN,
∵MH⊥CD,∠D=90°
∴MH∥AD,
∴NH=HD,
由旋转变换的性质可知,△MBC是等边三角形,
∴MC=BC=a,
由题意得,∠MCD=30°
∴MH=
MC=
a,CH=
a,
∴DH=a﹣
∴CN=CH﹣NH=
a﹣(a﹣
a)=(
﹣1)a,
∴△MNC的面积=
×
(
﹣1)a=
a2,
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质,掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键.
13.
【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C;
然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°
即可解决问题.
由题意得:
AC=AC′,
∴∠ACC′=∠AC′C;
∵CC′∥AB,且∠BAC=75°
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°
∴∠CAC′=180°
﹣2×
75°
=30°
;
由题意知:
∠BAB′=∠CAC′=30°
故答案为30°
.
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质,得出AC=AC′,∠BAC=∠ACC′=75°
是解题关键.
14.
【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,可得出m、n的值,代入可得出代数式的值.
∵点A(﹣3,m)和点B(n,2)关于原点对称,
∴m=﹣2,n=3,
故m+n=3﹣2=1.
故答案为:
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点,注意掌握两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反.
15.
【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合要求的答案即可.
如图所示:
与△ABC成轴对称的有△ACG、△AFE、△BFD、△CHD、△CGB一共有5个.
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案,根据已知得出所有符合要求的答案注意不要漏解.
16.
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD,再判断出△ACD是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°
,由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案.
∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°
后得到Rt△DEC,
∴AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=45°
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°
+45°
=70°
70°
【点评】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
17.
【分析】由中心对称图形的定义,即可求得答案.
只有C,D选项是中心对称图形.
C,D.
【点评】此题考查了中心对称图形的定义.注意理解中心对称图形的定义是关键.
18.
【分析】由旋转的性质得到AD=EF,AB=AE,再由DE=EF,等量代换得到AD=DE,即三角形AED为等腰直角三角形,利用勾股定理求出AE的长,即为AB的长.
由旋转得:
AD=EF,AB=AE,∠D=90°
∵DE=EF,
∴AD=DE,即△ADE为等腰直角三角形,
根据勾股定理得:
AE=
=3
则AB=AE=3
3
【点评】此题考查了旋转的性质,矩形的性质,熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.
19.
【分析】先判断出∠BAD=150°
,AD=AB,再判断出△BAD是等腰三角形,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°
,得到△ADE,
∴∠BAD=150°
,AD=AB,
∵点B,C,D恰好在同一直线上,
∴△BAD是顶角为150°
的等腰三角形,
∴∠B=∠BDA,
∴∠B=
(180°
﹣∠BAD)=15°
15°
【点评】此题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键.
20.
【分析】如图作ND∥x轴交y轴于D,作NC∥y轴交x轴于C.MN交y轴于K.利用全等三角形的性质,平行四边形的性质求出OC、OD即可;
如图作ND∥x轴交y轴于D,作NC∥y轴交x轴于C.MN交y轴于K.
∵NK=MK,∠DNK=∠BMK,∠NKD=∠MKB,
∴△NDK≌△MBK,
∴DN=BM=OC=3,DK=BK,
在Rt△KBM中,BM=3,∠MBK=60°
∴∠BMK=30°
∴DK=BK=
BM=
∴OD=5,
∴N(﹣3,5),
故答案为(﹣3,5)
【点评】本题考查坐标与图形变化,轴对称等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
21.
【分析】
(1)根据旋转的性质填空即可;
(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出AE的取值范围,再根据旋转的性质可得DE=AD,然后求解即可.
(1)∵将△ACD旋转后能与△EBD重合,
∴旋转中心是点D,旋转了180度;
D,180;
(2)∵将△ACD旋转后能与△EBD重合,
∴BE=AC=4,DE=AD,
在△ABE中,由三角形的三边关系得,AB﹣BE<AE<AB+BE,
∵AB=7,
∴3<AE<11,即3<2AD<11,
∴1.5<AD<5.5,
即中线AD长的取值范围是1.5<AD<5.5.
【点评】本题考查了旋转的性质,三角形的三边关系,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
22.
【分析】先根据等边三角形的性质得∠BAC=60°
,AB=AC,再根据旋转的性质得到AD=AE,CE=BD=19,∠DAE=∠BAC=60°
,则可判断△ADE为等边三角形,从而得到DE=AD=13,然后计算△DEC的周长.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°
,AB=AC,
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置,
∴AD=AE,CE=BD=19,∠DAE=∠BAC=60°
∴△ADE为等边三角形,
∴DE=AD=13,
∴△DEC的周长=DE+DC+CE=13+21+19=53.
