第二讲 分类讨论.docx
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第二讲分类讨论
第二讲分类讨论
一、专题介绍
分类又称逻辑划分．分类讨论即是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用．
数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论．
分类讨论的关键问题就是：
对哪个变量分类，如何分类．
分类的原则：
由分类的定义，分类应满足下列要求：
（1）保证各类对象即不重复又不遗漏．
（2）每次分类必须保持同一分类标准．
应用分类讨论解决数学问题的一步骤：
（1）确定讨论对象和需要分类的全集．
（2）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结
应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单．
二、例题分析
例1：
求函数的值域．
分析：
根据绝对值的定义
及题设中函数的表达式可知，要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，小于零（不能为零）来讨论，以去掉绝对值号．而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限，故按角x的终边所在的象限为分类标准，进行分类讨论：
解
（1）角x在第一象限时，
（2）角x在第二象限时，
（3）角x在第三象限时，
（4）角x在第四象限时，
综上所述：
函数的值域为{4，0，-2}
说明：
数学中的概念有些是含有不同种类的，当题目涉及这样的概念时，必须按给出概念的分类方式进行分类讨论，才能使解答完整无误．
例2，已知扇形的圆心角为60°，半径为5cm，求这个扇形的内接长方形的最大面积．图
解：
如图一，内接长方形CDEF的面积为：
S=ED·EF，ED=OE·sinθ=5sinθ
在△EFO中，运用正弦定理，得
∴
∴
∴
如图二．取的中点M，连接OM分扇形为两个小扇形，在这两个小扇形中，各有原内接长方形的一半，∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍．
即
∴
再比较S大与S大′的大小
图1
图2
综上，所求扇形的最大内接长方形的面积为．
说明：
本题是由图形的位置及形状不能确定引起的分类讨论，其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定，故而求出两种位置下的面积后判断最大为多少．
例3已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：
x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。
求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
解如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是
P={M||MN|=λ|MQ|}（其中λ>0）
∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1
设点M的坐标为（x，y），则
整理得：
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ=1时，方程化为，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点
当λ≠1时，方程化为
它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为
说明：
本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：
一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果．
例4已知a＞1，解关于x的不等式：
解：
原不等式
（i）当1＜a＜2时，由①得：
x＜a或x＞2
∵
∴又∵ ∴
∴解集为
（ii）当a=2时，由①得x≠2，由③得
∴解集为
（iii）当a＞2时，由①得，x＜2或x＞a
∵
∴解集为
说明：
本题中参数a，在求解集过程中，不同的取值，影响解集，故而要分类讨论，这是变形所需．
例5某城市用水收费方法是：
水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量（m3）
水费（元）
1
8
9
2
15
19
3
13
15
解：
设每月用水量为xm3，支付费用为y元．
则y=
由题意知0＜c≤4，8+c≤12．
故第2、3月份用水量15am3,13am3大于最低用水限量am3
将分别代入中，得
①
再分析1月份用水量是否超过最低限量am3
不妨设8＞a，
将中，得
9=8+2（8–a）+c,
得2a=c+15②
显然①、②矛盾
∴1月份用水量不超过最低限量．
又∵y=8+c
∴9=8+c,c=1
∴a=10,b=2,c=1
说明：
本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：
a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决．
例6设a＞0，且a≠1，解关于x的不等式：
解：
原不等式
当0＜a＜1时，
原不等式
或（Ⅱ）
或（Ⅲ）
解不等式组（Ⅰ），得；
解不等式组（Ⅱ），得
解不等式组（Ⅲ），无解．
∴原不等式的解集为
当a＞1时，
原不等式
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
或（Ⅲ）
解不等式组（Ⅰ），得
解不等式组（Ⅱ），得a≤x 不等式（Ⅲ）无解
∴原不等式的解集是
说明：
本题在对a进行分类的过程中，又对x进行分类，以去掉绝对值符号，是多次分类。
例7设，比较的大小．
分析：
本题可用比差法，但要对a进行分类讨论，而用商比较法，可以不再进行分类讨论，解起来简单了．
解∵0＜x＜1
∴
∴
说明：
分类讨论的目的是为了解决问题，但要视情况而定，若能不分类即可把问题解决就不要分类讨论．
三、巩固练习
1．已知不共面的三条直线a、b、c，a∥b∥c，过a作平面α，使b、c到α的距离相等，则满足条件的平面α有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）4个 （D）无数个
2．函数与它的反函数是同一函数的充要条件是（ ）
（A）a=1，b=0 （B）a=-1，b=0
（C）a=±1，b=0 （D）a=1，b=0或a=-1，b∈R
3．已知k是常数，若双曲线的焦距与k值无关，则k的取值范围是（ ）
（A）-2＜k≤2 （B）k＞5
（C）-2＜k≤0 （D）0≤k＜2
4．已知数列{an}前n项之和Sn满足，则an=_________．
5．直线m过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线m的距离等于1，则直线m的方程为________．
6．根据实数k的不同取值，讨论直线y=k（x+1）与双曲线
的公共点个数．
7．已知数列{an}和函数当n为正偶数时，；当n为正奇数时，．求{an}的通项公式．
8．设a>0,a≠1，解关于x的不等式．
四、练习解析
1．B）提示：
两种情况：
过a与b、c所确定平面平行，或过a与b、c所确定平面相交．
2．选（D），提示：
的反函数为，依题意
∴由①得a=±1，当a=1时，b=0，当a=-1时，b∈R．
3．选（C）提示：
表示双曲线，则，此时，，不合题意，当k≤0时，-2＜k≤0，此时，，则，与k无关．
4．提示：
由且当n≥2时，
，若，
∴
5．4x+3y+5=0或x=-2提示：
直线m的斜率不存在时，方程为x=-2，满足条件，当斜率存在时，设其方程为y-1=k（x+2），由点到直线的距离公式，可得
6．解：
由消去y整理得
当时，，此时直线分别与双曲线的渐近线平行，它们分别与双曲线的一支交于一点
当时，
∴当时，直线分别与双曲线只有一个公共点；
当时，直线与双曲线有两个公共点；
当时，直线与双曲线无交点．
7．解当n为正偶数时，
此时n-1为正奇数，则
∴ ∴
当n为正奇数时，（n＞1）
此时n-1为正偶数，则
∴，解得
而当n=1时，由已知得∴
故数列的通项公式为
8．解：
原不等式
当
原不等式
∴原不等式的解集是；
当
原不等式
∴原不等式的解集为
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