高数第二章导数与微分知识点与习题Word格式文档下载.docx
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（6）
（cosx）'
（7）
（tanx）'
2secX
（8）
（cotx）'
2.基本公式
sinX
2cscX
a
ax
（ao,a1）xina
（9）（secx）'
secxtanx
（10）
（cscx）'
cscxcotx
（11）（arcsinx）'
丁
V1x*2
（12）
（arccosx）'
（13）（arctanx）'
1x
（14）
（arccotx）'
1
1x2
（15[In（X7xa2）]'
3.函数的求导法则
（1）四则运算的求导法则
复合函数求导法则--链式法则
sin2!
求函数yeX的导数.
反函数的求导法则
f（x）的反函数为xg（y），两者均可导，且f'
（x）0,
（5）对数求导法：
适用于若干因子连乘及幕指函数4.高阶导数二阶以上的导数为高阶导数常用的高阶求导公式:
（1）（ax）（n）axlnna（a0）特别地，（ex）⑺ex
（sinkx）（n）knsin（kxn^）
（coskx）（n）kncos（kxn—）
2
[ln（1X）]⑴
（忙
（xk）（n）k（k
莱布尼茨公式:
1）（k2）L（kn
八kn
1）x
（uv）（n）
k）v（k），其中u®
u,v®
v
第二节微分
1.定义
背景：
函数的增量
yf（xx）
f（x）.
定义：
如果函数的增量y可表示为
yAxo（x），其中A是与x无关的常数，则称函数
yf（x）在点xo可微，并且称Ax为x的微分，记作dy，则dyAx.
注:
ydy,xdx
2.可导与可微的关系
元函数f（x）在点xo可微，微分为dy
Ax函数f（x）在x0可导，且Af'
（X0）.
3•微分的几何意义4•微分的计算
（1）基本微分公式dyf'
（x）dx.
（2）微分运算法则
②四则运算法则
②一阶微分形式不变
若u为中间变量，yf（u），u（x），dy
（u）
'
（x）dxf'
（u）du.
1、求下列函数的导数。
练习题
322
（1）yx（x1）；
（2）y
sinx
ax・.
esinbx；
k2
（4）yIn（X\x
a）；
（5）y
x1arctan
x1
xX
；
（6）y（——）x。
2、求下列隐函数的导数。
（1）ysinxcos（x
y）0；
（2）
y
已知exy
e,求y（0）。
xa（t
3、求参数方程
ya（1
sint）（acost）
dy
0）所确定函数的一阶导数；
［与二阶导数
4、求下列函数的高阶导数。
（n）
（1）yx,求y
（2）y
x2sin2x,求y（50）
5、求下列函数的微分。
（1）y
xx,（x0）；
arcsinx
aA__x2
6、求双曲线
2x
~2a
爲1，在点
b2
（2a,J3b）处的切线方程与法线方程。
7、用定义求
（0），其中f（x）
2.1X
xsin—,X
x
0,
0,并讨论导函数的连续性。
x0.
答案:
解:
r3/2八2,
[x（x1）]
/3、/2
（x）（x
1）2
x3[（x21）]
3x2（x21）2x3[2（x21）（
x2）]
22232
3x2（x21）22x3（x21）2x
222
x（x1）（7x3）。
（沁）
xcosxsinx
（eaxsinbx）
eax（asinbx
aeaxsinbxbeax
bcosbx）。
[ln（xJx2a2）]—是
xVx
cosbx
=[xJx2a2]
3、解:
Jx2
2a
（arctan—
）
解：
xx解:
y[（r^）]
两边直接关于x求导得
将
sin
2jx2
cf2
,x
12
1（——
-）
（x1）
（x
）（x
xin
1x）
x（1x）
（1
1,
ln
[1
2x]
（e
1）
2（x2
（x1）[
（J
）x[
x）。
（i
（△1x
x）
x）2
xycosxsin（x
ycosxsin（xy）
sinXsin（xy）
y）（1
0代入原方程解得y1,
原方程两边直接关于x求导得eyy
上方程两边关于
dxdt
x再次求导得ey（y）2
a（1
（x2
a2）]
In
x]
xy
eyy
2y
1,代入上边第一个方程得y（0）
1,y（0）e1代入上边第二个方程得y
cost）,——aSint；
dt
dydy』dtasintdxdx#dta（1cost）
（0）
dyd/dy、dt
—夕一（亠）一（cscdx2dtdxdx
2-丄）
22a（1cost）
4csc4a
打1
4、
（1）解：
yx；
y
依此类推y（n）
n1）xn,（n1）。
（2）解：
设
usin2x,v
则u*）
k
2ksin（2x
k2）（k
1,2,
50）,
6、解:
2x,v2,v（k）0（k
代入萊布尼茨公式，得
y（50）（x2sin2x）（50）
250sin（2x50
y）x2
3,4,
49
50249sin（2x
49?
