合分比定理.docx

合分比定理.docx

《合分比定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《合分比定理.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

合分比定理

合分比定理

合比性质和等比性质

田伟德

教学目的：

1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行简单的比例变形；

2、会将合比与等比性质用于比例线段；

3、提高学生类比联想推广命题的能力。

教学重点、难点：

熟练并灵活运用合比、等比性质

概念:

【合比定理】

　　在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。

即：

如果，那么

　　【分比定理】

　　在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。

即：

如果，那么

　　【合分比定理】

　　一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。

这叫做比例中的合分比定理。

即：

如果，那么

　　【更比定理】

　　一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例

.即：

如果，那么

　　　　推论:

如果

　　那么

教学过程：

一、用特殊化的方法探索合比性质

1、复习平行线等分线段定理。

如图

（1），已知一组平行线在直线l上截得AB=BC=CD=DE=EF，则由平行线等分线段定理可以得到，在l/截得的各对应线段也相等，即A/B/=B/C/=C/D/=D/E/=E/F/。

（a）图

（1）（b）

2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想结论：

从图（1a）中分解出图（1b），由一组平行线可得出。

观察与的关系？

并对一般情况做出猜想：

若有，则有==。

猜想：

如果，那么。

3、证明猜想，得出合比性质。

（1）启发学生观察已知与未知的关系，寻找证明思路。

证法一（设比法）设，则

∵

∴

证法二（利用等式的性质）

∵，∴即

（2）类比联想，得到分比性质：

如果，那么。

让学生用以上两种证法中的一种证明。

得合比性质：

如果，那么。

（3）理解合比性质的内容，会用语言叙述。

4、类比联想，将合比性质进行推广。

合比性质的表达式中：

（1）比例式的第二、四比例项保持不变；

（2）比的前、后项对应求和或差（作为新比例式的第一、三比例项）

对此做出以下类比联想，并使用比例的性质进行证明。

猜想一如果，那么或。

猜想二如果，那么，或。

说明：

对于推广后的问题，教师证明，教会学生解题的基本方法，基本思考方法主要有两种：

（1）通过某种方法，将它化为利用原合比性质的结果。

证明时，可让学生灵活使用以下变形的方法，将问题转化为合比性质。

①同时交换比例的内项各外项（更比），如等

②同时交换比的前项、后项（反比）如。

如证明猜想一时

。

（2）对原合比性质的证明方法进行类比联想来重新证明。

可用“设比法”。

另外还可以有

猜想三如果，那么；

猜想四如果，那么。

让学生课后证明。

二、利用合比性质来证明等比性质的特例，并进行推广。

1、练习。

利用更比、合比性质证明（强调用合比性质证明）

如果。

求证：

（1）；

（2）。

证明：

2、观察上述练习的结论，并对一般情况作出猜想，对练习1中相等的比值的个数进行推广。

如果，那么（或等等）

3、利用“设比法”进行证明，得出等比性质，见课本205页。

4、强调证明方法（设比法）：

设几个相等的比的比值为，表示出每一个比的前项（或后项），利用代数运算证明比例式，这种思想在比例的问题中经常用到。

5、将合比性质进行推广：

如果，那么（或等等）。

含义：

只要相等的比中前项、后项的对应项的系数相同，就可以使用等比性质。

证明方法：

只需每个比的前项、后项乘以相应的系数即可。

三、合比、等性质的简单应用

例1填空：

（1）已知，则，；

（2）已知，则，

。

（可直接用结论，也可简单讲解求解过程）

（3）已知：

，则，。

说明：

讲解过程中要写出解题过程，示范给学生看。

四、小结

在学生回忆基础上，师生共同小结：

1、合比性质、等比性质及常用变形，尤其要请注意等比性质的使用条件；

2、证明两个性质时所用到的“设比法”要记得；

3、类比联想，推广命题，由特殊猜想一般，再进行证明的方法。

五、作业：

（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值；

（3）已知，，求的值。

（要求写出解题过程）

六、课后练习

1、已知，那么等于（）

2、若，那么下列等式成立的是（）

3、若，则=

4、若，则

5、若，则=

6、如果，那么等于

7、已知，则

8、若，则下列式子中正确的是（）

9、已知,则=

10、若均不为0，则的值是

11、已知，且，则的值是

12、若分别是的三边且有，则

13、已知为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过象限。

14、在中，若,且，则=

15、在中，若，证明：