（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4、勾股数：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
5、勾股定理的证明
方法一
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
方法二（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
二、主要题型类型
类型一：
勾股定理的直接用法
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°,AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2=132－122=25
∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16
∴AB=4即AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用
2.如图，已知：
，，于P.
求证:
.
解析：
连结BM，根据勾股定理，在中，.
而在中，则根据勾股定理有.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有，
∴.
【变式1】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，
∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：
（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形
由已知可得：
BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：
OC＝1米（大门宽度一半），OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，
由勾股定理得CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得（提问：
勾股定理）∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1）原命题：
猫有四只脚．（正确）
2）原命题：
对顶角相等（正确）
3）原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4）原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
1）逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2）逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3）逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）
4）逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
7、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积
【答案】：
连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式1】已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:
a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
本章小结：
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．
第二章实数
本章的知识网络结构：
数的开方主要知识点
【1】平方根：
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：
。
因此：
（1）当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
（2）当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
。
（3）当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1）的平方是64，所以64的平方根是；
（2）的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（4）当x时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？
这个正数是多少？
【算术平方根】：
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：
“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：
0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：
具有双重非负性，即：
。
（3）算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
。
例2.
（1）下列说法正确的是（）
A．1的立方根是；B.；（C）、的平方根是；（D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（）
A、B、C、D、
（3）的算术平方根是。
（4）若有意义，则___________。
【立方根】
（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。
记做：
，读作，3次根号a。
注意：
这里的3表示的是开根的次数。
一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.
（1）64的立方根是
（2）若，则b等于（）
A.1000000 B.1000 C.10 D.10000
（3）下列说法中：
①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【无理数】
（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：
（1）特殊意义的数，如：
圆周率以及含有的一些数，如：
2-，3等；
（2）开方开不尽的数，如:
等；（3）特殊结构的数：
如：
2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：
带根号的数不一定是无理数，如：
等；无理数也不一定带根号，如：
（2）有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.
（1）下列各数：
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序号）
（2）有五个数:
0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有（）个
A2B3C4D5
【实数】
（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数的性质：
实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：
在数轴上的点到原点的距离。
（3）实数的大小比较法则：
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
即正数大于0，0大于负数；正数大
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