高中数学 第一章 集合 12 集合之间的关系与运算 121 集合之间的关系教案 新人教B版必修1Word格式文档下载.docx
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(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别?
(3)结合例子④,类比实数中的结论:
“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?
(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示?
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?
活动:
教师从以下方面引导学生:
(1)观察两个集合间元素的特点.教师给出定义:
一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB或BA.规定:
空集是任何一个集合的子集.
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:
如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).
(3)实数中的“≤”类比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:
为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合,这种图称为维恩(Venn)图.
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.
(6)分类讨论:
当AB时,AB或A=B.
(7)类比子集.
讨论结果:
(1)①集合A中的元素都在集合B中;
②集合A中的元素都在集合B中;
③集合C中的元素都在集合D中;
④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:
对于任意两个集合A、B有下列关系:
集合A中的元素都在集合B中,或集合B中的元素都在集合A中.
(2)例子①中AB,但有一个元素4∈B,且4A,而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.
(3)若AB,且BA,则A=B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.
(5)如图甲所示表示集合A,如图乙所示表示集合B.
(6)如下图所示.
(7)若AB,BC,则AC;
若AB,BC,则AC.
思路1
例1写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集.
分析:
如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢?
我们采用下面的步骤:
(1)因为空集是所有集合的子集,所以首先写出;
(2)写出所有由一个元素构成的子集:
{1},{2},{3};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:
{1,2},{1,3},{2,3};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:
{1,2,3}.
解:
集合A的所有子集是:
,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.
点评:
本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.
思考:
集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集?
多少个真子集?
当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;
当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21;
当n=2时,即含有两个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22……
集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.
变式训练
已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:
集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,
又集合QP,所以集合Q有4个.
答案:
A
例2说出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};
(2)P={x|x2=1},Q={x||x|=1};
(3)C={x|x是奇数},D={x|x是整数}.
(1)BA;
(2)P=Q;
(3)CD.
本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.
判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:
先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:
当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;
当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;
当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;
当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.
某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.
(1)则下列包含关系哪些成立?
AB,BA,AC,CA.
(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.
学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:
(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;
长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.
(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.
(1)包含关系成立的有:
AB,AC.
(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如下图所示.
例3判定下列集合A与B的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
(2)A={x|x>3},B={x|x>5};
(3)A={x|x是矩形},B={x|x是有一个角为直角的平行四边形}.
(1)因为x是12的约数x是36的约数,所以AB;
(2)因为x>5x>3,所以BA;
(3)因为x是矩形x是有一个角为直角的平行四边形,所以A=B.
A={x|p(x)},B={x|q(x)},则如果p(x)q(x),则A=B;
反之,如果A=B,则p(x)q(x).
本节练习A 4
思路2
例1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m=________.
先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论.
∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.
1
本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.
讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.
已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.
集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论.
由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠.
当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;
当N≠时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=
.
又∵NM,∴
∈M.∴
>2.∴0<a<
综上所得,实数a的取值范围是a=0或0<a<
,
即实数a的取值范围是{a|0≤a<
}.
例2
(1)分别写出下列集合的子集及其个数:
,{a},{a,b},{a,b,c}.
(2)由
(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集?
学生思考子集的含义,并试着写出子集.
(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;
(2)由
(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.
(1)的子集有:
,即有1个子集;
{a}的子集有:
、{a},即{a}有2个子集;
{a,b}的子集有:
、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;
{a,b,c}的子集有:
、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.
(2)由
(1)可得:
当n=0时,有1=20个子集;
当n=1时,集合M有2=21个子集;
当n=2时,集合M有4=22个子集;
当n=3时,集合M有8=23个子集.
因此,含有n个元素的集合M有2n个子集.
本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有…( )
A.3个 B.4个
C.5个D.6个
对集合A所含元素的个数分类讨论.
A=或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.
D
1.判断正误:
(1)空集没有子集.( )
(2)空集是任何一个集合的真子集.( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集.( )
(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( )
关于判断题应确实把握好概念的实质.
