0772《中学代数研究》秋《数学与应用数学》专业说课讲解Word文档下载推荐.docx
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11、下列哪个说法是错误的:
A.用尺规作图可以二等分角B.用尺规作图可以画出根号5的数
C.用尺规作图可以三等分角D.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线
12、任意两个有理数之间,均存在一个有理数,这说明有理数具有:
A.可数性;
B.连续性;
C.完备性D.稠密性
13、用下列哪种方法,对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
A.拉格朗日插值公式B.数列的母函数C.高阶数列的求和公式
14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系:
A.排序不等式B.均值不等式C.柯西不等式
15、下列说法,哪一个是错误的:
A.自然数集是可数的;
B.有理数集是可数的;
C.实数集是可数的;
16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集,被称为
A.结构;
B.关系;
C.序偶;
D.对偶
17、不定方程求解的算理依据是:
A.孙子定理B.单因子构件法C.辗转相除法D.拉格朗日插值法
18、点到直线的距离公式,可以用--------推出:
A.均值不等式B.柯西不等式C.加权平均不等式D.排序不等式
19、复数集按照“字典排序”关系,是一个:
A.全序集B.有序域C.复数域
20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集,被称为
A.序偶B.结构C.对偶D.关系
21、一个收敛的有理数列,其极限可以不是有理数,这说明有理数不具有:
A.稠密性B.可数性C.连续性
判断题:
√22、在算法的教学中,应当注意培养学生的数学表达能力。
√23、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学三大名著。
×
24、“三等分角”是可解的。
(错误)
√25、在数学运算中,善于进行恒等变形是一项基本数学能力。
26、在讨论函数的复合运算时,使用函数的“变量说”定义比较方便。
27、在戴德金分割中,存在下列情形:
戴德金分割的下集中有最大数,上集中有最小数。
28、均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式,二者并没有什么
关系。
29、实数集是可数的无穷集合
30、在戴德金分割中,存在下列情形:
√31、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。
32、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。
√33、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
34、实数集是可数的。
√35、复数集是一个全序集。
36、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√37、有理数集和自然数集具有相同的“势”。
√38、斐波拉契数列和黄金分割数有密切的关系。
√39、0.999……=1(正确)
√40、形式幂级数的乘法运算定义是多项式乘法运算的推广。
√41、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”
三个条件。
√42、在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。
43、代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。
44、对于数轴上的有理数,我们有两个相邻的有理数的说法。
√45、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
46、在实数的定义方法上,“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”
并没有本质区别。
47、无穷小不是一个理想的数。
48、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义,两种定义方法在本质上
是一致的。
√50、柯西不等式与余弦定理有内在的联系。
√51、算术到代数的演进加速了数系的形成。
√52、任何有理数的十进位小数表示式都是循环的。
53、在讨论函数的复合运算时,使用函数的“变量说”定义比较方便。
54、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。
√55、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何
作图问题。
56、有理数对极限运算是封闭的。
57、对于数轴上的有理数,我们有两个相邻的有理数的说法。
58、对于有限数列来说,并不一定存在一个多项式函数,来表示它的通项。
59、群是古典代数研究的对象。
60、用尺规不能二等分角。
√61、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a,b)。
√62、0与空集的基数相对应,所以从集合论的角度看,0应当是自然数。
√63、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性,所以,也可以
把数学归纳法当作公理来看待。
64、有理数对极限运算是封闭的。
65、实数集是可数的。
√66、“中学代数教学”的一个基本原则是:
在注意形式化的同时,加强
代数知识的直观理解。
√67、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。
证明题:
68、试用自然数(皮亚诺)公理系统证明数学归纳法:
设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足下面的条件:
(1)p
(1)成立;
(2)假定从P(k)成立可以推出p(k+1)也成立,则命题p(n)对所有的自然数n都成立。
69、
abc各不相等用柯西不等式证明下列不等式.docx
70、
试证明三维形式的均指不等式.docx
71、
在三角形ABC中排序不等式证明.docx
在三角形ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,
求证:
72、试证欧拉数e不是一个有理数
73、试证没有一个有理数的平方等于5。
证明:
用反证法证明。
假设有理数
满足:
,并且
于是
。
因为5是素数,所以
|
设
则有
,
即得:
,这说明5|
于是5是p,q的一个共因子,与(p,q)=1矛盾
故假设不成立。
所以没有一个有理数的平方等于5成立。
74、试证任何一个有理数的平方都不等于5。
所以任何一个有理数的平方都不等于5成立。
75、证明自然数的加法满足交换律,即对于任意自然数a和b,有a+b=b+a.
