浅谈小学数学的一些思想方法Word文档格式.docx

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第三，会进行符号间的转换。

数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。

如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。

即这些符号是可以相互转换的。

第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。

这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。

能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。

3.符号化思想的具体应用。

（1）数的表示、运算和关系。

数字0~9、+、－、×

、÷

、＝、>

、<

是比较早

期的数学符号，便于人们计数和计算。

是小学数

学应用最广泛的符号。

（２）代数思想。

　代数在早期的主要特征是以文字为主的演算，

到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹

等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。

①用字母表示数。

②用字母表示数量关系。

运算定律、公式、数量关系。

加法交换律:

a+b=b+a

时间、速度和路程的关系:

s=vt

　③用符号表示变化规律。

数列的变化规律:

1,2,3,5,8,…

图形的变化规律,小棒的根数：

y=3x+1

4．符号化思想的教学。

符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。

教师在日常教学中要给予足够的重视，并落实到课堂教学目标中。

学生只有理解和掌握了数学符号的内涵和思想，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。

二、模型思想

1.模型思想的概念。

　数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。

从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。

数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。

不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。

如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。

为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。

2.模型思想的重要意义。

数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。

如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。

如上所述，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；

因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位。

如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题；

当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。

据了解，即将颁布的课程标准修改稿与现行的课程标准相比有了较大变化，在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

建立和求解模型的过程包括：

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。

3.模型思想的应用。

数的表示，自然数列：

0,1,2,…用数轴表示数

用数字和图形表示规律

数的运算a+b=c，c－a=b,c－b＝a，

a×

b＝c（a≠0,b≠0），c÷

a=b,c÷

b＝a

用字母表示运算定律，方程ax+b=c

数量关系：

时间、速度和路程：

　　　　　数量、单价和总价：

a=np

　　　　　正比例关系：

y/x=k

　　　　　反比例关系：

xy=k

用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系

用字母表示周长、面积和体积公式

用图表示空间和平面结构

用统计图表描述和分析各种信息

用分数表示可能性的大小。

4．模型思想的教学。

　模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处；

但是模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。

正是因为数学在各个领域的广泛应用，不但促进了科学和人类的进步，也使得人们对数学有了新的认识：

数学不仅仅是数学家的乐园，它也不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友，也是广大中小学生的朋友。

　学生学习数学模型大概有两种情况：

第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；

第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。

数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：

（1）理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。

（2）把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。

（3）建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。

（4）解答问题。

下面结合案例做简要解析。

　第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。

现实生活中已有的数学模型基本上是数学家和物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。

如阿基米德发现了杠杆定律：

平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体重量的反比，即Ｆ1：

Ｆ2＝Ｌ2：

L1。

在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。

第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。

这样的模型是已经存在并且是科学的，并不是新发明的，由学生进行再创造也几乎是不可行的；

换句话说，有些模型由于难度较大或不便于探索，不必让学生再创造。

如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。

但是由于这个模型比较抽象，操作难度较大，因而也不适合学生进行再创造。

教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。

第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。

学生学习了教材上的基础知识以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程，也可以是一个合作探究的过程。

三、化归思想

1.化归思想的概念。

　人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。

　从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；

然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；

同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2.化归所遵循的原则。

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。

因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：

（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。

3．解决问题中的化归策略。

（1）化抽象问题为直观问题。

从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法；

解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理；

用图表进行推理；

函数图像直观地表示变量间的关系；

统计图表直观地表示数据。

四、推理思想

1.推理思想的概念。

　推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。

推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。

推理分为两种形式：

演绎推理和合情推理。

演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。

演绎推理的特征是：

当前提为真时，结论必然为真。

演绎推理的常用形式有：

三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。

合情推理的常用形式有：

归纳推理和类比推理。

当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

（1）演绎推理。

　三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。

三段论是演绎推理的一般模式，包括：

大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

例如：

一切奇数都不能被２整除，（２³

＋１）是奇数，所以（２³

＋１）不能被２整除。

　选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。

这里只介绍不相容选言推理：

大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；

小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。

一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。

这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形

假言推理，假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：

前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。

如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；

这个数的末位是０，所以这个数能被５整除。

这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。

　关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。

下面简单举例说明几种常用的关系推理：

（1）对称性关系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；

（2）反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a；

（3）传递性关系推理，a>

b，b>

c，所以a>

c。

关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。

（2）合情推理。

　归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。

分为完全归纳法和不完全归纳法。

完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。

完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。

不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。

依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。

　类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。

4．推理思想的教学。

就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。

义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

……教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；

通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。

根据以上课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。

第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。

在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。

无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。

因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。

第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。

合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。

二者在数学中的作用都是很重要的。

第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。

推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。

第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。

推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。

五、方程和函数思想

1．方程和函数思想的概念。

　方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。

（1）方程思想。

　含有未知数的等式叫方程。

判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：

一个是含有未知数，另一个是必须是等式。

如有些小学老师经常有疑问的判断题：

χ=0和χ=1是不是方程？

根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。

方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。

方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。

方程思想体现了已知与未知的对立统一。

六、数形结合思想

1.如何理解数形结合思想。

　数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。

数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的．数学家华罗庚曾说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。

尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。

小学数学阶段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。

2.数形结合思想的具体应用。

七、集合思想

1.一般地，把研究的对象称为元素；

把一些元素组成的总体，称为集合。

2.集合理论是数学的理论基础。

　如数的概念及运算，都可以从集合的角度来定义。

　自然数可以理解为一类可数对等集合的基数（元素的个数）。

　加法可以理解为两个互不相交的集合的并集。

　函数就是在集合的基础上定义的。

3.集合理论的引入，便于从整体和部分及二者的关系　　　

　上研究数学各个领域的知识。

　数学的各个分支都有自己的研究领域，如数论在整数范围内研究整数的有关性质，而质数和合数在正整数范围内讨论。

　又如数系的不断扩充，从自然数到实数。

4.集合沟通了代数（数）和几何之间的关系。

　如　y=kx+b,既是一次函数，又表示一条直线；

也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足

　y=kx+b的有序实数对所组成的点的集合

八、一一对应思想

1.一一对应思想与函数思想的关系。

　一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；

并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。

函数是两个数集之间的一种数与数的对应关系，但这种对应不一定是一一对应

（１）数集之间的一一对应。

设非０自然数集Ｎ,正偶数集Ｅ，在两个集合之间建立如下的一一对应。

　Ｎ　１　２　３　４　５　　┅

　　　↓　↓　↓　↓　↓

　Ｅ　２　４　６　８　１０　┅

（２）其他集合之间的一一对应。

如五（１）班有２５个男生，２５个女生，如果把男生和女生各自的总数看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应。

再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合。

这两个集合之间可以建立一一对应

九、分类讨论思想

　1.分类讨论思想的概念。

　人们有时面对比较复杂的问题，无法通过统一研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

其实质是把问题“分而治之，各个击破，综合归纳”。

其分类规则和解题步骤是：

（1）根据研究的需要确定同一分类标准；

（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；

（3）逐类逐级进行讨论；

（4）综合概括、归纳得出最后结论。

2.分类讨论思想的重要意义。

　课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种条理性就是一种逻辑性，分类讨论就是具有逻辑性的思考方法。

因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考的一种重要而有效的方法。

无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而全面地思考和解决问题。

另外，分类讨论思想还是统计与概率知识的重要基础

十、变换思想

　变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。

在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。

　1.初等几何变换的概念。

　初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。

合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。

合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射（轴对称）变换等。

（1）平移变换。

将平面上任一点P变换到P′，使得：

（1）射线PP′的方向一定；

（2）线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。

也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。

平移变换有以下一些性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在平移变换下两点之间的方向保持不变。

如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。

③在平移变换下两点之间的距离保持不变。

如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解初等几何问题时，常利用平移交换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。

（2）旋转变换。

在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：

（1）OX′=OX；

（2）∠XOX′=θ（定角）；

则称这样的变换为旋转变换。

O称为旋转中心，定角θ为旋转角。

当θ>

0时，为逆时针方向旋转；

当θ<

0时，为顺时针方向旋转。

当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。

通俗地说就是一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。

在旋转变换下，图形的方位可能有变化。

旋转变换有以下一些性质：

②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。

③在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。

（3）反射变换。

　在同一平面内，若存在一条定直线Ｌ，使对于平面上的任一点P及其对应点P′，其连线PP′的中垂线都是Ｌ，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线Ｌ称为对称轴，也叫反射轴。

轴对称有如下性质：

②在反射变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角的平分线为Ｌ。

③两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点为

Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

　轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念，前者是指图形之间的关系或折叠运动，后者是指一个图形。

中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴对称性质，可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。

（4）相似变换。

　在同一平面内，图形中的任意两点A、B，变换后的对应点为A′、B′，也就是任一线段AB变换成A′B′，总有

A′B′＝K•AB（K>

0，且为常数），

则称为相似变换。

通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。

其中的K称为相似比或相似系数，当K＝1时，即为合同变换。

相似变换有以下一些性质：

①两个图形的周长的比等于相似比。

②两个图形的面积的比等于相似比的平方。

③两条直线的夹角保持不变。

　生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。

十一、概率思想

１．概率思想。

　生活中有很多现象是必然的，如也有很多是偶数的。

偶然现象，也叫随机现象，表面上看可能无规律，但大量地收集数据或重复实验可能具有某种规律性，概率统计主要是用数学方法揭示这种统计规律性。

（1）事件的分类。

　　　　　　　　　　　　必然事件