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图上各点切线斜率k=
表示速度v,即图线的倾斜程度反映物体运动的快慢,其倾斜程度越大,速度越快。
斜率的大小表示做匀速直线运动物体的速度的大小,斜率的正负即为速度的正负。
从图1可知,物体的速度为v=1m/s。
3、几点说明
(1)物体的x-t图象和物体的运动轨迹不同。
(2)若图象不过原点,有两种情况:
①图象在纵轴上截距表示开始计时物体相对于参考点的位移;
②图象在横轴上的截距表示物体过一段时间再从参考点出发。
如图2,图线①开始时相对参考点的位移为x0,图线②经过t0才从参考点出发。
(3)两图线相交说明两物体相遇,其交点A的横坐标表示相遇的时刻,纵坐标表示相遇处对参考点的位移。
如图2中,图线①和图线②相交于A点,表示两物体在t1时刻相遇,其中x1表示相遇处对参考点的位移。
(4)图象是倾斜直线表示物体做匀速直线运动,图象是曲线则表示物体做变速运动,如图3中的②、③图线表示物体做匀速直线运动,①表示物体做变速运动。
(5)图象平行于t轴,即斜率为零,说明物体的速度为零,表示物体静止如图3中④图线;
图象斜率为正值,表示物体沿与规定方向相同的方向运动,如图3中图线②;
图象斜率为负值,表示物体沿与规定方向相反的方向运动,如图3中图线③。
(6)图象与横轴交叉,表示物体从参考点的一边运动到另一边,如图3中的图线③表示相距参考点x0一边运动到参考点。
要点二、速度-时间图象(v-t图象)
在v-t图象中,横坐标表示从计时开始的各个时刻,纵坐标表示物体某时刻的速度,整个图象反映了物体的速度随时间的变化规律。
由于
,而v-t图象中的斜率k=
,所以
,斜率的大小即为加速度的大小,斜率的正负即为加速度的正负。
2、匀速直线运动的v-t图象
匀速直线运动的速度v是恒定的,不随时间发生变化,所以v-t图象是一条与横轴平行的直线,如图所示。
图中,A的速度为正值表示其速度方向与规定的正方向相同,B的速度为负值,表示它的速度方向与规定的正方向相反。
在比较A、B速度的大小时,应该有:
。
3、变速直线运动的v-t图象
在变速直线运动中,如果在任意相等的时间内速度的改变都相等,这种运动叫匀变速直线运动,它的v-t图象是一条倾斜直线,如图所示,A表示匀加速直线运动的v-t图象,B表示匀减速直线运动的图象。
4、非匀变速直线运动的v-t图象
物体做直线运动时,如果在相等的时间内速度改变不相等的叫非匀变速直线运动,它的v-t图象是一条曲线,如图所示:
5、v-t图象的应用
(1)可求出任一时刻的速度。
(2)可求出达到某一速度所需的时间。
(3)可求出某段时间内发生的位移。
运动质点在某段时间t内发生位移的大小是v-t图象与坐标轴及t的始、末时刻线段所围面积的数值,如图:
要点三、x-t图象与v-t图象的比较
图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在
图象与
图象中的比较.
图
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)
①表示物体做初速度为零的匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体静止
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体静止在原点O
③表示物体静止
④表示物体向反方向做匀速直线运动;
初位置为
④表示物体做匀减速直线运动;
初速度为
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
⑥
时间内物体位移为
时刻物体速度为
(图中阴影部分面积表示质点在0~
时间内的位移)
要点四、运用图象时的注意问题
1.首先明确所给的图象是什么图象,即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。
特别是那些图形相似,容易混淆的图象,更要注意区分。
2.要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。
(1)点:
图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态,特别注意“起点”、“终点”、“拐点”,它们往往对应一个特殊状态。
(2)线:
表示研究对象的变化过程和规律,如
图象中图线若为倾斜直线,则表示物体做匀变速直线运动。
(3)斜率:
表示横、纵坐标轴上两物理量的比值,常有一个重要的物理量与之对应。
用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。
如
图象的斜率表示速度大小,
图象的斜率表示加速度大小。
(4)面积:
图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。
图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。
(5)截距:
表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。
由此往往能得到一个很有意义的物理量。
【典型例题】
类型一、关于位移图象的理解
例1、某物体的位移图象如图所示,若规定向东为位移的正方向,试求;
物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度。
【思路点拨】要理解位移图像所表示的物理意义。
【解析】物体在t=0开始从原点出发向东行做匀速直线运动,历时2s;
接着在第3s~5s内静止;
第6s内继续向东做匀速直线运动;
在第7s~8s内匀速反向西行,至第8s末回到出发点;
在第9s~12s内从原点向西行做匀速直线运动。
由x-t图得各阶段的速度如下:
OA段:
AB段:
物体静止,速度为0
BC段:
CD段:
DE段:
【点评】位移图象的斜率表示速度的大小和方向(斜率的正负表示速度的方向)。
图象平行于t轴,说明物体的速度为零,表示物体静止;
图象斜率为正值,表示物体沿与规定方向相同的方向运动;
图象斜率为负值,表示物体沿与规定方向相反的方向运动。
举一反三
【变式】
(2015山西忻州一中期末考)a、b、c三个物体在同一条直线上运动,三个物体的位移-时间图象如右图所示,图象c是一条抛物线,坐标原点是抛物线的顶点,下列说法中正确的是
