第二章数的运算第一节整数的运算Word文档格式.docx
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2.主要性质
（1）加法交换律：
a+b=b+a
例：
8+1=1+8=9
（2）加法结合律:
a+b+c=a+（b+c）
7+4+1=7+（4+1）=（7+4）+1=12
（3）推广：
若干数加上若干数的加法，可以任意交换，任意结合，和不变。
3.和的变化规律
如果a+b=c,那么（a+m）+b=c+b
如果a+b=c,那么（a-m）+b=c-b
如果a+b=c,那么（a+m）+（b-m）=c
4.加法表
5.加法法则
数位对齐，个位加起，满十进一。
6.运算符号“+”“-”的由来
四则运算种种符号是从十五世纪才开始逐渐使用的。
德国数学家魏德曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用“+”“-”，他认为，一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号“+”中去掉一竖，就表示拿去（减少）的意思。
在1514年荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后经法国数学家韦达的宣传和提倡，才得以普及，直到1630年才得到大家公认。
（二）整数减法
1.基本定义
减法是四则运算之一，从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
表示减法的符号是"
-"
，读作减号。
用来计算减量!
算式名称
减号"
是减号，减号前面的数是被减数，减号后面的数是减数，"
="
是等于号，等于号后面的数是差。
10000（被减数）-（减号）6000（减数）=（等于号）4000（差）
减法定义的理解
设A是一个有限集合（基数为a），B是A的一个子集（基数为b），从集合A中取出集合B的所有元素以后，得到集合C（基数为c）是集合A与集合B的差集。
因此，已知a与b，求它们的差c的运算，就是求集合A与集合B（B是A的子集）的差集的基数。
注：
整数减法在非负整数集中不是总是可以施行的，但是，如果两个数的差存在，那么它一定是唯一的。
2.性质
（1）减去一个数，等于加这个数的相反数。
（2）a-（b+c）=a-b-c
（3）a-（b-c）=a-b+c
（4）若干数的和减去若干数的和
3.差的变化规律
（1）如果a-b=c,那么（a+m）-b=c+m
（2）如果a-b=c,那么（a-m）-b=c-m
（3）如果a-b=c,那么（a+m）-（b+m）=c
如果a-b=c,那么（a-m）-（b-m）=c
4减法口诀表
10-1=9
10-2=89-1=8
10-3=79-2=78-1=7
10-4=69-3=68-2=67-1=6
10-5=59-4=58-3=57-2=56-1=5
10-6=49-5=48-4=47-3=46-2=45-1=4
10-7=39-6=38-5=37-4=36-3=35-2=34-1=3
5.减法的运算法则
数位对齐，个位减起，借一当十。
6.加减法的关系
加减法的验算
（三）整数乘法
定义的第一种理解
b（大于1的整数）个相同加数a的和c叫做a与b的积。
求两个数积的运算叫做乘法。
记作
a×
b=c，或a.b=c。
也可以记作
b×
a=c,或b.a=c
读作“b乘a等于c”或“a乘b等于c”
补充定义
当b=1时，a×
1=a
当b=0时，a×
0=0
定义的第二种理解
设有b个没有公共元素的等价集合A1A2.......Ab,它们的基数是a，它们并集C的基数为c，那么c叫做a与b的积。
意义
3×
5表示5个3相加或3个5相加。
名称"
×
"
是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，"
是等于号，等于号后面的数叫做积。
10（因数）×
（乘号）200（因数）=（等于号）2000（积）
因数也叫乘数。
2.运算性质
整数的乘法运算满足:
交换律，结合律，
分配律，消去律。
1°
乘法交换律：
ab=ba，注:
字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成·
。
2°
乘法结合律：
（ab）c=a（bc），
3°
乘法分配律：
（a+b）c=ac+bc。
4°
乘法消去律：
若AX=AY，且A≠O，则X=Y
5°
若干数的和与一个数的积
6°
若干数的和与若干数的和的积
7°
若干数的差与一个数的积
3.积的变化规律
（1）如果a×
b=c，那么（a×
n）×
b=c×
n
（2）如果a×
b=c，那么
（a×
（b÷
n）=c
4.乘法的运算法则
（1）表内乘法
小九九"
的由来
《九九乘法歌诀》，又常称为"
现在学生学的"
口诀，是从"
一一得一"
开始，到"
九九八十一"
止，而在古代，却是倒过来，从"
起，到"
二二得四"
止。
因为口诀开头两个字是"
九九"
，所以，人们就把它简称为"
大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样"
一一得一……九九八十一"
中国使用"
九九口诀"
的时间较早。
在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到"
三九二十七"
、"
六八四十八"
四八三十二"
六六三十六"
等句子。
由此可见，早在"
春秋"
战国"
的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
大九九有81句，小九九45句。
（2）多位数乘法及积的位数
两个因数的积的位数，等于这两个因数的位数的和，或者比这个和少1.
