江西中考数学考前专题训练二次函数综合题10道Word文档下载推荐.docx

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（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；

（3）当d（0<

1）的大小变化时，是否存在顶点与x轴的两个交点所构成的三角形是直角三角形的抛物线？

若存在，请你求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．

第2题图

（1）∵M（0，）在直线y＝x＋

b上，

∴＝×

0＋b，

∴b＝；

（2）由

（1）得：

y＝x＋，

∵B1（1，y1）在l上，

∴当x＝1时，y1＝×

1＋＝，

∴B1（1，）．

∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋（a≠0），

又∵x1＝d，

∴A1（d，0），

∴0＝a（d－1）2＋，

∴a＝－，

∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：

y＝－（x－1）2＋；

【一题多解】∵x1＝d，

∴A1（d，0），A2（2－d，0），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x－d）·

（x－2＋d）（a≠0），

把B1（1，）代入得＝a（1－d）·

（1－2＋d），

得a＝－，

∴抛物线的解析式为

y＝－（x－d）·

（x－2＋d）．

（3）存在．

由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，

∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，

又∵0<

1，

∴等腰直角三角形斜边的长小于2，

∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.

∵当x＝1时，y1＝×

1＋＝<

当x＝2时，y2＝×

2＋＝<

当x＝3时，y3＝×

3＋＝1>

∴该抛物线的顶点只有B1，B2，

①若B1为顶点，由B1（1，），

则d＝1－＝；

②若B2为顶点，由B2（2，），

则d＝1－[（2－）－1]＝，

综上所述，d的值为或时，存在满足条件的抛物线．

3.如图①，抛物线C：

y＝x2经过变化可得到抛物线C1：

y1＝a1x（x－b1），C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；

按上述类似方法，如图②，抛物线C1：

y1＝a1x（x－b1）经过变换可得到抛物线C2：

y2＝a2x（x－b2），C2与x轴的正半轴交与点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；

按上述类似方法，如图③，可得抛物线C3：

y3＝a3x（x－b3）与正方形OB3A3D3.请探究以下问题：

（1）填空：

a1＝________；

b1＝________；

（2）求出C2与C3的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线Cn：

yn＝an（x－bn）与正方形OBnAnDn（n≥1）．

①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；

②当x取任意不为0的实数时，试比较y2016与y2017的函数值的大小并说明理由．

第3题图

（1）1；

2；

【解法提示】由抛物线C经过变换得到抛物线C1，则a1＝1，代入C1得：

y1＝x（x－b1）．y1＝0时，x（x－b1）＝0，x1＝0，x2＝b1，∴A1（b1，0），

由正方形OB1A1D1得：

OA1＝B1D1＝b1，∴B1（，），∵B1在抛物线C上，则＝（）2，b1（b1－2）＝0，b1＝0（不符合题意），b1＝2.

（2）由a2＝a1＝1得，y2＝x（x－b2），

y2＝0得，x（x－b2）＝0，

x1＝0，x2＝b2.

∴A2（b0，0）．

由正方形OB2A2D2得：

OA2＝B2D2＝b2，

∴B2（，），

∵B2在抛物线C1上，则＝（）2－2×

，

b2（b2－6）＝0，b2＝0（不合题意），

∴b2＝6，

∴C2的解析式：

y2＝x（x－6）＝x2－6x，

由a3＝a2＝1得，y3＝x（x－b3），

y3＝0时，x（x－b3）＝0，

x1＝0，x2＝b3，

∴A3（b3，0），

由正方形OB3A3D3得：

OA3＝B3D3＝b3

∴B3（，），

∵B3在抛物线C2上，则＝（）2－6×

b3（b3－14）＝0，

b3＝0（不合题意），b3＝14，

∴C3的解析式：

y3＝x（x－14）＝x2－14x；

（3）①Cn的解析式为：

yn＝x2－（2n＋1－2）x（n≥1）；

②由①得抛物线C2016的解析式为：

y2016＝x2－（22016＋1－2）x＝x2－（22017－2）x，

抛物线C2017的解析式为：

y2017＝x2－（22017＋1－2）x＝x2－（22018－2）x，

∴两抛物线的交点为（0，0）．

∴当x<

0时，y2016<

y2017；

当x>

0时，y2016>

y2017.

