高考数学试题分类汇编专题十四 空间向量Word下载.docx

高考数学试题分类汇编专题十四 空间向量Word下载.docx

《高考数学试题分类汇编专题十四 空间向量Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学试题分类汇编专题十四 空间向量Word下载.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三视图.

5.（15北京文科）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

（1）证明详见解析；

（2）证明详见解析；

（3）.

本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论；

第二问，先在三角形ABC中得到，再利用面面垂直的性质得平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；

第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形VAB的面积，由于平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.

（Ⅰ）因为分别为AB，VA的中点，

所以.

又因为平面MOC，

所以平面MOC.

（Ⅱ）因为，为AB的中点，

又因为平面VAB平面ABC，且平面ABC，

所以平面VAB.

所以平面MOC平面VAB.

（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，

所以等边三角形VAB的面积.

又因为平面VAB，

所以三棱锥C-VAB的体积等于.

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，

所以三棱锥V-ABC的体积为.

线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.

6.（15年广东理科）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值

A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3

【答案】．

【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．

7.（15年广东理科）如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.

（1）证明：

（2）求二面角的正切值；

（3）求直线与直线所成角的余弦值.

（1）见解析；

（2）；

（3）．

∵且点为的中点，

∴，又平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，又平面，

∴；

（2）∵是矩形，

∴平面，又、平面，

∴，，

∴即为二面角的平面角，

在中，，，，

∴即二面角的正切值为；

（3）如下图所示，连接，

∵，即，

∴，

∴为直线与直线所成角或其补角，

在中，，，

由余弦定理可得，

∴直线与直线所成角的余弦值为．

【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

8.（15年广东文科）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）

A．至少与，中的一条相交B．与，都相交

C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交

【答案】A

空间点、线、面的位置关系．

9.（15年广东文科）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．

证明：

求点到平面的距离．

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面

（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以

（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，

，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由

（2）知：

平面，由

（1）知：

，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是

1、线面平行；

2、线线垂直；

3、点到平面的距离.

10.（15年安徽理科）如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F

（2）求二面角余弦值.

9.11.（15年安徽文科）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

（A）（B）（C）（D）

1.几何体的三视图；

2.锥体的体积公式.

12.（15年安徽文科）如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.

（1）求三棱锥P-ABC的体积；

（2）证明：

在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值。

（1）

（2）

（Ⅰ）在中＝.又∵PA⊥面ABC∴PA是三棱锥P-ABC的高，根据锥体的体积公式即可求出结果;

（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果.

（Ⅰ）在中，＝1,∠

＝＝.[gkstk.Com]

又∵PA⊥面ABC

∴PA是三棱锥P-ABC的高

∴

（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则

此时M即为所找点，在.

1.锥体的体积公式；

2.线面垂直的判定定理及性质定理.

13.（15年福建理科）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

14.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

平面；

（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

（Ⅰ）详见解析；

（Ⅱ）．

解法一：

（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，

，

又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以

．从而四边形是平行四边形，所以，,又

，所以．

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

解法二：

（Ⅰ）如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，

又面，面，所以平面．

在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．

又面，面，所以面．

又因为，面，面，

所以面平面，因为面，所以平面．

（Ⅱ）同解法一．

1、直线和平面平行的判断；

2、面面平行的判断和性质；

3、二面角．

15.（15年福建文科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为，直角腰长为，斜腰为．底面积为，侧面积为则其表面积为

，所以该几何体的表面积为，故选B．

三视图和表面积．

16.（15年福建文科）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

（Ⅰ）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交直线．首先由垂直于圆所在的平面，可证明；

又，为的中点，可证明，进而证明结论；

（Ⅱ）三棱锥中，高，要使得体积最大，则底面面积最大，又是定值，故当边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥体积；

（Ⅲ）将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，此时线段的长度即为的最小值．

（I）在中，因为，为的中点，

所以．

又垂直于圆所在的平面，

因为，

所以平面．

（II）因为点在圆上，

所以当时，到的距离最大，且最大值为．

又，所以面积的最大值为．

又因为三棱锥的高，

故三棱锥体积的最大值为．

（III）在中，，，

同理，所以．

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．

当，，共线时，取得最小值．

又因为，，

所以垂直平分，

即为中点．

从而，

亦即的最小值为．

（I）、（II）同解法一．

所以，．同理．

所以，所以．

所以在中，由余弦定理得：

．

从而．

所以的最小值为．

1、直线和平面垂直的判定；

2、三棱锥体积．

17.（15年新课标1理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:

积及为米几何?

”其意思为:

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷

1.62≈22，故选B.

（16）18.（15年新课标1理科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为16+20，则r=

（A）1（B）2（C）4（D）8

由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.

19.（15年新课标2理科）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．

20.（15年新课标2理科）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36πB.64πC.144πD.256π

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为

，故选C．

21.（15年新课标2理科）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

22.（15年新课标2文科）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.