A.a、b两物体都做匀速直线运动,两个物体的速度相同
B.a、b两物体都做匀速直线运动,两个物体的速度大小相同方向相反
C.在0~5s的时间内,t=5s时,a、b两个物体相距最远
D.物体c做匀加速运动,加速度为0.2m/s2
【答案】a、b两物体位移时间图像斜率大小相等方向相反,则二者做方向相反的匀速直线运动,在0-5s的时间内,t=5s时,a、b两物体相距最远,C做匀加速直线运动,代入位移时间公式,可解得
类型二、运动图象描述相遇问题
例2、如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的x-t图象,下列说法中正确的是( )
A、甲启动的时刻比乙早t1 B、当t=t2时,两物体相遇
C、当t=t2时,两物体相距最远 D、当t=t3时,两物体相距x1
【答案】ABD
【解析】由x-t图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点x1处开始沿x负方向做匀速直线运动,乙物体是在t1时刻开始从坐标原点沿x正方向做匀速直线运动,两物体在t2时刻相遇,然后远离,t3时刻两物体相距x1,因此选项ABD正确。
【点评】x-t图象中两图线相交说明两物体相遇,其交点A的横坐标表示相遇的时刻,纵坐标表示相遇处对参考点的位移。
【变式1】如图所示,折线a是表示物体甲从A地向B地运动的位移图线,直线b是表示物体乙从B地向A地运动的位移图线,则下述说法中正确的是()
A、甲、乙两物体是相向运动
B、甲物体是匀速运动,速度大小是7.5m/s
C、甲、乙两物体运动8s后,在距甲的出发点60m处相遇
D、甲在运动中停了4s
【答案】ACD
【解析】由图象知,甲、乙两物体在开始运动时相距100m,后来距离越来越小,甲向乙的出发点运动,乙向甲的出发点运动,因而它们是相向运动,选项A正确。
两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置,即相遇的时刻与位置,故选项C正确。
甲在运动中有一段图线与时间轴平行,这表示甲在4s内位置始终没变,因而是静止的,选项D正确。
甲在全过程中并不是匀速运动,故选项B是错的。
【高清课程:
图像法解决直线运动问题14页例6】
【变式2】速度时间图象如图所示,则()
A、两物体两次相遇的时刻是2s和6s
B、4s后甲在乙前面
C、两物体相距最远的时刻是2s末
D、乙物体先向前运动2s,随后向后运动
【答案】A
【变式3】甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两车的x-t图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A、t1时刻乙车从后面追上甲车
B、t1时刻两车相距最远
C、t1时刻两车的速度刚好相等
D、0到t1时间内,乙车的平均速度小于甲车的平均速度
【答案】A
类型三、关于速度图象的理解
例3、(2016天水市秦安二中模拟)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动,它们的v—t图象如图所示。
下列判断正确的是()
A.乙车启动时,甲车在其前方50m处
B.运动过程中,乙车落后甲车的最大距离为75m
C.乙车启动10s后正好追上甲车
D.乙车超过甲车后,两车不会再相遇
【解析】根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移,可知乙在t=10s时启动,此时甲的位移为
,即甲车在乙前方50m处,故A正确。
当两车的速度相等时相距最远,最大距离为
,故B正确。
由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动,当位移相等时两车才相遇,由图可知,乙车启动10s后位移小于甲的位移,还没有追上甲,故C错误。
乙车超过甲车后,由于乙的速度大,所以不可能再相遇,故D正确。
故选ABD。
【总结升华】速度-时间图像与时间轴所包围的面积表示对应时间内的位移大小,根据两车的速度关系和位移关系就能分析出何时相遇。
举一反三
【变式1】一物体自t=0时开始做直线运动,其速度图线如图所示。
下列选项正确的是( )
A、在0~6s内,物体离出发点最远为30m
B、在0~6s内,物体经过的路程为40m
C、在0~4s内,物体的平均速率为7.5m/s
D、在5~6s内,物体所受的合外力做负功
【答案】BC
【解析】对A,0—5s,物体向正向运动,5—6s向负向运动,故5s末离出发点最远,A错;
对B,由面积法求出0—5s的位移s1=35m,5—6s的位移s2=-5m,总路程为40m,B对;
对C,由面积法求出0—4s的位移s=30m,平度速度为v=s/t=7.5m/s,C对;
对D,由图像知5~6s过程物体加速,合力和位移同向,合力做正功,D错。
图像法解决直线运动问题9页例4】
【变式2】如图所示是某汽车的速度图像。
由图像可知,在0-4秒内汽车做运动,平均速度是m/s。
4—7s内汽车做运动,平均速度是m/s。
7—10s内汽车做运动,平均速度是m/s。
【答案】匀加速直线1.25匀速直线2匀减速直线1
类型四、关于位移与速度图象的区别
例4、如图中的甲、乙分别表示位移图象和速度图象,试比较两形状完全相同图象的物理意义。
【思路点拨】要理解位移图象与速度图像所表示的物理意义的不同点。
【解析】请看下表:
【点评】对于物理图象主要观测方法是:
首先看横、纵轴表示的物理量;
其次看图象从横纵轴上直接可获取的信息,联系实际,搞清物理情景。
【高清课程:
图像法解决直线运动问题7页例3】
【变式1】有四个运动的物体A、B、C、D,物体A、B运动的s-t图像如图甲所示,物体C、D运动的v-t图像如图乙所示,由图像可以判断出物体A做的是____________运动;
物体C做的是_____________运动。
在0-3s的时间内,物体B运动的位移为____m,物体D运动的位移为_______m。
【答案】匀速直线初速度为零的匀加速直线1037.5
【变式2】如图所示,甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象,下列说法正确的是()
A.甲是a-t图象B.乙是s-t图象
C.丙是s-t图象D.丁是v-t图象
【答案】C
【解析】由匀变速直线运动速度v=v0+at和位移s=v0t+
at2两公式,可得选项C正确.