等腰三角形性质及判定提高知识讲解Word下载.docx

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要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中的分类讨论

389301等腰三角形的性质及判定：

例2

（1）】

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则顶角的度数为（）．

A．60°

B．120°

C．60°

或150°

D．60°

或120°

【答案】D；

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．

（1）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°

；

（2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°

不符合题意；

（3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°

，故此题应选D．

【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：

等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.

举一反三：

【变式】

（优质试题•杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°

，这个等腰三角形的底角是　　．

【答案】50°

或80°

．

解：

①若100°

的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，

则此顶角为：

180°

﹣100°

=80°

，

则其底角为：

（180°

﹣80°

）÷

2=50°

②若100°

的外角是此等腰三角形的底角的邻角，

则此底角为：

故这个等腰三角形的底角为：

50°

故答案为：

类型二、等腰三角形的操作题

2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；

并根据每种情况分别猜想：

∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝24°

猜想：

（2）如图②△ABC中，∠C＝84°

【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.

【答案与解析】

（1）作图：

∠A＋∠B＝90°

（2）作图：

∠B＝3∠A.

【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.

【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°

，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，

探究：

如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？

写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

【答案】

若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.

设∠B为

度∠1＝45°

，∠2＝∠A＝90°

－

①当BD＝BE时

∠3＝

，

45°

＋90°

＋

＝180°

＝30°

.

②经计算ED＝EB不成立.

③当DE＝DB时

∠3＝180°

－2

＋180°

＝45°

.

综上所述，∠B＝30°

或45°

类型三、等腰三角形性质判定综合应用

3、（优质试题秋•东西湖区期中）如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：

AB=CD+BC．（用两种方法）

【思路点拨】

方法一：

先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；

方法二：

先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．

解；

在AB上取BE=BC，

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠CBD=∠EBD，

∵在△CBD和△EBD中，

∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴CD=ED，

∠C=∠BED，

∵∠C=2∠A，

∴∠BED=2∠A，

∵∠BED=∠A+∠ADE，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE，

∴AE=CD，

∵AB=BE+AE，

∴AB=CD+BC；

延长BC至F，使CF=CD，

则∠F=∠CDF，

∵∠ACB=∠F+∠CDF，

∴∠ACB=2∠F，

∴∠ACB=2∠A，

∴∠A=∠F，

在△ABD和△FBD中，

∴△ABD≌△FBD（AAS），

∴AB=BF，

∵BF=BC+CF，

∴BF=BC+CD，

∴AB=BC+CD．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：

AC＝BF．

证明：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

4、

如图，AC＝BC，∠ACB＝90°

，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：

BE＝

AD.

【答案与解析】

证明：

如图，延长BE、AC交于点F.

∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°

∴△AEB≌△AEF（ASA）.

∴BE＝FE＝

BF.

∵∠3＝90°

－∠F＝∠2，BC＝AC,

∴

△BCF≌

△ACD（ASA）

∴BF＝AD，BE＝

【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．

【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.

求证：

AM＝

（AB＋AC）．

延长AM至点E，使ME＝AM，连接CE.

∴