哈尔滨工业大学量子力学试题文档格式.docx
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出两者满足的测不准关系。
对易关系为'
X，Px]=i，测不准关系为yPx-?
6、厄米算符f?
的本征值fn与本征矢in分别具有什么性质?
本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
1、（20分）（见习题选讲6.1）设氢原子处于
111
「二―2只21「丫1厂，匕只彳"
丫1厂，—2只21「丫1-厂，
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
选H,L2,Lz为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为
Je41
F^n2
：
nlmL,」Rm「丫忤叮
其中，量子数的取值范围是
n二1,2,3,
I二0,1.2,,n-1
m=1,1-1,1-2,,-11,-1
利用归一化条件求出归一化常数为
只有两个，即n=2,3，于是
e44
E=
8
4」
三、（25分）有一质量为m的粒子，在如下势场中运动
00,x£
0,xab
Vx=0,0乞x乞a
Vo,a£
x成b
试求出束缚能级所满足的方程。
当EVo时，四个区域的波函数分别为
1x-0
屮2（x）=Asi（k1x+s）
3x=Bsik2（x）
4x=0
式中，
V2mE,_J2mE-％）
匕；
k2二
由X二0处波函数连续可知，=0，由X二b处波函数连续可知
y——k2b
再利用x二a处波函数及其一阶导数连续的条件
Asink〔a=Bsink2a-k2b
Ak1cosk〔a=Bk2cosk2a-k2b
求出
k
tank1a-tan'
k2a-b丨
k2
此即EVo时能量本征值满足的超越方程。
当E:
Vo时，四个区域的波函数分别为
屮2（x）=Asin（kx）
3x=Bexp：
xCexp-：
x
V2mEj2m（V。
-E）
k；
由x二b处波函数连续条件可知，
Bexpb：
Cexp-b：
=0
或者
B=Cexp-2b-
再利用X=a处波函数及其一阶导数连续的条件
Asinka=Bexpa-Cexp-a:
Akcoska=B：
expa--C-exp-a:
利用B与C的关系式，将上两式改写为
Asinka=「Cexpa：
-2b：
Cexp-a：
Akcoska--C：
expa：
-2b-C：
exp-a：
最后，得到E<
V°
时能量满足的超越方程
kexpka-2b^】一exp—a。
）kexp〔2（a—b腿］一1tanka二
expa-2b：
「exp-a：
「：
〔exp'
2a-b：
「1
四、（25分）设厄米特算符A的本征矢为n〉，｛n»
构成正交归
一完备系，定义一个算符
l?
mn）=|m〈n
（1）计算对易子叩,U?
m,n1；
（2）证明L?
m,nL?
p,q二nqL?
m,p；
（3）计算迹TrXcm’n）〉，其中，算符F?
的迹定义为
Trf?
八［kf?
k）；
（4）若算符A的矩阵元为Am^（m/?
n，证明
A=^AjU（mn）
m,n
p,q：
，
（1）对于任意一个态矢严〉，有
H?
U?
m,nL■:
二HU?
m,n-U?
m,n『」
Hm（n寧）m（nHN）=
Em『m,n〕-EnU?
m,n'
（Em-EnU?
（mn^）
故
l?
mn）L（巳-EnU（mn）
（2）U^m’niyrp’qAlmXnq）〈P=5nql?
（m,p）
（3）算符的迹为
Tri?
（m,n》=迟（kL?
（m,n）k）=
迟〈km）（nk）=迟〈nk）〈km）
kk
Inm」mn
（4）算符
入=迟ImXm^w|m（m|4nX计=迟ApJmn）
mm,nm,n
而
Apq=〈p|Aq）=£
〈pk）（kAq）=
工（kAq〉〈P.k*2：
（kAlT（p,q）k*
TFAl?
p,q：
?
1；
_'
y
五、（25分）自旋为2、固有磁矩为—’S（其中为实常数）
的粒子，处于均匀外磁场B二B0k中，设t二0时，粒子处于s^-的状态，
（1）求出t0时的波函数；
（2）求出t0时?
与?
z的可测值及相应的取值几率。
体系的哈密顿算符为
—B=-B0§
Z=-~^?
z=?
z
2
在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为
h
（1）在t=0时，粒子处于Sx=2的状态，即
w（0»
=+）
11x
为了求出卜）x在泡利表象中的具体形式，需要求解咛X满足的本征方程
'
r
/、
a
=&
/\
<
1
0」
b
解之得
于是，有
由于，哈密顿算符不显含时间，故t0时刻的波函数为
屮
Ji
i「1
ex”齐印丿+）+正
（2）因为H?
gLo，所以Sz是守恒量，它的取值几率与平均值不
随时间改变，换句话说，只要计算t=0时Sz的取值几率就知道了t>
时Sz的取值几率。
由于
W
sz=-,^=-；
W’Sz=_?
o]=丄
\z2丿2；
Iz2）2
故有
sz二0
而Sx的取值几率为
六、（25分）（类似习题选讲9.4）已知二维谐振子的哈密顿算符为|?
0=2?
2"
2/2y2，在对其施加微扰w?
=-xy后，利用微扰论求R=HoW基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
/I1丨nrIn+1、1卜国\
提示：
*mx®
n>
=訂占％-1十j2，其中，八｛〒，④n）为线
谐振子的第n个本征矢。
解:
=Rov?
其中,
2x2y2
V?
…xy
已知H?
o的解为
E0=n1
n:
X,y=nixn2y
其中，
n1,n?
n二0,1,2,—123,,仁
将前三个能量与波函数具体写出来，
eA
-■
7
0"
」0X「oy
Eo=
2,
11
八0X,y
12
八1x0y
E二
3,
21
-2x0y
22
=0x2y
23
八1x,y
n厂n2
=n=
0，
fo
二1，体系无简并
对于基态而言，
利用公式
可知
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
于是得到
久期方程为
w^-e2）
W2
W13
W2i
w22-e2）
W23=-
W31
W33-E21）
州=W22
=W33=W12
=W2^-
^3=W3厂W23二W32…22
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