完整版平行四边形专题.docx

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完整版平行四边形专题

第18章平行四边形专项训练

专训1：

平行四边形的性质

1、（2014宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O．求证：

OA＝OC．

2、（2015·南通中考）如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.

（1）求证：

△AED≌△CFB.

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：

DA=DF.

专训1.判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法

时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．

1．

如图，在?

ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：

四边形FMEN为平行四边形．

4．如图，在?

ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，形BFDE是平行四边形吗？

请说明理由．

5．如图①，?

ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.

（1）求证：

四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形

平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：

四边形AECF是平行四边形．

7、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BC、E△ACF，请回答下列问题，并说明理由

（1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在

8、如图，在□ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足BE＝DF，CG＝AH，连接EF，GH．求证：

EF与GH互相平分

专训2.构造中位线的方法

名师点金：

三角形的中位线具有两方面的性质：

一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．

连接两点构造三角形的中位线

1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，那么四边形GEHF是平行四边形，为什么？

3、已知：

如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；

（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？

．

4、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

（1）求证：

PM＝PN；

（2）求∠MPN的度数．

5、（2015广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．

利用角平分线＋垂直构造中位线

6．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

7．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

倍长法构造三角形的中位线

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M

1

为AF的中点，求证：

ME＝2CF

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

9.已知：

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：

∠DEN=∠F．

10.10．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，别为AF，BE的中点，求证：

AE＝2MN.

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，1

求证：

AN＝3AC.

答案

专训1

1．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE綊BF.∴四边形BFDE为平行四边形．∴BE∥DF.同理，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．

2．证明：

∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，

∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，

∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC≌△DBE.∴AF＝AC＝DE.同理，可证△ABC≌△FEC，

∴AD＝AB＝EF.∴四边形ADEF是平行四边形．

3．证明：

∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.

∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，

∠BAE＝∠DCF，

AE＝CF，∴△AEB≌△CFD，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边ABCD是平行四形．

∠AEB＝∠CFD，

4．解：

四边形BFDE是平行四边形．理由：

在?

ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.11

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝2∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝2∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．

5．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.

∠EAO＝∠FCO，

在△OAE与△OCF中，OA＝OC，∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.同理OG＝OH，

∠AOE＝∠COF，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）解：

与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?

GBCH，?

ABFE，?

EFCD，?

EGFH.

专训2

11

1．

（1）证明：

如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM綊2CD，PN綊2AE.∵△ABD

和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△

ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.

（2）解：

如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由

（1）知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，

∴∠MPN＝120°

2．解：

如图，延长BD，CA交于N.在△AND和△ABD中，∠NAD＝∠BAD，

AD＝AD，∴△AND≌△ABD（ASA）．

∠ADN＝∠ADB＝90°，

∴DN＝DB，AN＝AB.∴DM＝12NC＝21（AN＋AC）＝21（AB＋AC）＝15.

3．解：

如图，延长BD交AC于点F，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF（ASA）．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

AN.

90°

＝90°，

BF＝BN，

∠CBF＝∠ABN，

BC＝BA，1

∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.

22

5．解：

如图，取BD的中点P，连接PM，PN.

∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线，

11

∴PM＝2AB＝5.同理可得PN＝2CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN

＋PN，∴1

1

6．证明：

如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝2BF，NH＝12AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，∴MH∥BF，NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－（∠AHM＋∠BHN）＝180°－（∠ABC＋∠BAC）＝90°.

∴NH＝22MN.∴AE＝2NH＝2×22MN＝2MN.

7．证明：

如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．

又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，∴AP＝PD.∴AP＝EH，

易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.∴

AN＝NH＝HC，∴AN＝31AC.