三角形的证明二经典讲义.docx

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三角形的证明二经典讲义

第二章三角形的证明

1．等腰三角形

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL）及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

3、等边三角形的有关知识点。

判定：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：

等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1:

如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：

MD=MA.

例2如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：

AE=CD.

例3：

如图：

已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,

求证:

①AC＝AD；②CF＝DF。

例4如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

（1）在图1中，AC与BD相等吗？

请说明理由（4分）

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？

为什么？

例5如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。

（1）猜想DF与EF的大小关系；

（2）请证明你的猜想。

例6证明：

在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2．直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

二、典型例题分析

例1：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

例2：

如图，中，，求的长。

例3：

如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

例4：

如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

例5：

如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：

BP=2PQ．

3.线段的垂直平分线4.角平分线

一、主要知识点

1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例1：

（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小

（2）如果将

（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　

（3）你发现有什么样的规律性？

试证明之.

（4）将

（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2：

在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。

例3：

如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。

求证：

直线AB是线段CD的垂直平分线。

例4：

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

例5:

：

如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。

求证：

BE垂直平分CD。

例6:

：

在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与

∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：

OE=OF

例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：

BE=CF。

相应练习

1、如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。

求证：

BP=2PQ

2、如图，△ABC中，AB=AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。

求证：

点Q在PR的垂直平分线上。

3、如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。

求证：

∠B=∠CAF

4、已知：

如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E

求证：

点M为EF的中点

第二章三角形的证明单元训练题

一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.

A.①B.②C.③D.①和②

2．下列说法中，正确的是（）.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（）.

A．4cmB．5cmC．8cmD．cm

4．如图3，在等边中，分别是上的点，且，AD与BE相交于点P，则的度数是（）.

A．B．C．D．

5．如图4，在中，AB=AC，，BD和CE分别是和的平分线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.

A．9个B．8个C．7个D．6个

6．如图5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.

A．1处B．2处C．3处D．4处

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是

等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结

论：

①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN.其中，正确结论的个数是（）.

A．3个B．2个C．1个D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上（如图7），可以证明≌，得ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定≌的条件是（）.

A．ASAB．SASC．SSSD．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的

位置，BE交AD于点F.

求证：

重叠部分（即）是等腰三角形.

证明：

∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵与关于BD对称，

∴.∴是等腰三角形.

请思考：

以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？

（）.

①；②；③；④

A．①③B．②③C．②①D．③④

10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且

BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：

（1）作线段

BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相

交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，

AC，则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.

A.

（1）　　　B.

（2）　　C.（3）　　D.（4）

二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在中，，分别过点作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.

4．如图13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若的周长为50，则底边BC的长为_________.

5．在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则

底角B的大小为________.

6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：

①直角三角形两条直角边的平方和

等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段

垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的

距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.（填序号）

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B

与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在中，AB=AC，，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF=_______cm.

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC

于点，若，则_______.

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身

器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标

牌“少走_____步，踏之何忍？

”但小颖不知在“_____”处应填什么

数字，请你帮助她填上好吗？

（假设两步为1米）？

三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，

.求证：

AB=4BD.

2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分

交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.你能否求出的

周长？

若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，

BE与CD相交于O点.现有四个条件：

①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

（