小学数学30个基本问题.docx
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小学数学30个基本问题
小学数学30个基本问题
1．倍问题
和差问题、和倍问题、差倍问题
已知条件：
几个数的和与差、几个数的和与倍数、几个数的差与倍数
公式适用范围：
已知两个数的和，差，倍数关系
公式：
①（和－差）÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②（和＋差）÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷（倍数-1）=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题：
求出同一条件下的和与差、和与倍数、差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；封闭曲线上植树。
基本公式：
棵数=段数＋1
棵距×段数=总长
棵数=段数－1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题：
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
5．鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果；按照另一种标准分组，又产生一种结果。
由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：
总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：
总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：
总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差。
再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰年：
一年有366天
①年份能被4整除；
②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：
一年有365天
①年份不能被4整除；
②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算；
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数。
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数，以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差，再求出所有差的和，再求出这些差的平均数，最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数。
具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0
②4=3+1+0
③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时；’
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时；
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示；
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1）公差；
数列和公式：
sn,=（a1+an）n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：
n=（an+a1）d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：
d=（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
注意：
N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1p=""
求约数个数的公式：
P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：
1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：
1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
12、24、36、48……；
18的倍数有：
18、36、54、72……；
那么12和18
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