答案要点:
我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。
①
.我们先证明等式a+1=1+a,
因此对a用归纳法。
设M是使等式成立的所有a的集合,显然,1∈M,
如果a
∈M,那么a+1=1+a,于是
aˊ+1=(a+1)+1
=(1+a)+1
=(1+a)ˊ=1+aˊ,
所以aˊ∈M,由归纳公理,
a+1=1+a
②
.我们对b用归纳法,证明a+b=b+a,
设M是对于给定a使得等式成立的所有b的集合,由①已证知,1
∈M,
如果b
∈M,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律,得到
a+bˊ
=(a+b)ˊ
=(b+a)ˊ
=b+aˊ
=b+(a+1)
=b+(1+a)
=(b+1)+a
=bˊ+a.
所以bˊ∈M,由归纳公理,故加法的交换律被证明。
76、
试用柯西不等式证明平面三角不等式.docx
试用柯西不等式证明平面三角不等式
77、
证明pai与1/3的和是无理数。
.docx
证明
与
的和是无理数。
论述题:
78、试述算法学习的意义和作用
答:
算法是计算机理论和实践的核心,也是是数学的最基本内容之一。
可以这样说,数学学习的主要作用之一是形成“算法思维”。
算法有着悠久的发展历史,中国古代数学曾经以算法为特色,取得了举世瞩目的辉煌成就。
在已经逐步进入信息化社会的今天,算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面,已经也应该成为现代人所应具备的一种基本素质。
高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用:
(1)算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力
在某种意义上,问题是数学的核心,对于很多数学问题,不论是代数问题还是几何问题,算法框图可以准确、清晰、直观地展示解决问题的过程。
一个算法常常可以解决一类问题。
因此,算法,一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。
将解决具体问题的思路整理成算法的过程是一个条理化、精确化、逻辑化的过程,这有助于培养学生的逻辑思维能力。
(2)算法学习有助于提高学生的信息素养
信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式,掌握和使用信息技术已是现代人必备的素养,高中数学课程中已开设了信息技术课程。
信息技术以计算机技术为核心,而计算机技术的核心则是算法。
因此,算法的学习有助于学生理解信息技术的本质,提高学生的信息素养。
79、试述“中学代数研究”的研究方法?
中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。
将中学代数知识严格化、系统化,有助于对数学知识有更深入地认识和了解;
另外,还要为中学数学教学服务,数学知识的讲授应当顾及到学生的心理,不应只讲究系统。
中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手:
(一).从较高的数学观点来研究中学代数知识,加深对相关内容的本质理解;
例:
为什么复数不能比较大小
在中学里,我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部,虚部等于虚部。
如果问:
两复数不等时,它们有没有大小关系?
其实,复数之间能建立一种顺序关系,即前后关系,但不能建立大小关系。
我们可以将平面上的点“排队”,即按照字典方法将复数排队,两个复数,先比较实部,实部较小的复数排在前面,如果实部相等,再比较虚部,以虚部小的复数排在前面。
通过这种方式能将复平面上的点进行排序,由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
那么为什么复数不能比较大小呢?
要弄清这个问题,必须要弄清什么是大小关系?
什么是有序域?
在以后的学习中,我们会知道大小关系必须满足两种性质,即加法保序性和乘法保序性,复数集是不能同时满足这两种性质的,从而复数不能比较大小。
在中学代数中,类似以上的例子还有很多,我们只有通过从较高的数学观点出发,才能清楚地理解或回答类似的问题。
(二).用有机联系的观点来研究,丰富对中学代数知识的理解;
数学各知识间具有有机联系性,这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间,而且在数学知识的各分支中,尤其是“数”与“形”的联系。
在以后有关不等式的学习中,我们会突出这一点,即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。
我们从几何的角度去处理代数知识或反过来,当把这种方法用于教学中时,学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。
这体现了“中学代数教学”的一个基本原则:
形式化与直观理解相结合。
(三).适当注意对解题的研究,强化对中学代数知识理解的应用性。
数学学习和教学离不开解题,因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。
当然,我们不主张“题海战术”,只是适当注意对数学解题方法的研究而已。
80、进入21世纪之后,我国新颁布的《高中数学课程标准(实验稿)》为什么要把“算法”列入必修课?
算法由阿拉伯著名数学家阿尔花拉子米首先定义,其内容包括加法、乘法、减法、除法等。
算法是可定义为若干组含义明确的有穷规则,也是对特定问题求解步骤的一种描述,这种描述规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。
故算法具有五个特征:
①有穷性。
②确定性。
③可行性。
④输入。
⑤输出。
算法具有许多的用途,在解答难易程度的题其算法往往不一,但算法拥有最核心的问题和最基础的知识,如“先乘除,后加减”由内向外去括号,通分母,利用分配律进行运算,运用计算公式等。
算法作为一种核心观念贯穿于高中数学教学的始终。
故算法在高中课本上具有举足轻重的作用,算法的教学框图技能训练,是具有条理地,清晰的表达算法,也是因为框图已经为编程等也相当重要。
算法可以给学生学习带来方便,也可提高学生的逻辑思维能力。
故高中数学课程引入“算法”是明智的抉择。
81、请说明为什么复数不能比较大小。
复数之间能建立一种顺序关系,即前后关系,但不能建立大小关系。
大小关系必须满足两种性质,即加法保序性和乘法保序性,复数集尽管按照字典排序法可构成一个序集,但这个序关系不能同时满足加法保序性和乘法保序性。
在这个意义上说,复数不能比较大小。
82、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式,反之,任何一个循环小数也可写成有理数的形式?
