1980年全国高考数学测试试题及其解析.docx

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1980年全国高考数学测试试题及其解析

1980年全国高考数学试题及其解析

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1980年全国高考数学试题及其解析

理工农医类

一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:

（1）有理数范围;

（2）实数范围（3）复数范围.

二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:

以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

（a、b、N都是正数,a≠1,b≠1）

五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B（不同于A）,直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）.证明:

平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.

（1）写出f（x）的极大值M、极小值m与最小正周期T;

（2）试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时,函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m.

七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B（用反三角函数表示）.、

九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.

附加题

问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线（L）与椭圆（E）总有公共点.

文史类

一．（本题满分8分）化简

二．（本题满分10分）

三．（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。

四．（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？

五．（本题满分14分）

六．（本题满分16分）

1．若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD。

2．写出

（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？

为什么？

七．（本题满分16分）

如图，长方形框架ABCD-A＇B＇C＇D＇。

三边AB、AD、AA＇的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B＇D＇垂直于E。

1．证明A＇E⊥B＇D＇;2.求AE的长。

八．（本题满分16分）1．把参数方程（t为参数）

化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。

2．当时，各得到曲线的哪一部分？

理工农医类参考答案及解析

二、证明:

设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.

因这三个圆两两外切,故有

O1O2=1+2=3,

O2O3=2+3=5,

O1O3=1+3=4,

根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.

三、证明:

取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A（0,a）、B（b,0）、C（c,0）,

根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.

解

（1）、

（2）,得:

（b-c）x=0.

∵b-c≠0,∴x=0.

这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.

因此,三条高线交于一点.

四、证法一:

令logbN=x,根据对数定义,

bx=N.

两端取以a为底的对数,

Logabxx=logaN,

xlogab=logaN.

∵b≠1,∴logab≠0,

证法二:

令logbN=x,根据对数定义,

N=bx

=（alogab）x=axlogab,

∴xlogab=logaN.

∵b≠1,logab≠0,

五、证明:

用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.

设平面N与平面M的交线为l.

∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.

又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.

∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB.

六、解:

（1）M=1,m=-1,

（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.

而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f（x）的周期≤1.

可见,k=32就是这样的最小正整数.

七、解法一:

设CD=h,AB=c,BD=x,

则AD=c-x.

即x2=c（c-x）,

即x2+cx-c2=0,

∵取负号不合题意,

又依直角三角形的性质,有

AC2=AD·AB=c（c-x）.

但x2=c（c-x）,∴AC2=x2,

解法二:

由题设有（CD·BD）2=（CD·AD）·（CD·AB）,

∴BD2=AD·AB.

但AC2=AD·AB,

∴BD=AC.

两端乘以正数sin,问题化为证明

2sinsin2≤1+cos.

而2sinsin2=4sin2cos=4（1-cos2）cos

=4（1-cos）（1+cos）cos.

所以问题又化为证明不等式

（1+cos）[4（1-cos）cos-1]≤0.

8t2（1-t2）≤（1+t2）2,

即-9t4+6t2-1≤0,

-（3t2-1）2≤0.

∴不等式成立.

九、解:

设圆的方程为

（x-k）2+y2=1.

再设圆与抛物线的一个交点为P（x0y0）.

在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.

由

（1）、

（2）式消去y0,得x0=-k,

将

（2）代入（3）,得（x0-k）2+2x0-1=0,

将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,

由于对称性,圆与抛物线的另一交点（x0,-y0）处的切线也互相垂直.

附加题

解法一:

消去参数,得

消去y,整理得

（1+a2m2）x2+2（a2mb-1）x+a2b2-a2+1=0.

（a2mb-1）2-（1+a2m2）（a2b2-a2+1）≥0.

化简并约去a2得

（a2-1）m2-2bm+（1-b2）≥0.

对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是

即为所求的条件.

解法二:

直线（L）即y=mx+b;它通过P（0,b）点,斜率为m.

如果P（0,b）落在（E）内或（E）上,如P1,则过P1点作任意直线（L）显然与椭圆（E）总有公共点.

如果P（0,b）落在（E）外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则（E）上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线（L）落在这个夹角的补角内,（L）与（E）就没有公共点了.

因此,（L）与（E）总有公共点的充要条件是p（0,b）点落在（E）内或（E）上.

要使（E）与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,（E）与y轴的

文史类参考答案及解析

一、解：

原式=

二、解略：

方程组的解为

三、证：

将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是

x2+y2=1.

A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）。

设P（x,y）是圆上任一点，则有y2=1-x2.∵PA的斜率为，

PB的斜率为，

∴

∴PA⊥PB，∠APB为直角。

四、解：

设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为

解得：

x=32。

答：

略。

五、解：

六、证：

1。

S△ABC=S△ADC，

且△ABC与△ADC有同底AC，

∴两高线相等：

BE=DF。

设AC与BD交于点O，则

Rt△BOE≌Rt△DOF。

∴OB=OD。

即AC平分BD。

（若E、O、F重合、则已有BO=BE=DF=DO）

2．逆命题：

若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形。

这个逆命题是正确的。

证明如下：

在上图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF（对顶角），

∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF。

∴BE=DF，即两高线相等。

∴S△ABC=AC·BE=AC·DF=S△ADC。

七、解：

1.

八、解：

1.利用公式sec2t=1+tg2t,得

∴曲线的直角坐标普通方程为

图略。

2．当时，x≥1，y≥0,得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）;

当时，x≤-1，y≥0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括（-1，0）点）。