学年开原市第二高级中学高三第三次模拟考试数学试题及答案解析.docx

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学年开原市第二高级中学高三第三次模拟考试数学试题及答案解析

2020-2021学年开原市第二高级中学高三第三次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则复数（）

A．B．C．D．

2．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（）

A．B．C．D．

3．定义在上的偶函数满足，若，且，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

4．在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则（）

A．B．C．D．

5．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③B．②③C．①③D．①②

6．实数是方程表示实轴在轴上的双曲线的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．若α∈（，π），sinα=，则tanα=（　　）

A．B．C．D．

8．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．已知，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

10．国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为米､高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（）

A．B．的最大值为

C．当时，D．当时，有最小值，最小值为

11．设集合，集合，若，则实数的值可以为（）

A．B．0C．3D．

12．函数的部分图像如图中实线所示，图中的M、N是圆C与图像的两个交点，其中M在y轴上，C是图像与x轴的交点，则下列说法中正确的是（）

A．函数的一个周期为B．函数的图像关于点成中心对称

C．函数在上单调递增D．圆C的面积为

三、双空题

13．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度，现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，乙上下山的速度都是（两人途中不停歇），则甲、乙两人上下山所用时间之比为：

______；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是_______（填甲或乙）.

四、填空题

14．在锐角中，角的对边分别为，且，则角___.

15．若曲线C上任意一点与直线上任意一点的距离都大于1,则称曲线C远离”直线，在下列曲线中,“远离”直线：

y=2x的曲线有___________（写出所有符合条件的曲线的编号）

①曲线C:

；②曲线C:

；③曲线C:

；

④曲线C:

；⑤曲线C:

.

16．若实数a，b，m满足，且，则m的值为______.

五、解答题

17．如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，记折起后的三角形为，且.

（1）证明：

平面平面；

（2）问在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

18．如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）求四面体的体积．

19．已知数列是首项为的等比数列，前项和中，，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求证.

20．在中，、、分别为角、、所对的边，且，.

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

21．已知数列满足，.

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）求数列的前10项和.

22．已知函数．

（1）当函数在内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，求证：

．

【答案与解析】

1．D

分子分母同乘分母共轭复数，化简即可.

解：

因为复数

故选D.

本题考查了复数的运算，属于基础题.

2．C

利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．

，

．

故选：

C．

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．C

由题意可得，结合偶函数的性质得，从而，解出即可．

解：

∵，

∴，

又是偶函数，

∴，

∵，且，

∴，即，

∵，

∴，即，

故选：

C．

本题主要考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于中档题．

4．A

由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解.

因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以，

即，

所以，

所以，

所以，

如图所示：

由正弦定理得：

，

因为，

则，

所以，

即，

则，

所以，

即，

，

.

故选：

A.

本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题.

5．D

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.

取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可证，，则，.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；

对于命题②，，则平面的一个法向量为，

，令，解得，

所以，存在点使得平面，命题②正确；

对于命题③，，令，

整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.

故选：

D.

本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

6．B

试题分析：

“曲线是焦点在x轴上的双曲线”，则，，但当时，可能有，此时双曲线的焦点在轴上，因此“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B．

考点：

充分必要条件

7．C

利用同角三角函数关系式求解即可.

∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=，则tan．

故选C．

本题考查同角三角函数关系式的应用，属于简单题.

8．C

首先画出函数的图像并求出函数恒过的定点.再讲函数恰有5个零点，等价于函数与恰有个不同的交点.由图可求出的取值范围.

解：

函数的图像如图所示：

因为，所以函数恒过点

函数恰有5个零点，

等价于函数与恰有个不同的交点.

由图知：

，即：

.

故选：

本题主要考查了函数图像的画法，同时考查了函数的零点问题，数形结合是解题的关键，属于难题.

9．BC

根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

若，，，则或异面，A错误；

若，，则或，当时，因为，所以；当时，由结合线面垂直的性质得出，B正确；

若，，则，又，则，C正确；

若，，则，又，则或，D错误；

故选：

BC

本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.

10．BCD

根据已知，利用圆柱和圆锥的体积公式求得，结合可得的范围，则可判断A的对错；根据与的关系即可利用的范围求的最大值，则可判断B的对错；分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，底面积，然后得到总费用的表达式，进而将代入，即可判断C选项的对错；在C的基础上，利用导数求解最值即可判断D的对错.

由题意可得，所以，由，得，解得，所以，故A项不正确.

易知随的增大而减小，所以当时，取得最大值，且最大值，故B项正确.

圆锥的母线长，故圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，圆柱的底面积，

所以总费用

.

当时，，C项正确.

，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以当时，取得最小值，最小值为，D项正确.

故选：

BCD

关键点睛：

本题粮食储存问题为背景，解题关键是通过组合体体积与表面积的求解，制造总费用的最值的求解，主要考查考查运算求解能力､逻辑思维能力､创新能力，难度属于中档题

11．ABD

化简集合A，由得出，讨论，两种情况，结合包含关系得出实数的值.

，

当时，即时，满足

当，即时，

由于，则或，即或

故选：

ABD

12．BD

根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得的坐标，进而可得的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误.

由图知：

，，，

∴中，即；对称中心为；单调减区间为；圆的半径，则圆的面积为；

综上，知：

AC错误，而BD正确.

故选：

BD.

本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.

13．乙

设上山路程为1，求出甲、乙两人上下山所用时间，再计算．

解：

设上山路程为1，

则甲上下山所用时间为，乙上下山所用时间为，

∴甲、乙两人上下山所用时间之比为；

∵，

∴，

∴，即乙上下山所用时间之和最少；

故答案为：

；乙．

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．

14．

根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角A.

由余弦定理得:

又.

故答案为:

.

本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.

15．②③⑤

对于①利用两条平行线间的距离公式来判断；对于②，设出曲线斜率为的切线方程，利用判别式为零求出这条切线方程，再利用两条平行线间的距离公式来判断；对于③，利用点到直线距离来判断.对于④，利用图像上的特殊点进行排除；对于⑤，利用导数求得曲线上和直线平行的切线的切点，然后利用点到直线的距离公式来判断.

对于①，由两条平行线间的距离公式得两直线距离为，不符合题意.对于②，设与抛物线相切，即，也即，判别式，故切线方程为，与的距离为，符合题意.对于③，方程表示点，到直线的距离为符合题意.对于④，取点，到直线的距离为不符合题意.对于⑤，令，解得，切点为，到直线的距离为，符合题意.综上所述，符合题意的有②③⑤.

本小题主要考查两平行线间的距离公式，考查点到直线的距离公式，考查曲线上的点到直线距离最小值的求法，属于中档题.

16．

，可以根据指对互化，求出再代入到中，我们就能得到一个关于的方程，这样就能求出的值.

由条件可知：

，

，

，

所以，

即，

故答案为：

.

17．

（1）见证明；

（2）见证明

（1）先证明平面，又平面，即证平面平面.

（2）当即为的中点时，，平面，即证.

证明：

（1）如图①，设线段与交于点，连接，

由已知可得，四边形是菱形，

∴.

∵，是的中点，

∴.

又，平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）当即为的中点时，，证明如下：

如图②，取的中点，的中点，连接，，，.

由已知可得，都是等边三角形，

∴，，

∴平面，∴.

而，∴.

又点，分别为，的中点，

∴，∴，

又都是等边三角形，∴.

∴平面，∴.

本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.

18．（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积

解：

（Ⅰ）证明：

连

四边形是平行四边形