类型二　与图形变换有关的探究

4.已知抛物线y＝x2－2ax＋a2（a为常数，a>

0），G为该抛物线的顶点．

（1）如图①，当a＝2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积；

（2）如图②，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°

后，所得新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限，QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ＝2QC.求证：

△AQO≌△EQO；

（3）在

（2）的条件下，若QD＝OG，试求a的值．

第4题图

（1）当a＝2时，令x＝0，则y＝a2＝4，

∴点M（0，4），

∵y＝x2－2ax＋a2＝（x－a）2，

∴当a＝2时，顶点G（2，0），

∴OM＝4，OG＝2，

S△GOM＝OM·

OG＝×

4×

2＝4；

∵四边形OQDE为平行四边形，

∴QC＝CE＝QE，

又∵AQ＝2QC，

∴AQ＝EQ，

∵QO平分∠AQC，

∴∠AQO＝∠EQO，

∵在△AQO和△EQO中，

∴△AQO≌△EQO（SAS）；

（3）∵由题意知G（a，0），

∴OG＝a，

∵QD＝OG，

∴QD＝a，

∴OE＝QD＝a，

即A（0，a），

由旋转知，旋转前抛物线点A的坐标为（2a，a），

把（2a，a）代入y＝x2－2ax＋a2得，4a2－2a·

2a＋a2＝a，

即a2＝a，

解得a＝1或0.

∵a为常数，a>

0，

∴a＝0不合题意，舍去，

∴a＝1.

5.如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx过（－2，4），（－4，4）两点．

（1）求二次函数y1的解析式；

（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m（m>

0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y＝m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y＝－m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：

四边形CEFD是平行四边形．

第5题图

（1）将点（－2，4），（－4，4）代入y1＝ax2＋bx，得

，解得，

∴y1＝－x2－3x；

（2）将y1配方，得y1＝－（x＋3）2＋，

∴顶点坐标是（－3，）．

此顶点沿x轴翻折（－3，－），再向右平移2个单位后的点是（－1，－）．

翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是.

∴y2＝（x＋1）2－，即y2＝x2＋x－4.

令y2＝m，得x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2（4＋m）＝0.

设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2（4＋m）．

∵x1，x2是点M，N的横坐标，

∴MN＝|x1－x2|

＝

＝＝2；

（3）设点A的纵坐标为y0.

①当y0≤m＜时，如题图．

对于直线y＝m和函数y1＝－x2－3x，由第

（2）问的方法求得CD＝2.

对于直线y＝－m和函数y2＝x2＋x－4，由第

（2）问的方法可知EF＝2.

∴CD＝EF.

又CD∥EF，

∴四边形CEFD是平行四边形．

②当0＜m＜y0时，如解图，此时直线y＝m与y1的右交点为D，与y1的左交点为C，直线y＝－m与y2的右交点为F，与y2的左交点为E.

第5题解图

由方程组

消去y，得－x2－3x＝m，即x2＋6x＋2m＝0.

解此方程，得x＝－3±

.

点D的横坐标为xD＝－3＋.

由方程组，消去y，得

x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2（4＋m）＝0.

解此方程，得x＝－1±

点C的横坐标为xC＝－1－.

∴EF＝xD－xC＝＋－2.

同理，xF＝－3＋，xE＝－1－.

∴CD＝xF－xE＝＋－2.

综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．

6.如图①，已知抛物线L：

y＝ax2＋bx－（a>

0）与x轴交于点A（－1，0）和点B，顶点为M，对称轴为直线l：

x＝1.

（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2＋bx－＝0的解；

（2）如图②，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移，使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m.