【点评】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质.
23.
【分析】经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分.所以先求对角线交点坐标,然后求解.
∵直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分,
∴直线y=mx经过矩形的对角线交点(1,
),
把点(1,
)代入可得m=
【点评】主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质.解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心,过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分.
24.
(1)根据中心对称的定义结合图形即可得到A、B、C的对应点;
(2)根据中心对称的定义即可得到结论;
(3)根据中心对称的定义即可得到结论.
∵△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形,
∴
(1)点点A、B、C的对应点分别是点A,DE;
(2)点C、A、E在同一条直线上;
(3)AB=AD.AC=AE,BC=DE,∠B=∠D,∠C=∠E,∠BAC=∠DAE.
【点评】本题考查了中心对称,是基础题,准确识图是解题的关键.
25.
(1)由∠CBD=15°
可得∠ABE=45°
且AE⊥BD,可得AE=BE且AC=BC,所以CF是AB的垂直平分线,由AB=4可求EF,CF的长,即可求CE的长.
(2)过点M作CM∥BD,通过将线段AE绕点A逆时针旋转60°
得到线段AF,可得AE=AF,∠BAE=∠CAF,所以可以证明△ABE≌△ACF,可得BE=CF,
∠BEM=150°
,∠CFM=30°
,由CM∥BD,可证∠CME=150°
,即∠FMC=30°
,可证CF=CM=BE,然后可证△BEG≌△CMG.所以结论可得.
(1)∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC=4,∠BAC=60°
且∠DBC=15°
∴∠ABE=45°
且AE⊥BD∴∠BAE=∠ABE=45°
∴AE=BE,且AC=BC
∴CF垂直平分AB即AF=BF=2,CF⊥AB∵∠ABE=45°
∴∠FEB=∠ABE=45°
∴BF=EF=2,∵Rt△BCF中,CF=
=2
∴CE=2
﹣2
(2)如图2:
过点M作CM∥BD
∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°
得到线段AF
∴AE=AF,∠EAF=60°
∴△AEF为等边三角形
∴∠AFE=∠AEF=60°
∴∠FAC+∠EAC=60°
,且∠BAE+∠EAC=60°
∴∠BAE=∠CAF,且AB=AC,AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF,∠AEB=∠AFC=90°
∴∠BEF=150°
,∠MFC=30°
∵MC∥BD
∴∠BEF=∠GMC=150°
∴∠CMF=30°
=∠CFM
∴CM=CF且CF=BE
∴BE=CM且∠BGE=∠CGM,∠BEG=∠CMG
∴△BGE≌△GMC
∴BG=GC
【点评】本题考查旋转的性质,等边三角形的性质,线段垂直平分线的判定,全等三角形的判定,关键是通过角度相等证明CM=CF.
26.
(1)在直角三角形ABC中,由AC=2AB,得到∠ACB=30°
,再由折叠的性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;
(2)由
(1)得到△ABB′为等边三角形,利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°
,即可求出所求角度数;
(3)法1:
由AB=2,得到B′B=B′F=2,∠B′BF=15°
,过B作BH⊥BF,在直角三角形BB′H中,利用锐角三角函数定义求出BH的长,由BF=2BH即可求出BF的长;
法2:
连接AF,过A作AM⊥BF,可得△AB′F是等腰直角三角形,△AB′B为等边三角形,分别利用三角函数定义求出MF与AM,根据AM=BM,即BM+MF=BF即可求出.
【解答】
(1)证明:
∵在Rt△ABC中,AC=2AB,
∴∠ACB=∠AC′B′=30°
,∠BAC=60°
由旋转可得:
AB′=AB,∠B′AC=∠BAC=60°
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°
∴AE=C′E;
(2)解:
由
(1)得到△ABB′为等边三角形,
∴∠AB′B=60°
∴∠FBB′=15°
解:
过B作B′H⊥BF,
在Rt△BB′H中,cos15°
=
,即BH=2×
则BF=2BH=
+
(cos15°
=cos(45°
﹣30°
)=cos45°
cos30°
+sin45°
sin30°
);
连接AF,过A作AM⊥BF,
(2)可得△AB′F是等腰直角三角形,△AB′B为等边三角形,
∴∠AFB′=45°
∴∠AFM=30°
,∠ABF=45°
在Rt△