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《勾股定理》
暑假期间，重新看了一下勾股定理在八年级下册的学习探究，不禁让人感叹数学的发展经历了如此漫长的岁月。
传说，古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角。
他们把12段同样长的绳子相互连成环状（如图1．1所示），把从B到C之间的五段绳子拉成直线，然后在A点将绳子拉紧，于是就形成了直角ABC。
他们将这种构形放在地上，让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的拐角处建成标准的直角。
我们在古埃及文明中，发现了数学发展的明显迹象。
古埃及人研究的重点是数学的应用方面，以数学作为工具，促进贸易、农业和日益复杂的日常生活其他方面的发展。
从技术角度说，古埃及人的这种认识还不是勾股定理本身，而是勾股定理的逆定理。
一个完全正确的命题，其逆命题可能是错误的，但勾股定理则不然，不论正命题，还是逆命题，都是正确的。
勾股定理又叫毕氏定理：
在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000年！
又据记载，现时世上一共有超过300个对这定理的证明！
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
这是任何定理无法比拟的。
在八年级的课本介绍了赵爽弦图的证明方法，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并证明了勾股定理这一数学原理了。
第二十任总统伽菲尔德也曾对勾股定理做出证明。
如图，
2S梯形ABCD=（a+b）2=（a2+2ab+b2），①
又2S梯形ABCD=2S△AED+2S△EBC+2S△CED=ab+ba+c2=（2ab+c2）。
②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
有趣的是，如下的一颗树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。
又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
无论是谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富。
勾股定理也许确实是数学中的明珠，但就好像是漫长银河中的一颗明亮的星星。
我们能做的就只有仰望星空，去寻找那一颗不为人知的星星……
勾股定理与整数的乘除
命题人：
袁婉霞
一、填空题（每空2分，共计22分）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________；
2、如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是___________。
3、求下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
（注：
下列各图中的三角形均为直角三角形）
答：
A=＿＿＿＿，y=＿＿＿＿，B=＿＿＿＿
4.木匠做一矩形桌面,长为80,宽为60,对角线长为100,则这个
桌面为（合格或不合格）。
5、如图从帐篷AB的顶部A向地面拉一根绳子AC来固定帐篷，若绳子的长度是5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是_______米（精确到0.01）
6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是等腰直角三角形，其中最大的正方
形的边长为7cm，则最小的正方形的
面积是__________cm。
7、的算术平方根是______，-125的立方根是____，的平方根是______；
二、选择题（每题2分，共计10分）
1、下列各组数中，不是勾股数的是（）
A．5，12，13B．8，15，17C．7，8，12D．15，25，20
2、若（a-5）2+（b-12）2+|c-13|=0，则由a、b、c三个数值为边构成的三角形为（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
3、的立方根是（）
A．±2B．±4C．4D．2
4、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）
A．0B．1C．2D．3
5、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等 的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b,那么（a＋b）2的值为（）
A.13B.19C.25D.169
三、计算（每题4分，共计16分）
1、2、
3、4、
四、因式分解（每题4分，共计16分）
1、2、
3、4、
三、解答题（前6题每题5分，第7题6分共计36分）
1、若直角三角形的三边分别为6、8、x，试求出x的所有值。
2、在“安娜”台风中，一根旗杆被台风吹折，已知折断点B点离地面12米，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点5米处的地方，你能求出旗杆折断之前的高度吗？
它是多少？
B
CA
3、如图，有一个长方形，在A点有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，则它的爬行的最短路线的长是多少？
B
6
A4
4、如图，在中，，AB=3,BD=2,DC=1,求AC。
A
BDC
5、如图，∠DAB＝90°，AD=3，AB＝4，BC=12，DC=13，
求四边形ABCD的面积。
6、已知一轮船以每小时16海里的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以每小时12海里的速度从港口A出发向东南方向航行。
（1）你能画出图形吗？
（2）试求离开港口2小时后，两船的距离。
7、如图正方形网格中每个小正方形的边长都是1，
每小格的顶点叫格点，以格点为顶点，试作出长度为
和的线段。
学习目标:
熟练应用勾股定理和面积法列方程或方程组解决求值问题。
培养化归思想和方程思想。
学习过程:
一,例1学习:
如图,Rt△ABC的两直角边为3,4。
求斜边上的高CD。
CABD
归纳:
我们有Rt△ABC的两种面积表示方法BCAC∙21和。
像这样,用两种面积表示方法表示同一图形的面积,从而建立方程来解决问题的方法叫面积法...
练习:
如图,Rt△ABC的一直角边为5,斜边长13。
求斜边上的高CD。
C
ABD
二,例2学习:
如图,等腰三角形的三边为17㎝,17㎝,16㎝。
求腰上的高CD。
分析:
由CD为高想到此三角形的面积可以表示为CDAB∙2
1,如果知道BC边上的高,就可以用面积法建立方程求出CD。
解,作BC边上的高AE。
∵AE为等腰三角形底边上的高
∴AE为底边BC的中线（
∴CE=
练习:
如图,等腰三角形的腰长为17㎝,底边上的高AE为15㎝。
求腰上的高CD。
16
CB
三,例3学习:
等腰三角形的腰长为5,面积为12。
求它的底边BC的长。
首先我们想到:
根据面积可以求出腰上的高,但是
腰上的高是在三角形的内部还是外部呢?
看来我们
要分两种情况。
先求出CD=4.8,然后求出AD=
再求出BD=或
最后求出BC=或
接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质,我们可以作底边的高构造直角三角形,就不需要分类了。
我们可以根据面积列一个方程,还可以根据勾股定理列一个方程。
由方程组可以解决这个问题。
解:
作BC边上的高AE。
∵AE为等腰三角形底边上的高
∴AE为底边BC的中线（
设BE=x=CE,AE=y.（注意2x的值才是要求的答案
由Rt△AEC得=
+2
2y
x
由三角形面积得=
xy
四,练习:
1,设直角三角形的三边为a,b,c,斜边c上的高为h。
（1a=6,b=8,求h（2a=5,c=13,求h（3b=24,c=25,求h
2,三角形的三边长如图所示,求BC边上的高。
3,三角形ABC中,AB=24,AC=13,∠B=30度。
求BC的长。
（先把图形画出来
A
B
C
BBC
BC
E
4
A
C
B
勾股定理
勾股定理的证明
【例】如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．
借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
练习
1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称
为弦图．观察图形，验证：
c2＝a2＋b2.
2、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新
的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′
的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′
的面积验证勾股定理：
a2+b2=c2.
翻折中的勾股定理
【例】．如图，折叠矩形的一边，使点D落在BC边的点F处，其中，你知道CE多长吗？
练习
1、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，
BC/交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）
A3B4C5D6
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将
直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，
且与AE重合，你能求出CD的长吗？
3.如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD
重合,得到折痕DG,若AB=8.BC=6,求AG的长.
4、如图长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）
（A）3.74（B）3.75（C）3.76（D）3.77
5、（2020安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A.B.C.D.
6、（2020内江）如图，在等腰三角形中，，，为底边上一动点（不与点重合），，，垂足分别为，则
最值问题
1、点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（）
2．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
3、如图：
有一圆柱，它的高等于，底面直径等于（）在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，需要爬行的最短路程大约
4、如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米
5．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．
6．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他
的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
方位角与勾股定理
【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：
00甲先出发，他以6千米/时的速
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