考研数学三真题及答案.docx
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考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）
（1）已知当「时，『&〕一汨豆；「朮刑与…是等价无穷小，则
（A）孑=：
；：
二■£（B）-二，蔦二—4
（C）k=3工=4（D）k=3&=-4
【答案】C。
【解析】
【方法一】
3stnx-j?
in3x3cosx-3co53x
=S卞FL
（洛必达法则）
（洛必达法则）
-suuc+3sin3x
【方法二】
（址=3）
由泰勒公式知
3
兀3
sinz=x-—+o（x）
V-fe
剜―鲜+如）
I-
■x（3r）
f（x）=3sinx-sin3x-3x-y-3x+-^―+o（x）
=4zJ+o（J）〜4J（x-*0）
故窪=乞厂二4
【方法三】
3sinx-3x+3x-sin3x
lim-
lim-
Kex
1
3（5tHJC-X）
lim
+Um
C
Ht{）
xk
1
I%）
hm
fr
+lim
C
K
X
it）
3sm%-sin3x
3x-sin3x
xk
6（3X）
cxk
19
"2+2
（fc=3）
8
2c=1
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算
高等数学一一元函数微分学一洛必达（L'Hospital）法则
伽x2f（x）-2/（^3）_⑵已知.’在“处可导，且二i,则
（A）」（B）
（C）「（D）0
【答案】B。
【解析】
【方法一】加项减项凑M=刑处导数定义
x2f{x）-2f（工3）df（X）'^7（0）-2/（x3）+2/（0）
lim二Um
幫toxioxJ
f（x）-/（0）f（&）-f（°）
=lim2
x-fOx
=/（0）-2<（0）=-H0）
【方法二】拆项用导数定义
/（X）心）
=Um2lim——
x->0Xx->0xJ
由于’⑴，由导数定义知
/■（X）.f（J）
二f（0）,lim——=f（0）
辭tOX尸。
*
llim'心严（'）=/（o）-2/'（0）=-厂（0）
所以—u艾
【方法三】排除法：
选择符合条件的具体函数f贝y
xVM-2f（x3）x3-2兀3
lim二Im—--1
x-*OXr-*Ox
而对于負乂：
一二；沁［一，显然选项（A）（C）（D）都是错误的，故应选
（B）
【方法四】由于I在」）处可导，则
/W=f（0）+f（0）疋+oW=f\o）x+o（x）
xf{x}-2/（x）hm=hm
[f（（））兀+0（x）1-21/（0）x3+o（x3）J
=/（0）-2/（0）=一『（0）
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数
和微分的四则运算
叫｝
是数列，则下列命题正确的是
O
O
【答案】A。
【解析】
若'=「:
'•收敛，贝y该级数加括号后得到的级数仍收敛
综上所述，本题正确答案是Ao
【考点】高等数学一无穷级数一级数的基本性质与收敛的必要条
ITJT肝
I=f^lnsinxdxj-J^lncotxdxfK-f^lncosxdx
关系为
（A）人
（C）
（D）K|丿【答案】B
【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大
小,
n
由于当
刁时，OVsinx又因为八「为「I上的单调增函数，所以
nsinx7T
0nn*it
故丿；金：
打T；-'-'■r■■I：
i■'■-；，：
:
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的概念和基本性质
学1
1001
110
001
5
riooi
（5）
则
设力为3阶矩阵，将川第2列加到第1列得矩阵*,再交换B的第2
（A）
P心
（B）
p~]pr1r2
（C）
P2P1
（D）
PP1r2r1
行和第3行得单位矩阵，记
A
【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初从而B,P2B=E,从而P^AP^=E所以""°"i/J":
B
=
0101.
O1O
11O
■——■
—^1
£
--
■■
O1O
Do1loo_■-
【考点】线性代数一矩阵一矩阵的初等变换，初等矩阵
（6）设力为4X3矩阵，叫®仏是非齐次线性方程组Ax=fl的3个线性无关的解，叽为任意常数，则Ax=p的通解为
（牝-耳十（B）r^+心（力一可】）
（C）
+^（7/2-1）^+fc2（7J3-F?
