分母中含有未知数的方程叫做分式方程教学提纲.docx

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分母中含有未知数的方程叫做分式方程教学提纲

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

　分母中含有未知数的方程叫做分式方程．如：

等等都是分式方程．

　　在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程，因此目前学过的方程可归纳为：

2、解分式方程的基本思路——转化

　　解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下：

　　如：

解方程：

　　方程两边都乘以（x＋3）（2x－7）得

　　2（2x－7）=3（x＋3）

　　4x－14=3x＋9

　　x=23

3、解分式方程的一般步骤

（1）去分母：

方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程．

（2）解整式方程．

　　（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．见例1．

　　（4）写出方程的解．

解分式方程的一般步骤列表如下：

4、列分式方程解应用题的步骤

（1）审清题意，找出题目的等量关系，设出未知数．

（2）根据等量关系，列出分式方程．

　　（3）解分式方程，并验根．

　　（4）写出答案．

二、重难点知识归纳

　　分式方程的解法及应用既是重点，又是难点．

三、例题赏析

例1、解下列分式方程：

分析：

（1）先确定最简公分母为2（x－1），再按步骤求解．

（2）先将2－x化为－（x－2），然后去分母求解．

　　（3）先将分母分解因式，再确定公分母为6x（x＋1）．

解：

（1）方程两边同乘以2（x－1），得

　　　　2x=3－4（x－1）

　　　　解之得

　　　　检验：

当时，2（x－1）0

　　　　∴是原方程的根．

（2）方程两边同乘以（x－2），得

　　　　x－3＋（x－2）=－1

　　　　2x－5=－1

　　　　解之得x=2

　　　　检验：

将x=2代入最简公分母x－2=0，

　　　　∴x=2为原方程的增根．

　　　　∴原方程无解．

　　（3）原方程可变为：

　　　　方程两边同乘以6x（x＋1），得

　　　　12x＋6=5x

　　　　解之得

　　　　检验：

将代入最简公分母

　　　　∴是原方程的解．

例2、甲乙两地相距150千米，一轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流速度为3千米/时，回来时所用时间是过去的求轮船在静水中的速度．

分析：

　　本题的基本量之间的关系有：

路程=速度×时间，v逆=v静－v水，v顺=v静＋v水，本题的等量关系为

解：

　　设轮船在静水中的速度为x千米/时

　　则v逆=（x－3）千米/时，v顺=（x＋3）千米/时

　　根据题意得

　　解之得x=21

　　经检验，x=21是所列方程的解．

　　答：

船在静水中的速度是21千米/时．

例3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做一天后，再由两队合作2天，就完成了全部工程．已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的求甲、乙两队单独完成各需多少天？

分析：

本题是研究甲、乙两队的工程问题，他们单独工作的工作量、工作效率、工作时间列表如下：

工作量

工作效率

工作时间（天）

甲队

1

乙队

1

x

　　甲、乙合作工作的工作量、效率、时间如表所示：

工作量

工作效率

工作时间（天）

甲队

1

甲、乙合作

2

相等关系：

乙做一天的工作量＋甲、乙合作2天的工作量=1

解：

　　设乙单独完成工程需x天，那么甲单独完成需天．

　　则根据题意，得

　　即

　　解得x=6经检验，x=6是原方程的根．

　　答：

甲、乙两队单独完成分别需要4天和6天．

例4、解下列关于字母x的方程：

（1）m2（x－n）=n2（x－m）（m2≠n2）

（2）ay－bx=1（ab≠0）

分析：

　　这三个方程中，x是未知数，其他字母都是已知数，其步骤与解数字系数的方程相同，在最后系数化1时，注意字母的取值范围．

解：

（1）去括号，m2x－m2n=n2x－n2m

　　　　m2x－n2x=m2n－mn2

　　　　（m2－n2）x=mn（m－n）

　　　　∵m2≠n2,∴m2－n2≠0

　　　　∴方程两边同除以（m2－n2）

（2）由ay－bx=1得

　　　　ay－1=bx

　　　　∵ab≠0,∴a≠0且b≠0

　　　　∴方程两边同除以b，得

　　（3）去分母：

b（x－b）=2ab－a（x－a）

　　　　bx－b2=2ab－ax＋a2

　　　　bx＋ax=b2＋2ab＋a2

　　　　（b＋a）x=（a＋b）2

　　　　∵a＋b≠0

　　　　∴方程两边同除以a＋b，

　　　　得x=a＋b

例5、解方程：

解法一：

方程两边同乘以abx得

　　　　bx＋a2b=ax＋ab2

　　　　bx－ax=ab2－a2b

　　　　（b－a）x=ab（b－a）

　　　　∵a≠b，∴a－b≠0

　　　　检验：

将x=ab代入原方程

　　　　∴x=ab为原方程的解．

解法二：

由原方程得：

　　　　方程两边同乘以abx

　　　　ab（a－b）=（a－b）x

　　　　∵a≠b，∴a－b≠0

例6、分别求出下列公式中的未知量：

（1）在公式求t2（a≠0）．

（2）在公式求u（f≠v）．

分析：

　　求公式中的某一个量，这个量就是未知数，其余量均为已知数．

解：

（1）去分母：

a（t2－t1）=v2－v1

　　　　at2－at1=v2－v1

　　　　at2=at1＋v2－v1

　　　　∵a≠0,

（2）去分母：

vf＋uf=uv

　　　　uf－uv=－vf

　　　　u（f－v）=－vf

　　　　∵f≠v,∴f－v≠0

例7、解方程：

解法一：

　　原方程可化为：

　　去分母，得－3（x－6）（x－9）=－3（x－5）（x－8）

　　即（x－6）（x－9）=（x－5）（x－8）

　　∴x2－15x＋54=x2－13x＋40

　　－2x=－14，∴x=7

　　将x=7代入方程，

　　∴x=7是原方程的根．

解法二：

直接通分

　　原方程可化为：

　　去分母，得（x－6）（x－9）=（x－5）（x－8）

　　解之得x=7

　　将x=7代入（x－5）（x－8）（x－6）（x－9）≠0

　　∴x=7是原方程的根．

例8、编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编写要求：

（1）要联系实际生活，其解符合实际．

（2）根据题意列出的分式方程只含有两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程．

　　（3）题目完整，题意清楚．

分析：

　　本题着重从三步考虑：

　　①依题意，确定一个有意义的数字．

　　如5，当作所列应用题方程的一个根，建立一个题设要求的等式：

　　②把上述等式中的5用未知数x代替，变等式方程为分式方程．即

　　③根据方程编出应用题．

　　甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个？

解：

　　设甲每小时做x个，则乙每小时做（x－2）个，

　　根据题意，

　　整理，得10x－20=6x，∴x=5

　　经检验，x=5是所列方程的根．

答：

甲每小时做5个，乙每小时做3个．

说明：

（1）本题考查列分式方程解应用题和编应用题的逆向思维能力．题目属于开放性问题，答案不唯一．

（2）解此类题的关键是先找好等量关系，确定出相等的式子，如本例中的：

由此式，再去确定问题情景，也可用于下列问题．

甲、乙二人步行去某地，甲的速度比乙的速度快2千米/时，又知甲步行10千米与乙步行6千米的时间相同，求甲、乙二人的速度各是多少？

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