三视图

23.（15年新课标2文科）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）

A.B.C.D.

球与几何体的切接.

24.（15年新课标2文科）如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；

（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

（I）见试题解析（II）或

1.几何体中的截面问题；

2.几何体的体积

25.（15年陕西理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

由三视图知：

该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．

1、三视图；

2、空间几何体的表面积．

26．（15年陕西理科）如图，在直角梯形中，，，，

，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（I）证明：

（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

（I）证明见解析；

（II）．

（I）在图1中，

因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BEAC

即在图2中，BE，BEOC

从而BE平面

又CDBE，所以CD平面.

（II）由已知，平面平面BCDE，又由

（1）知，BE，BEOC

所以为二面角的平面角，所以.

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，

因为,

所以

得，.

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

则，得，取，

，得，取，

即平面与平面夹角的余弦值为.

1、线面垂直；

2、二面角；

3、空间直角坐标系；

4、空间向量在立体几何中的应用.

27.（15年陕西文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，

所以该几何体的表面积为，故答案选

1.空间几何体的三视图；

2.空间几何体的表面积.

28.（15年陕西文科）如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

（II）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

（I）证明略，详见解析；

（II）.

（II）由已知，平面平面，且平面平面，又由（I）知，，所

以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积

，从而四棱锥的为，由，得.

（II）由已知，平面平面，

且平面平面

又由（I）知，，所以

平面，

即是四棱锥的高，

由图1可知，，平行四边形面积，

从而四棱锥的为

由，得.

1.线面垂直的判定；

2.面面垂直的性质定理；

3.空集几何体的体积.

29.（15年天津理科）一个几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积为.

由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.

2.旋转体体积.

30.（15年天津理科）如图，在四棱柱中，侧棱,,,

且点M和N分别为的中点.

（I）求证：

（II）求二面角的正弦值；

（III）设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长

（I）见解析；

（II）；

（III）.

以为原点建立空间直角坐标系（I）求出直线的方向向量与平面的法向量，两个向量的乘积等于即可；

（II）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；

（III）设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出的长.

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，

，又因为分别为和的中点，得.

依题意，可得为平面的一个法向量，，

由此可得，，又因为直线平面，所以平面

（II），设为平面的法向量，则

，即，不妨设，可得，

设为平面的一个法向量，则，又，得

，不妨设，可得

因此有，于是，

所以二面角的正弦值为.

（III）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得

，整理得，

又因为，解得，

所以线段的长为.

1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；

2.二面角、直线与平面所成的角；

3.空间向量的应用.

31.（15年天津文科）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m）,则该几何体的体积为.

该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.

2.几何体的体积.

32.（15年天津文科）如图,已知平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,的中点.

EF平面；

（II）求证：

平面平面.

（III）求直线与平面所成角的大小.

（I）见试题解析；

（II）见试题解析；

（III）.

（I）要证明EF平面,只需证明且EF平面；

（II）要证明平面平面,可证明,；

（III）取中点N,连接,则就是直线与平面所成角,Rt△中,由得直线与平面所成角为.

如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC,的中点,所以,又因为EF平面,所以EF平面.

（II）因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又,所以平面,又因为平面,所以平面平面.

1.空间中线面位置关系的证明；

2.直线与平面所成的角

33.（15年浙江文科）

34.（15年湖南理科）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）

A.B.C.D.

【答案】A.

1.圆锥的内接长方体；

2.基本不等式求最值.

35.（15年山东理科）在梯形中，,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A）（B）（C）（D）

解析：

，答案选（C）

36.（15年山东理科）设

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为若求面积的最大值.

解：

（Ⅰ）由

由得，

则的递增区间为；

则的递增区间为.

（Ⅱ）在锐角中，,,而

由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，即，，

故面积的最大值为.

37.（15年山东理科）如图，在三棱台中，

分别为的中点.

（Ⅱ）若平面,

求平面与平面所成角（锐角）的大小.

（Ⅰ）证明：

连接DG，DC，设DC与GF交于点T.

在三棱台中，则

而G是AC的中点，DF//AC，则,

所以四边形是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC.

又在,H是BC的中点，则TH//DB，

又平面，平面，故平面；

（Ⅱ）由平面,可得平面而

则,于是两两垂直，

以点G为坐标原点，所在的直线

分别为轴建立空间直角坐标系，

设,则,

则平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则,即，

取，则，，

，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.

38.（15年江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

由体积相等得：

圆柱及圆锥体积

39.（15年江苏）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，

.求证：

（1）；

[来源:

学科网]

（2）.

（1）详见解析

（2）详见解析

（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得

（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得

线面平行判定定理，线面垂直判定定理

40.（15年江苏）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯

形，,

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

（1）

（2）

空间向量、二面角、异面直线所成角