83、方程的定义是什么?
并说出这样定义的好处?
目前中学数学教科书通用的方程定义是:
含有未知数的等式叫做方程。
这个定义用的是“种+属差”的逻辑定义方式,即“它首先是等式”,再指出它是“含有未知数的”等式。
由于它简洁明了,能为大家所认同和接受。
这个定义注重外观的描述,指出方程是通过已知数“求”未知数而产生的
等量关系。
但是“种+属差”的定义方式往往只能识别一个对象是不是方程,但是却无法从中获得方程的思想实质。
识别不同于认识和理解。
打个比方,我们可以通过照片识别一个人的外貌,却无法了解一个人的全部特质以及他的精神世界。
这里我们给出一个可以取代的定义:
“方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的一种等式关系”。
这样定义的好处是:
(1)它揭示了方程这一数学思想方法的目标:
为了求未知数;
(2)陈述了“已知数”的存在,解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系;
(3)方程的本质是“关系”,而且是一个等式关系。
84、试述“中学代数研究”的研究方法?
长期以来,对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向,即对中学代数知识用成熟的数学语言系统,逻辑地建立起来,中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。
我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化,毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解,但是单纯地为严格化而严格化,就失去了中学代数研究的重要目的。
正如F.克莱因指出的,我们当然要用较高的观点处理初等数学知识,只有观点越高,事物越显得简单;
为此,我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手:
85、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式,反之,任何一个循环小数也可写成有理数的形式?
有理数一定可以写成循环小数:
在一般地推公式:
中,不妨设
,由此得出:
b是
86、试述函数概念的历史发展,以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求,并简要阐述函数概念引入的教学策略。
1.在函数概念发展史中,先后经历了“变量说”、“对应说”及“关系说”三种不同定义方式的发展过程。
首先,1755年,欧拉对函数作了如下定义:
“如果某些变量,以这样一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,则前面的变量称为后面变量的函数。
”
这是函数的早期定义之一,它比较直观,现在,在初中数学教材就基本采用了这一定义。
即一般地,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果变量y随着x的变化而变化,那么就说x是自变量,y是因变量,也称y是x的函数。
我们把这一定义,称为函数的“变量说”。
其次,数学家康托尔的集合论出现后,人们开始用集合之间的“对应”来定义函数概念,函数被明确地定义为集合之间的“对应”。
现在,在高中的数学教材中,我们就基本采用了函数的这一定义:
函数的“对应说”定义:
设A,B为非空数集,如果存在一个对应法则f,对A中每个元x按照对应法则f,在B中有唯一的一个元素y与之对应,则称这样的对应f叫做集合A到集合B上的函数,记为
f:
A→B。
后来,1914年,法国数学家豪斯道夫用序偶(x,y)的集合来定义函数,而不用对应一词。
在序偶定义及二元关系的基础上,形成了
函数定义的“关系说”:
设X与Y是两个集合,而f是X与Y笛卡尔积的子集,如果对于每一个x∈X,有唯一的y∈Y,使得(x,y)∈f,则称关系f为X到Y的函数,记作:
f:
X→Y。
2、函数作为高中数学的一条课程主线,贯穿于整个高中数学课程中。
特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。
表现在:
(1)函数与方程:
方程可看做函数的局部性质,如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质?
这是解决方程问题的基本思想。
(2)函数与数列:
等差数列是线性函数的离散化,而等比数列是指数函数的离散化。
(3)函数与不等式
用函数的观点来讨论不等式的问题,无论是对于理解函数的思想,还是解不等式的有关问题,都是非常有益的,有助于更好地理解这些知识本身和解决相关问题。
(4)函数与线性规划
解线性规划问题,关键的就是以下三步:
第一步,确定目标函数;
第二步,确定目标函数的可行域;
第三步,确定目标函数在可行域内的最值。
(5)函数与算法
在算法中,最基本和重要的结构之一是循环结构。
循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的,用函数来刻画循环变量,可把循环变量看做“运算次数”的函数。
3、在高中函数概念的教学中,我们应当注意以下教学策略:
(1)在函数概念建构之前,通过引发学生的认知冲突,实现认知结构的“顺应”;
(2)在建构函数概念时,需要选择适宜的数学原型,利用数学原型归纳概括概念;
(3)在剖析函数概念时,将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中,请学生思考;
(4)在巩固函数概念时,提供类型丰富的题目(如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等),根据学生程度,设计有梯度的练习。
87、试述函数概念的历史发展,以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求,并简要阐述函数概念引入的教学策略。
解线性规划