有趣的幻方.docx

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有趣的幻方

摘要………………………………………………………………………1

引言………………………………………………………………………2

1幻方的概念……………………………………………………………2

1.1幻方的历史……………………………………………………2

1.2幻方的概念……………………………………………………3

1.3有关幻方的趣事………………………………………………3

2如何构造幻方…………………………………………………4

2.1奇数阶幻方的构造……………………………………………5

2.1.1连续摆数法……………………………………………5

2.1.2阶梯法…………………………………………………5

2.1.3菱形法…………………………………………………6

2.2双偶数阶幻方的构法…………………………………………7

2.2.1对称法…………………………………………………7

2.2.2对角线法………………………………………………8

2.3奇偶数阶幻方的构造方法……………………………………9

2.3.1奇偶数的构造方法

（一）……………………………9

2.3.2奇偶数的构造方法

（二）……………………………10

2.4任意阶幻方的构法…………………………………………11

2.4.1镶边法………………………………………………11

2.4.2相乘法………………………………………………12

3幻方的数量…………………………………………………14

4幻中之幻……………………………………………………14

4.1对称幻方………………………………………………………15

4.2棋盘上的幻方………………………………………………16

4.3亲子幻方………………………………………………………17

4.4T形幻方………………………………………………………17

5结束语…………………………………………………18

有趣的幻方

摘要本文讨论的对象为幻方，具体介绍了幻方的历史、定义、趣事，如何构造幻方，以及某些特殊性质的幻方（幻中之幻）。

本文重点是介绍了如何构造幻方。

该论文由幻方的历史讲起，重点介绍了普通幻方的多种构造方法，，简要介绍了幻方的复杂性，并对幻方的特征进行了讨论。

关键词幻方；构造方法；复杂性；特征

引言

幻方又叫纵横图，也就是在n×n的方阵中放入从1开始的个自然数在一定的布局下使它各行、各列和两条主对角线上的数字之和正好相等。

撑握了有关幻方的知识后，在教学中可适当的引出幻方的概念，从最简单的3阶幻方入手让小学生更能开发自己的计算能力，这样在教学课堂中引入课外知识，也会增加小学生对数学的神秘感，更有助于他们热爱数学，更深层认识到在这简简单单的数学后面还有如此的魅力。

使枯燥无味的数学变得有味。

幻方人人都懂，但困难重重，激发一代又一代的大数学家们去研究它，但成果并不乐观。

所以科学发展永无止境。

1幻方的概念

1.1幻方的历史

公元前2200年距今大约有4300年，中华民族祖先居住的大地上发生了连绵暴雨，成千上万人遭受了灭顶之灾的悲剧。

人们与大自然做斗争的过程中涌现出许多可歌可泣的事迹，大禹治水就是一个。

传说在大禹治水，黄中龙马献给大禹一张河图，从而帮助大禹制定了一套正确的治理黄河的方案。

另一个传说是大禹在治水的时候洛水神龟献给大禹一本洛书。

书中有一份奇怪的图，用今天的数字翻译过来如下图所示：

上图为一个三阶幻方，即在3×3的方格中填入1-9，其每行每列和两条对角线上的三个数字之和都相符，都等于15，并把它叫做幻方常数，这也是中国人首先发明的界上第一个幻方，它奠定了数学中的一个重要分支——组合学的基础。

中国人首先发现幻方是世界公认的，后来陆续传播到日本、朝鲜、印度、泰国、阿拉伯等地。

引起世界的广泛重视。

但根据史料记载，国外最早研究幻方的人叫塔比·伊本·夸儿拉，是一个阿拉伯学者，那时已经是9世纪了，至于传到欧洲就更晚了。

1.2幻方的概念

幻方又叫纵横图，也就是在n×n的方阵中放入从1开始的个自然数在一定的布局下使它各行、各列和两条主对角线上的数字之和正好相等。

这个常数叫“幻方常数”或“幻和”由数列知识很容易计算出幻方常数s和方阵阶数n的关系式为，幻方具有它奇特的性质，几千年来吸引无数学爱好者进行广泛的研究，到目前为止已经发现幻方的一些规律也解决了一些问题，但仍然存在着一些未解决的问题。