①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？

请说明理由．

②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？

为什么？

③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

第6题图

（1）如解图①，∵y＝ax2＋bx－（a>

0）与x轴交于点A（－1，0）和点B，对称轴为直线l：

x＝1，

∴点A和点B关于直线l：

x＝1对称，

∴点B的坐标为（3，0），

∴一元二次方程ax2＋bx－＝0的解为x1＝－1，

x2＝3；

（2）如解图②，过点P作PC⊥l于点C，

第6题解图

①∵y＝（x－1）2－2，

∴当m＝5,即x＝5,y＝6，

∴P（5，6），

∴此时L′的解析式为y＝（x－5）2＋6，点C的坐标是（1，6）．

∵当x＝1时，y＝14，

∴点N的坐标是（1，14），

∵CM＝6－（－2）＝8，CN＝14－6＝8，

∴CM＝CN，

∴PC垂直平分线段MN，

∴PM＝PN；

②PM＝PN仍然成立，

由题意有点P的坐标为（m，m2－m－）．

∵L′的解析式为y＝（x－m）2＋m2－m－，

∴点C的坐标是（1，m2－m－），

∴CM＝m2－m－＋2＝m2－m＋，

∵在L′的解析式y＝（x－m）2＋m2－m－中，

∴当x＝1时，y＝m2－2m－1，

∴点N的坐标是（1，m2－2m－1），

∴CN＝（m2－2m－1）－（m2－m－）＝m2－m＋，

③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．

若＝tan30°

，则m2－m＋＝（m－1），

解得m＝或m＝1（不合题意，舍去）

∴点P的坐标为（，－）．

类型三　二次函数性质的探究问题

7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（4，0）两点．

（1）用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式；

（2）该二次函数的对称轴不可能是（），并对你的选择进行证明．

A.x＝0　　B.x＝1　

C.x＝2　　D.x＝3

（3）以－a代替

（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解

析式．

①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？

请说明理由；

②当x＝t（0≤t≤4）时，求|y－y′|的最大值（用仅含字母a的式子表示）．

（1）将A（0，3），B（4，0）两点坐标分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）得，

解得，

∴该二次函数的解析式为y＝ax2－（4a＋）x＋3；

（2）C；

【解法提示】对称轴为x＝

－＝2＋≠2，故选C.

（3）①二次函数y′图象经过A、B两点，理由如下：

y′＝－ax2＋bx＋c，

由

（1）可得y′＝－ax2－（－4a＋）x＋3，

将x＝0代入解析式得，y′＝3，故点A（0，3）在抛物线上；

将x＝4代入解析式得，y′＝－16a＋16a－3＋3＝0，故点B（4，0）在抛物线上；

②|y－y′|＝|ax2－（4a＋）x＋3－[－ax2－（－4a＋）x＋3]|＝|2ax2－8ax|＝|2a（x2－4x＋4－4）|＝|2a（x－2）2－8a|，

即|y－y′|＝|2a（x－2）2－8a|，

当x＝t（0≤t≤4）时，|y－y′|的最大值为|－8a|，

故|y－y′|的最大值为|－8a|.

8.已知函数关系式是L1：

y＝kx2＋（k－2）x－2.

（1）①当k＝1时，其顶点坐标为________；

②当k＝2时，二次函数的图象的对称轴为________．

（2）求证：

无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；

（3）已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P.

①若k>

0，且△ABP为等边三角形，求k的值；

②若抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，且抛物线L2与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点？

若存在，求出实数k的值；

（1）解：

①（，－）；

②y轴；

【解法提示】①当k＝1时，y＝x2－x－2＝（x－）2－，此时顶点坐标为（，－）；

②当k＝2时，y＝2x2－2，则抛物线的对称轴为y轴．

当k＝0时，一次函数y＝－2x－2与x轴有一个交点（－1，0）；

当k≠0时，b2－4ac＝（k－2）2－4k·

（－2）＝（k＋2）2≥0，此二次函数图象与x轴有交点，

∴无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；

（3）∵k≠0，

∴当y＝0时，kx2＋（k－2）x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝，

设A（，0），B（－1，0），

则顶点P的坐标为（，

－），

①当k>

0时，AB＝＋1，如解图，作PE⊥x轴于点E，

第8题解图

∵△ABP为等边三角形，

∴PE＝AB，

∴＝（＋1），

即（k＋2）2＝2（k＋2），

解得k1＝－2（舍去），k2＝2－2，

∴k的值为2－2；

②存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点．

∵抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，

∴点A和点B关于原点的对称点分别为点C、D，

∴C（－，0），D（1，0），

∴点B（－1，0），D（1，0）为定点，点A（，0），C（－，0）为动点，

A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点，

当k>

0时，

当点B、D为线段AC的三等分点时，AC＝3BD，

即－（－）＝3×

2，解得k＝；

当点A、C点为线段BD的三等分点时，AC＝BD，即－（－）＝×

2，解得k＝6；

当k<

0时，同理可得k＝－或k＝

－6，

综上所述，k的值为±

，±

6.

类型四　与新定义有关的探究问题

9.如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

（1）在图①中，抛物线L1：

y＝－x2＋4x－3与L2：

y＝a（x－4）2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；

（2）在图②中，已知抛物线L3：

y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；

（3）若抛物线y＝a1（x－m）2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2（x－h）2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．

第9题图

（2，1），1；

【解法提示】

（1）∵抛物线L1：

y＝

－x2＋4x－3，∴此抛物线的顶点坐标A（2，1），∵抛物线L2过点A（2，1），∴1＝a（2－4）2－3，∴a＝1.