1）
（D）宁+心（幻-"1）+述％-听）
【答案】C
【解析】
因为""U是非齐次线性方程组"的3个线性无关的解，那么旳是肛=0的2个线性无关的解。
从而池一r⑷＞2即3・r⑷＞2=＞厂⑷＜1
显然小•，因此'九芋升
由于n-r（A）=3-1=2知（a）,（b）均不正确。
屈％+町14_~2鮭+巧
又1A}}Af＞",所以是方程组丄】"的解
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数一线性方程组一非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解
（7）设尸1（小与为两个分布函数，其对应的概率密度人（工）与心（4
是连续函数，则必为概率密度的是
（A）几⑴W
（b）2/2WF]（对
（C）血⑴①⑴
（D）几⑴勺⑴+W
【答案】D。
【解析】
判断函数是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：
（1^满足是概率密度的充要条件
[{X}>0和£孰如=1
⑵''或者1■',而;;为分布函数
由于耳（无）与心（无）为两个分布函数，显然F©）Fg（对也是分布函数，而
孑1仗）巧（町]=/1（x）F2（x）+f2（x）Fr（xJ
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计一多随机变量及其分布一随机变量分
布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度
（8）设总体*的服从参数为入（入的泊松分布，Xi血厂礼⑺二2）为
r=2yriV
来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1”f=i『和
ET、>ET^DT.（B）12t12
【答案】D【解析】
X、P
（2）,所以,\EX=a,DX=盯哉厂％相互独立均服从P（入）
可求得'■'1-心——"-匚
而「，苛'
所以E『1VET卫DT\综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计一数理统计的概念一常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本
二、填空题（9〕14小题，每小题4分，共24分。
）
*
f（x）=limx（l+3tY■
（9）设，则f（x）=。
【答案】宀（1+3対。
【解析】
I13r
f（x）=lirnx[（l+3f）"]二““
MO
\f（x）=e3x+3xe3x-e2x（l+3x）
综上所述，本题正确答案是'「\
【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的四则运算
X
（10）设函数心（1+詁，则dz|（tl）=。
xfrln11—
y
y
y丿+
54
dz
dx
xx
■I
1X
1（X\X1
Jn1十、」+7+T
Xv1/X\X
=（1+-）|-ln1+-+-
yy\y）y
y\y}v2.x
1
兀十丿
y
【解析】由
可得
X.X
dzTn（1+J—二討y
所以
血1（⑷二篇
啓|dy=（2ln2+l）dx+（-2ln2-\）dy
综上所述，本题正确答案是、，心
【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数偏导数的概念
与计算
（11）曲线=在点「山处的切线方程为
【答案】y=-2心
【解析】
方程tan（X+y+》=兰
两端对*求导得
sec2lx+y+-1（1+y）=eyy'
将％==o代入上式，y=-2
故所求切线方程为’
【考点】高等数学一一元函数微分学一复合函数、反函数和隐函
数的微分法，平面曲线的切线与法线
>'~2
（12）曲线■■厂直线工=1及轴所围成的平面图形绕'轴旋转所成的旋转体的体积为。
【答案】
【解析】
由旋转体公式得
V=71
2r1』
（X1-l）dx=7T（-X^-X）=
综上所述，本题正确答案是
24tt
T
【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分应用
（13）设二次型''；'山‘
贝旷在正交变换下的标准形为
【答案】“
的秩为1，
的各行元素之和为3，
【解析】
d的各行元素之和为3，即
Fail+fl12+£l13=3
U21+a22+a23=口銅+Q呂2+=彳
的1
a21
勺1
ai2°13
a22fl23
r
r
A
ii
b'・
=3
i
i
所以卜二〔是d的一个特征值。
再由二次型兀舟*的秩为1
因此正交变换下标准形为"
111■是」的2重特征值
综上所述，本题正确答案是
【考点】线性代数一二次型一二次型的秩，用正交变换和配方法
化二次型为标准形
（14）设二维随机变量1（"）服从正态分布川（卩『丛/；0）,则E阳二。
2i3
【答案】卩”+M。
【解析】
（XY）服从正态分布N（比/加;
所以'与'：
相互独立，且
**2
EX^EY=闪DX=DY=a
E（X/）二EX・e/二川必+（EF）1二“（/?
十/）=诉+八
23
综上所述，本题正确答案是x:
o
【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的
数学期望（均值）、方差、标准差及其性质
三、解答题：
-'小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
（15）求极限
Um
尤T0
+2sinx_x
【解析】
【方法一】
lim
x-+0
Jl+-x-1
二Um2
jc-*Ox
lim
±T{）
row
■fl2sttu
2x
1coax-v'l+2vtnjr
二吧
岸tD
因子极限先求）
（等价无
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