2x
50空248sin（2x48-）2
2!
2
250（
首先把点
x2sin2x
Xhx
（e）
1225
50xcos2xsin2x）
xx
x（lnx1）,dyx（lnx
1）dx.
V1xarcsinx
v1x2xarcsinx
3；
（1x2）2
V1x2xarcsinx
ydx
3
（2a,J3b）代入方程左边得
~2
2V1
4a2
~r
3b2
V
31，即点（2a,丁3b）是切点。
对双曲线用隐函数求导得—
2yy
b20,
b2x
a2y
过点（2a,応b）的切线的斜率为
y（2a,73b）
2ab2
73a2b
2b
73a
故过点（2a,J3b）的切线方程为
爲a
（x2a）
过点（2a,J3b）的法线方程为y
J3b
鱼（X2a）
7、解：
f（0）limf（x）
x0
f（0）
x2siJ
Pm；
1limxsin；
同理f（0）0；
故f（0）0。
显然f（X）2xsin1
x2cos——2xsin-cos-在x0点连续，因此只需考查f（x）在
xxxx
x0点的连续性即可。
但已知
cos-在x0点不连续，由连续函数的四则运算性质知f（X）在x0点不连续。
讨论习题:
设f（X）xx（x3）,求f（X）。
设函数f（x）在［1,1］上有定义，且满足Xf（x）XX,1X1,
讨论习题参考答案:
1、解：
因为f（X）
x2（xx2（32（x
3）,
x）,
易知f（x）在开区间
0）
（0,3）
（3,
对于分段点x
f（0）
x3
X
f（x）
X2（X
3）0
x2（3
X）0
3，有
0，
"
m
所以除x
3之外
f（x）在区间（
3）
f（x）
3x2
6x,
6x3x,
3,
0.
）内都是可导的；
又
x2（3X）0
x2（x3）0
0）（3,
x0,（0,3）.
0，即f（0）0；
即f（3）不存在;
）內均可导，且有
）,
2、解：
因为
x2
（1x
n1nx
（1x）2—
（n1）xn
Sn
x（1
x（x
22x
2x2
x[x（12x
x[x」
22x23
32x31
3x3
1）xn
（1x）2
nxn11（nnxn1
2x3
nx
2n
nx
2n1\
nx）
nx）
n1\i
nx）]
n1
—}
八n1n2
『x（n1）xnx
x[2
（x1）2
xr2n2
[nx（x1）
（2n2
2n
八n1
（n
八2n
1）x
x1]
3、证：
由x
xx,
x1,可知当
x0时,
0f（0）0,
即f（0）0
—,（1x
1,x0）；
x3x
lijm丁
由两边夹定理可得
f（0）lim
f（x）f（0）
思考题:
若f（u）在u0不可导,
g（x）在X0可导，且u。
g（X0），
f[g（x）]在X0处（）
（1）必可导，
（2）必不可导,
（3）不一定可导。
设g（x）连续，且f（x）
（xa）2g（x），求f（a）。
思考题参考答案：
正确选择是（3）
例如：
f（u）
0处不可导；
若取ug（x）sinx在
x0处可导，则f[g（x）]
sinx在
x0处不可导；
即
（1）
不正确。
又若取
4
ug（x）x在x0处可导，则有f[g（x）]
即
（2）也不正确。
因为g（x）可导，所以f（X）2（xa）g（x）
x4在
x0处可导。
a）g（x）
f（X）f（a）
——（f（a）0）Xa
（Xa）g（X）］
f（a）limn
Xa
f（X）
limn代）
lim[2g（X）
2g（a）
第三组：
潘柏华王涛
罗宇生陈珂晔黄强
g（y）nx）f'
（g（y））
1xn1
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