高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课学案北师大版选修21文档格式.docx

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1.常见的逻辑联结词有“____”“____”“____”.

2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词.

3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词.

4.含有全称量词的命题叫作______命题，含有存在量词的命题叫作______命题.

类型一　充分条件与必要条件、充要条件的探究

命题角度1　充分条件与必要条件的再探究

例1　设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；

②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则（　　）

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

反思与感悟　若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.

如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果.

则p⇏q易表述为以下几种说法：

p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；

q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.

跟踪训练1　使a>

b>

0成立的一个充分不必要条件是（　　）

A.a2>

b2>

0B.

a>

C.lna>

lnb>

0D.xa>

xb且x>

0.5

命题角度2　充要条件的再探究

例2　设数列{an}、{bn}、{cn}满足：

bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2（n＝1,2,3…），证明：

{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n＝1,2,3，…）.

反思与感悟　利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.

跟踪训练2　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积（i＝1,2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（　　）

A.{an}是等比数列

B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列

C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同

类型二　等价转化思想的应用

例3　已知c>

0，设p：

函数y＝logcx在（0，＋∞）上是减少的；

q：

不等式x＋|x－2c|>

1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.

反思与感悟　等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.

跟踪训练3　已知命题p：

（x＋1）（x－5）≤0，命题q：

1－m≤x<

1＋m（m>

0）.

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.

类型三　分类讨论思想的应用

例4　已知关于x的方程（m∈Z）：

mx2－4x＋4＝0，①

x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②

求方程①和②的根都是整数的充要条件.

反思与感悟　分类讨论思想是中学数学中常用的思想方法之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：

其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；

其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；

其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：

整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.

跟踪训练4　已知p：

≥2；

x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.

1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2.已知命题p：

任意x∈R，x3＜x4；

命题q：

存在x∈R，sinx－cosx＝－

，则下列命题中为真命题的是（　　）

A.p且qB.（綈p）且q

C.p且（綈q）D.（綈p）且（綈q）

3.已知命题p：

若x>

y，则－x<

－y；

y，则x2>

y2.在命题①p且q；

②p或q；

③p且（綈q）；

④（綈p）或q中，真命题是________.（填序号）

4.对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.

5.

（1）若p：

两条直线的斜率互为负倒数，q：

两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？

（2）若p：

|3x－4|>

2，q：

>

0，则綈p是綈q的什么条件？

1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.

2.判断命题真假的步骤

⇒

3.命题p且q，p或q，綈p的真假判断，如下表：

p

q

綈p

p或q

p且q

真

假

4.全称命题与特称命题的否定

命题

命题的否定

任意x∈M，p（x）

存在x∈M，綈p（x）

存在x∈M，p（x）

任意x∈M，綈p（x）

注意：

（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

（2）命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.

提醒：

完成作业　第一章　章末复习课

答案精析

知识梳理

知识点一

1.

（1）陈述句　

（2）判断真假

2.相同

知识点二

2.

（1）必要　

（2）充分

知识点三

1.且　或　非

4.全称　特称

题型探究

例1　A

跟踪训练1　C

例2　证明　必要性：

设{an}是公差为d1的等差数列，

则bn＋1－bn＝（an＋1－an＋3）－（an－an＋2）＝（an＋1－an）－（an＋3－an＋2）＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1（n＝1,2,3，…）成立.

又cn＋1－cn＝（an＋1－an）＋2（an＋2－an＋1）＋3（an＋3－an＋2）＝d1＋2d1＋3d1＝6d1（常数）（n＝1,2,3，…），

∴数列{cn}为等差数列.

充分性：

设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1（n＝1,2,3，…）.

∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2，①

∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4.②

①－②得cn－cn＋2＝（an－an＋2）＋2（an＋1－an＋3）＋3（an＋2－an＋4）＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.

∵cn－cn＋2＝（cn－cn＋1）＋（cn＋1－cn＋2）＝－2d2，

∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2，③

同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2.④

④－③得

（bn＋1－bn）＋2（bn＋2－bn＋1）＋3（bn＋3－bn＋2）＝0.⑤

∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，

∴由⑤得bn＋1－bn＝0（n＝1,2,3，…）.

由此不妨设bn＝d3（n＝1,2,3，…），则an－an＋2＝d3（常数）.

由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋1－3d3，

从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3＝4an＋1＋2an－5d3.

两式相减得cn＋1－cn＝2（an＋1－an）－2d3，

因此an＋1－an＝

（cn＋1－cn）＋d3

＝

d2＋d3（常数）（n＝1,2,3，…），

∴数列{an}是等差数列.

跟踪训练2　D

例3　解　函数y＝logcx在（0，＋∞）上是减少的⇔0<

c<

1.

1的解集为R

⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.

∵x＋|x－2c|＝

∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，

∴2c>

1，得c>

.

如果p真q假，则

解得0<

c≤

；

如果q真p假，则

解得c≥1.

∴c的取值范围为（0，

]∪[1，＋∞）.

跟踪训练3　解　

（1）由命题p：

（x＋1）·

（x－5）≤0，解得－1≤x≤5.

∵p是q的充分条件，

∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m），

∴

解得m>

4，

∴实数m的取值范围为（4，＋∞）.

（2）∵m＝5，∴命题q：

－4≤x<

6.

∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

∴命题p，q为一真一假.

当p真q假时，可得

解得x∈∅.

当q真p假时，可得

解得－4≤x<

－1或5<

x<

故实数x的取值范围是[－4，－1）∪（5,6）.

例4　解　当m＝0时，方程①的根为x＝1，

方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.

当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×

4m≥0⇒m≤1；

方程②有实数根的充要条件是

Δ＝16m2－4（4m2－4m－5）≥0⇒m≥－

∴－

≤m≤1.又∵m∈Z，

∴m＝－1或m＝1.

当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；

当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，

方程②为x2－4x－5＝0.

此时①和②均有整数根.

综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.

跟踪训练4　解　∵p：

≥2，

≤0，即1≤x<

3.

又∵q：

x2－ax≤x－a，

∴x2－（a＋1）x＋a≤0.

①当a<

1时，a≤x≤1；

②当a＝1时，x＝1；

③当a>

1时，1≤x≤a.

设q对应的集合为A，p对应的集合为B，

∵綈p是綈q的充分条件.∴∁RB⊆∁RA，即A⊆B.

当a<

1时，A⊈B，不合题意；

当a＝1时，AB，符合题意；

当a>

1时，1≤x≤a，要使A⊆B，

则1<

a<

综上，实数a的取值范围为[1,3）.

当堂训练

1.B　2.B　3.②③　4.（－∞，0]

5.解　

（1）∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p⇒q.

又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q⇏p.

∴p是q的充分不必要条件.

（2）解不等式|3x－4|>

2，

得p：

{x|x>

2或x<

}，

∴綈p：

{x|

≤x≤2}.

解不等式

0，

得q：

{x|x<

－1或x>

2}.

∴綈q：

{x|－1≤x≤2}.

∴綈p是綈q的充分不必要条件.