（2）由L3：

y＝2x2－8x＋4化成顶点式，得y＝2（x－2）2－4，

∴C（0，4），对称轴为x＝2，顶点坐标（2，－4），

∴点C关于对称轴x＝2的对称点D（4，4），设L4：

y＝a（x－h）2＋k

将顶点D（4，4）代入得，y＝a（x－4）2＋4再将点（2，－4）代入得，－4＝4a＋4，

解得：

a＝－2，

L3的伴随抛物线L4的解析式为：

y＝－2（x－4）2＋4；

（3）a1＝－a2.

理由如下：

∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，设A（m，k），B（h，n），

∴可以列出两个方程

①＋②得：

（a1＋a2）（m－h）2＝0，

∵伴随抛物线的顶点不重合，

∴a1＝－a2.

10.在平面直角坐标系中，将抛物线L1：

y＝x2，沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线L2，顶点为P，交L1于点Q.

（1）直接写出抛物线L2的表达式（用字母m表示）；

（2）连接OQ、PQ，当∠OQP＝60°

时，点Q的坐标为________；

（3）若将抛物线L1与L2其中任意一条沿着x轴方向水平向左（或向右）平移得到另一条，记抛物线L1的顶点为O，抛物线L2的顶点为P，抛物线L1与L2的交点为点Q，连接OQ、PQ，当∠OQP＝90°

时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．

①当L1和L2是“共轭抛物线”时，求m的值；

②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”．

第10题图

（1）y＝（x－m）2；

【解法提示】如解图①，将抛物线L1沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得到抛物线L2，得到：

y＝（x－m）2.

第10题解图①

（2）（2，6）；

【解法提示】如解图①，过点Q作QG⊥x轴于点G，由点Q到L1与L2的对称轴的距离相等，可得：

OG＝PG＝OP＝m，当x＝时，y＝m2，即点Q的坐标为（m，m2），∵∠OQP＝60°

，∴根据抛物线的性质可知：

△OPQ为等边三角形，∴tan∠QOP＝＝tan60°

＝＝，解得：

m＝4，∴点Q坐标为（2，6）．

（3）①∵∠OQP＝90°

，OQ＝PQ，

∴∠QOG＝45°

，OG＝PG＝OP＝m，

当x＝m时，y＝×

（m）2＝m2，

故点Q的坐标为（m，m2），

由∠QOG＝45°

，∠OGQ＝90°

，得：

OG＝GQ，

∴|m|＝|×

（m）2|，

m＝0（不符合题意，舍去），

m＝±

4，

当m＝4时，抛物线向右平移；

当m＝－4时，抛物线向左平移，

综上所述，当L1和L2是“共轭抛物线”时，m的值为±

4；

②如解图②，∵y＝－x2－2x＋3＝

－（x＋1）2＋4，

第10题解图②

∴设抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为：

y＝－（x＋1－m）2＋4，

∵△PFQ是等腰直角三角形，∴PF＝FQ，

当x＝－1＋m时，y＝－m2＋4，

即Q（－1＋m，－m2＋4），

FQ＝4－（－m2＋4）＝m2，

由PF＝FQ可知：

m＝m2，解得：

m＝2或m＝0（不符合题意，舍去），

则抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：

y＝－（x－1）2＋4；

综上所述，抛物线y＝－x2－2x＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：

y＝－（x＋3）2＋4，

抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为y＝－（x－1）2＋4或y＝－（x＋3）2＋4.

11.如图，已知抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－（x－1）2＋2，y2＝－（x－2）2＋4，y3＝（x－3）2＋6，…，平移后的顶点P1，P2，P3，…，Pk（k为整数）依次都在格点上，这些抛物线称为“好顶点抛物线”．

第11题图

（1）写出平移后抛物线yk的解析式（用k表示）；

（2）若平移后的抛物线yk与抛物线y＝－x2交于点F，其对称轴与抛物线y＝－x2交于点E，若tan∠FPkE＝，求整数k的值；

（3）已知－6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak，以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk，判断：

正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？

若恰好是，求出该整数k的值；

第11题解图

（1）∵抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－（x－1）2＋2，y2＝－（x－2）2＋4，y3＝－（x－3）2＋6，观察规律可得到yk＝－（x－k）2＋2k；

（2）如解图，过点F作FG⊥PE于

点G，

由yk＝－（x－k）2＋2k可知顶点Pk（k，2k），

对称轴为直线x＝k，对称轴与抛物线y＝－x2的交点为E（k，－k2），

联立得，

∴F（，－），

∵tan∠FP