中考数学浙江省近9年中考真题第七单元图形的变化第28课时尺规作图.docx

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中考数学浙江省近9年中考真题第七单元图形的变化第28课时尺规作图

第一部分考点研究

第七单元图形的变化

第28课时尺规作图

浙江近9年中考真题精选（2009～2017））,）

命题点1　五种基本尺规作图

类型一　五种基本尺规作图的作法（杭州2013.17，台州2016.7，绍兴2016.8）

1.（2017衢州7题3分）下列四种基本尺规作图分别表示：

①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　）

A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.④

2.（2015嘉兴9题4分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：

“如图，已知直线l和l外一点P，

第2题图

用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是（　　）

3.（2016丽水9题3分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）

4.（2016绍兴8题4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

第4题图

A.B.C.D.

5.（2013杭州17题6分）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连接QD，在新图形中，你发现了什么？

请写出一条．

第5题图

6.（2010杭州18题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．

（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：

①点P到A，B两点的距离相等；

②点P到∠xOy的两边的距离相等．

（2）在

（1）作出点P后，写出点P的坐标．

第6题图

类型二　五种基本尺规作图的相关计算（绍兴2考）

7.（2017绍兴15题5分）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．

8.（2016湖州13题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．

第8题图

9.（2015丽水19题6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

第9题图

10.（2012绍兴18题8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.

（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：

△ACN≌△MCN.

第10题图

命题点2　三角形的作法及计算（杭州3考，绍兴2考）

11.（2015衢州7题3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圆周角所对的弦是直径

第11题图

12.（2012绍兴7题4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

第12题图

甲：

1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；

2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．

乙：

1.以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；

2．连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A.甲、乙均正确　　　　　B.甲、乙均错误

C.甲正确，乙错误　　　　D.甲错误，乙正确

13.（2014绍兴14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是________．

14.（2009杭州20题8分）如图，已知线段a.

（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB＝a，BC＝a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）若在

（1）作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC边上的高．

第14题图

15.（2012杭州19题8分）如图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.

（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：

使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π.

第15题图

16.（2015杭州21题10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．

（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

第16题图

17.（2014杭州20题10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．

（1）不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？

用直尺和圆规作出这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出

（1）中所作三角形外接圆的周长．

第17题图

命题点3　其他尺规作图的作法及相关计算（绍兴2013.9）

18.（2013绍兴9题4分）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：

（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图①；

（2）以点M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图②.

若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式正确的是（　　）

第18题图

A.BD2＝ODB.BD2＝OD

C.BD2＝ODD.BD2＝OD

19.（2017嘉兴19题6分）如图，已知△ABC，∠B＝40°.

（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．

第19题图

答案

1.C　【解析】③根据其作法确定的点只有一个，而必须是两点才能确定一条直线，因此③是错误的．

2.A　3.D

4.B　【解析】如解图所示：

设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根据题意得：

AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝.

第4题解图

5.解：

如解图：

第5题解图

（4分）

【作法提示】1.以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AD，AB于点E，F；2.分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点G；3.作射线AG，则射线AG为∠A的平分线.4.分别以点B，C为圆心，以大于BC长为半径作弧，两弧交于N，M两点；2.作直线MN交AG于点Q，则Q点为∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点．

图中发现以下结论：

（1）∵MN是BC的中垂线，矩形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，

∴MN是AD的中垂线，

∴QA＝QD；

（2）∵AQ是∠A的角平分线，

∴∠QAD＝45°，

∴△AQD是等腰直角三角形．

（答案不唯一，写出一条即可．）（6分）

6.解：

（1）如解图，点P即为所求作的点；

第6题解图

（4分）

（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF＝3，

∵OP是∠xOy的角平分线，

∴P（3，3）．（6分）

7.2　【解析】根据题意作图，可得一个一角为30°的特殊直角三角形，较短直角边长度为2，AB为较长直角边，所以AB＝2.

8.5　【解析】由作图可得EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝5.

9.解：

（1）点D的位置如解图所示，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点；（2分）

第9题解图

（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，

∴∠CAB＝53°.（3分）

由

（1）知AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°，（4分）

∴∠CAD＝∠CAB－∠BAD＝53°－37°＝16°.（6分）

10.

（1）解：

∵AB∥CD，

∴∠ACD＋∠CAB＝180°，

∵∠ACD＝114°，

∴∠CAB＝66°.

由作法知，AM是∠CAB的平分线，

∴∠MAB＝∠CAB＝33°.（4分）

（2）证明：

由作法知，AM平分∠CAB，

∴∠CAM＝∠MAB.

∵AB∥CD，

∴∠MAB＝∠CMA，

∴∠CAM＝∠CMA，

又∵CN⊥AM，CN＝CN，

∴△ACN≌△MCN.（8分）

11.B　【解析】从图中可以看出∠ACB是直径AB所对的圆周角，是直角．

12.A　【解析】根据甲的思路，作图如解图①，连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE＝DE＝DO，又∵OB＝OD，在Rt△OBE中，OE＝OB，∴∠OBE＝30°，又∵∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路作图如解图②，连接OB，DB，∵OD＝BD，OD＝OB，∴OD＝BD＝OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD＝∠BOD＝60°，又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又∵OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，同理∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A.

第12题解图

13.sin35°＝或b≥a　【解析】如解图所示，先画BC＝a，再以B为顶点，作∠ABC＝35°，然后再以C为圆心，b为半径画弧交AB于点A，然后连接AC即可．若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：

①当AC⊥AB时，即sin35°＝；②满足b≥a.

第13题解图

14.解：

（1）作图如解图，△ABC即为所求的直角三角形；（4分）

第14题解图

（2）由勾股定理得，AC＝2cm，

设斜边AC上的高为h，

△ABC面积等于×4×2＝×2×h，（6分）

所以h＝.（8分）

15.