1.3有关幻方的趣事

1977年，美国发现了旅行者1号和旅行者2号宇宙飞船，飞向渺茫的太空，其中的一项使命就是去寻找外星人，与外星人联系。

但是若外星人存在，如何与它们沟通信息是很重要的，美国宇航局的官员们为这个问题是大伤脑筋。

想办法向全世界公开征集旅行者1号和2号用的与外星人沟通信息的搭载物，世界各国纷纷献计献策，形形色色的主意出现了。

结果它们采纳了其中的一些建议搭载物中包括有男、女人体形态的金属片，向外星人表示自己的身份，还包括绘有代表人类文明的一些重大发明，发现的图案中的金属片，其中在数学方面知识和成就一个是勾股绘，另一个是4阶幻方。

而且为了让外星人看明白幻方。

采取了与洛书3阶幻方相同的办法。

而一个小圆圈表示1，用2个小圆圈表示2……这样：

仿古幻方就同旅行者1号和2号奔向了茫茫太空。

在中国古代南宋杨辉是研究幻方的第一人对于洛书上的3阶幻方杨辉将其生成的方法总结为8句话，九子斜排、上下对易、左右相更、回维挺出、戴九履一、左三右七、二四为肩、六八为足。

即:

（1）先将1-9这九个数按序斜排成（如图2所示）；

（2）上下对调，把1与9对调（如图3所示），左右互换，即把3与7互换；

（3）四面中间2、4、6、8四数向外挺出即可（如图4所示），最后得到结论（如图5所示）。

同时他还研究出4阶、5阶、6阶、7阶、8阶、9阶、10阶，幻方各做出了有阴阳两式，如4阶幻方：

2如何构造幻方

在对幻方的研粉中，首先遇到的问题就是如何去构造幻方，首先先来介绍适用奇数的幻方方法。

2.1奇数阶幻方的构造

2.1.1连续摆数法

连续摆数法是一种简单而且比较古老的一个方法，是谁发现的已经无从考证，但可以肯定一定是亚洲人发明的。

法连续摆法适用于奇数幻方的构造是这样的。

先把1放在中间一列最上边的方格中，从它开始按对角线方向，（比如说从在下方到右上的方向即东北方向），顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底：

如图到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中，已有数或到达右上角，则退至前一格的下方，按照这个方法，我们可构造一个7阶幻方如图6所示：

这种方法可以推广到一搬情况，起始数1不一定排在第一行的中间，下一个数也不一定排在上一个的东北方向，也可以是西南方向，箭头的方向也可以跨过2行或2列等。

2.1.2阶梯法

上述的方法只适合于奇数阶幻方。

还有一种方法也可以构造奇数阶幻方——阶梯法。

阶梯法又叫楼梯法，是法国的一位叫巴赫特创造的。

方法也很简单巧妙。

也适用于所有的奇数阶幻方。

下面以5阶幻方的构造。

如图7把1-25个自然数顺阶梯方向先摆放好。

再把方阵以外的4、5、10三个数放在图8所示格内，移入底边3个相应原先空的方格中，其余3处的处理方法是一样的。

2.1.3菱形法

当代数学家们发明了一种将奇数集中在方阵中央的一种方法，而将偶数分布在四个角的方法称为“菱形法”，以5阶幻方为例（如图9所示）：

画一个25方格将方格正中央画一个菱形，在菱形中填入1-25内的所有奇数按大小顺序依次填入方格内。

将偶数沿这条边的延长线方向填入方格，回到这条边的起点时移到下一条边，如此循环往返。

奇数1、3、5这条边上填入2、4。

7、9这条边填入6、8、10。

11、13、15这条边填入12、14等等。

2.2双偶数阶幻方的构法

2.2.1对称法

以上介绍的都是奇数的幻方的构造方法，以下介偶数的构造方法。

值得一提的是偶数有双偶数和奇偶数之分。

所谓双偶数就是能被4整除的数，形如n=4m形式的偶数，而单偶数是不能被4整除的形如n=2（2m+1）这种形式的偶数。

以下介绍双偶数阶幻方的构造方法。

即n=4m形的幻方。

有一种十分巧妙的构造方法叫对称法。

下面以8阶幻方的构造为例。

如图10及图11所示：

将64格划分为4大块分为上、下、左、右4个方阵，这里每小方阵就是一个4×4的方阵首先在左上角的方阵中布点，每行每列任取一半在方格中画○然后在其余3个方阵的映象，这样这方格就有32“○”了，占了所有方格的一半了如图（3），现在从左上角开始按从左到右，从上到下的次序将1到64的数往方格里填，但遇到“○”时就不填数，这样也就填了一半的数了。