该题的4个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于
(1)、
(2)来讲,由规定:
空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB.
2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.
区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的集合的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.
因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,
即A={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.
真子集有、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.
3.
(1)下列命题正确的是( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中,错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}{1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0}
A.5B.2C.3D.4
(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )
A.aMB.aMC.{a}∈MD.{a}M
(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;
由于只有一个子集,即它本身,排除B;
由于1不是质数,排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.
①应是{1}{0,1,2},④应是{0,1,2},⑤应是{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M={x|3<x<4},a=π.
因3<a<4,故a是M的一个元素.
{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.
(1)C
(2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系.
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B.
(2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},
又x=4n=2·
2n,
在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;
而在x=4n中,2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数,但B中元素是由A中部分元素构成,则有BA.
5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a所取的一切值.
因P={x|x2+x-6=0}={2,-3},
当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,QP成立.
又当a≠0时,Q={x|ax+1=0}={-
},
要QP成立,则有-
=2或-
=-3,a=-
或a=
综上所述,a=0或a=-
这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q为空集的情况,而当Q=时,满足QP.
6.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使APB,求满足条件的集合P.
由A={x∈R|x2-3x+4=0}=,
B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4},
由APB知集合P非空,且其元素全属于B,即P是B的非空子集,则满足条件的集合P为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},
(1)若BA,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=满足BA.
当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立,需
可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
∴A的非空真子集个数为28-2=254.
(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B=即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
②若B≠,则要满足条件有:
或
解之,得m>4.
综上,有m<2或m>4.
此问题解决要注意:
不应忽略;
找A中的元素;
分类讨论思想的运用.
问题:
已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个?
学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.
思路1:
写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;
思路2:
分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.
解法一:
因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足AB,有:
,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).
又满足AC的集合A有,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4},{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).
其中同时满足AB,AC的有8个,即,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.
解法二:
题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).
有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;
关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.
本节课学习了:
①子集、真子集、Venn图等概念;
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;
③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.
课本本节练习B 2、3、4.
本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过归纳得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.
[备选例题]
例1下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合?
结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};
梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};
正方形是菱形,故E={正方形},即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}.
例2设集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足BA的a的值共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,∵BA,∴B=或B≠.当B=时,关于x的方程(a-2)x=2无解,∴a-2=0.∴a=2.当B≠时,关于x的方程(a-2)x=2的解为x=
∈A,
∴
=-2或
=-1或
=1或
=2.
解得a=1或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.
例3集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A.16B.8C.7D.4
A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个.
C
例4已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合B是不是集合A的子集?
是否存在实数a使A=B成立?
先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上,从而确定字母a的分类标准.
当a=1时,B={1},所以B是A的子集;
当1<a≤3时,B也是A的子集;
当a<1或a>3时,B不是A的子集.综上可知,当1≤a≤3时,B是A的子集.
由于集合B最多只有两个元素,而集合A有无数个元素,故不存在实数a,使B=A.
分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决(即先化整为零,再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键.
[思考]
(1)空集中没有元素,怎么还是集合?
(2)符号“∈”和“”有什么区别?
剖析:
(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于
=0,x2+4=0等方程来说,它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢?
为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等式|x|<0的解集也是不含任何元素,就称不等式|x|<0的解集是空集.
(2)难点是经常把这两个符号混淆,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围,并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z,
Z;
符号只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,表示集合与集合之间的关系,如{1}{1,0},{x|x<0}.
2019-2020年高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算自我小测新人教B版必修1
1.若集合A={x|-2<
x<
1},B={x|0<
2},则集合A∩B等于( )
A.{x|-1<
1}B.{x|-2<
1}C.{x|-2<
2}D.{x|0<
1}
2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>4},则M∪N等于( )
A.{x|x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<4}
C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3或x>5}
3.设集合A={0},B={2,m},且A∪