5.符号
“=”“×
”“÷
”的由来
16世纪英国皇家法庭医生罗伯特。
雷克达在进行数学研究时,经常碰到两个数相等而无法标记,就决心创造一个符号.他觉得"
世界上再也没有两条平行而又相等的直线更相同了"
于是就用两条平行线来表示两个相等的数,这就产生了"
号.
18世纪,英国数学家欧德莱认为乘法也是增加数目,但与加法不同.于是他把"
+"
号斜写成"
号,表示数学中增加数目的另一种运算法.而学者哈纳在算帐时遇到要把一个整数分成数份.因为没有可用的符号,于是就用一条横线分开两个圆点来表示这种算法,这就是"
÷
符号“。
”“：
”“{}”“【】”“﹥”“﹤”
﹥﹤，十七世纪哈利阿
：
，莱布尼兹
【】瓦里士
{}韦达
（四）整数除法
除法是四则运算之一。
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c/b，读作c除以b（或b除c）。
其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算的结果a叫做商。
为什么不再区分“等分除”“包含除”
（1）把12根香蕉，平均分成2份，得出每份6根，这一分物活动用算式表示为：
12÷
2=6，
这就是所谓的“等分除”。
（2）把12根香蕉，每4根发一盘，求需要几个盘子，这一分物活动用算式表示为：
4=3
这就是所谓的“包含除”。
0不能作除数的原因
1.如果除数是0，被除数是非0的自然数，则没有任何一个数（商）与（0）相乘能得到一个非0的自然数，它们相乘只能得到0，在这种情况下，商是不存在的。
2.如果被除数和除数都等于0，则有许多数（商）与0（除数）相乘，结果都得到0（被除数），在这种情况下，商是不唯一的。
所以0不能作除数。
整数除法在非负整数集中不是总是可以施行的，但是，如果两个数的商存在，那么它一定是唯一的。
1.（a÷
b）.b=a
2.（a.b）÷
b=a
2.有余数的除法
已知两个数a、b（b是自然数），要求两个整数q、r满足以下条件：
a=bq+r,并且r＜b,
这种运算叫做有余数的除法。
a÷
b=q（余r）
a叫做被除数，b叫做除数，q叫做商，r叫做余数。
a-b-b-b-.........-b=r
3.除法的运算性质
（1）a÷
（b.c）=a÷
b÷
c
（2）a÷
c）=a÷
b.c
（3）（a.b）÷
c=（a÷
c）.b
（4）（a÷
b）÷
c）÷
b
（5）两个数的差除以一个自然数
（6）若干个数的和除以一个自然数
4.除法的运算法则及商的位数
两个数的商的位数，等于被除数与除数的位数差，或者比这个差多一。
5.商的变化规律
（1）如果a÷
b=q,那么（a×
n）÷
b=q×
如果a÷
b=q,那么（a÷
b=q÷
（2）如果a÷
b=q,那么a÷
n）=q×
（b×
n）=q÷
（3）如果a÷
n）=q
（4）如果a÷
b=q（余r）那么
n）=q（余r×
n）
（a÷
n）=q（余r÷
二、估算
对事物的数量或计算结果作出粗略的判断或预测的过程叫做估算。
作用：
对运算结果经行预测
对计算后结果的考查
1.根据已知数据的最高位数字和最低位数字估算
1547+4084-2369
3094×
507
2.根据已知数据的部分高位估算
3543+446+55
3458×
23
3.利用四舍五入法进行估算
8732×
639
48327÷
623
三、简便计算
1.改变运算顺序
78+45+35+22
723-（420-277）
5600÷
（25×
7）
2.把已知数凑成整十整百。
的数
560×
125
573-99
3.应用数的分解的方法
45×
14
125×
42
25×
28
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