这个过程结束以后现在从右往左，从下往上，用与刚才相反的方向再一次向方阵中填数已填数的方格被封锁不填。

由于布点方法对称性，第二遍填数正好用上，最后整个方阵中都填了1-64个数而形成一个幻方！

显然改变一下布点的方格，又可以获得一个不同的幻方了。

2.2.2对角线法

构造双偶数阶的幻方还有一种有趣而且简单的方法叫对角线法。

这种方法是首先从左到右、从上到下按次序将个数填入n阶方阵中，然后按照一定规则交换对角上的元素就可以形成一个幻方了，现在以4阶幻方为例，将16个数按照顺序填入方阵中，然后只要将两条主对角线的元素按照中心对称原则互相交换就行了。

值得一提的是遇到如：

8阶、12阶、16阶等幻方时除了要交换两条主对角线上的数时，还要先将它划分为若干个4×4的小方阵在4×4的小方阵中画对角线，在小方阵上的对角线也要按中心对称的原则，互相交换位置，下面图12是一个8阶幻方，原先就是一个从左到右，从上到下的次顺序填入1-64的数字方阵，然后按照上面的方法交换2条主对角线和2条折对角线上的数字而形成的。

对于对角线法还有一种十分简便的方法，还是把方阵分为若干个4×4的小方阵，在每个4×4的方阵上都画2条对角线，然后从左到右、从上到下将个数按照由小到大的顺序依次填入n阶幻方中，凡是有对角线的方格都跳过（如图13所示）。

然后按自右向左，从下到上的相反方向将对角线覆盖的格子填充（如图14所示），即构成一个8阶幻方（如图15所示）。

2.3奇偶数阶幻方的构造方法

2.3.1奇偶数的构造方法

（一）

说起来奇怪在研究幻方的过程中，人们对奇偶数阶幻方的构造长期以来都没有找到一个有效的构造方法，直到20世纪初，数学家斯特雷奇经过不懈努力才发明了怎样构造奇偶数阶。

形如n=2（2m+1）阶幻方的一般方法，方法如下：

把n=2（2m+1）阶的方阵先平均分成4个同样的小方阵，A、B、C、D，选按先前的方法在A、B、C、D中构造一个奇数阶幻方，A用数字1～，B用～，C用～，D用～（这里）。

如图：

但行的方向和对角线不满足所以要进行调整，先在A的中间一行上从左侧的第二列起取m个方格，在其他行上则从左侧第一列起取m个方格把这些方格中的数字与D中的相应方格中的数字对调，然后在C中从最右一列起在各行中取m-1个方格，把这些方格中的数字与数字B中相应方格中的数字对换。

经过这样调整以后，就变成了一个幻方。

其实这样变成幻方的道理也很简单，经过这样变换的A、B、C、D，4个方阵可以看成由1～组成的a阶幻方，然后在其上用0、、、这4个数字，每个数字重复次的一个特殊n阶幻方选加在一起形成的。

2.3.2奇偶数的构造方法

（二）

继斯特雷奇之后，剑桥大学的一位数学家也发明了一种十分巧妙的构造奇偶数形如n=2（2m+1）阶幻方，方法是这样的，先构造一个（2m+1）的方阵，在方阵中上面的m+1行方格中央填入L，在接下去一行填入u，最后余下m-1行填入X，然后把中间那个u和它上面的L交换一下，接下去把中间标有字母的方格用+交线划分为4个小方格，使方阵变成所需要的2（2m+1）阶方阵，接下来就是要填数了。

步骤如下：

①填数从1顺序开始每4个数为一组填入中央标有字母的一个单元，即4个