力的平移定理.docx

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力的平移定理

第四章平面一般力系

第一节力的平移定理

上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。

为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。

设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。

现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？

为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。

显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为

这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。

由此可得力的平移定理：

作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。

顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为：

力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。

例如，图4－4a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用，为分析F的作用效应，可将力F平移到柱的轴线上的O点上，根据力的平移定理得一个力F′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b））。

力F经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。

第二节平面一般力系向作用面内任一点简化

一、简化方法和结果

设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，…，Fn，如图4－5（a）所示。

为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O点（图4－5（b）），得到一个平面汇交力系F1′，F2′，…，Fn′和一个附加的平面力偶系。

其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即

F1′=F1，F2′=F2，…，Fn′=Fn

各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩，即

由平面汇交力系合成的理论可知，F1′，F2′，…，Fn′可合成为一个作用于O点的力Rˊ，并称为原力系的主矢（图4－5（c）），即

R′=F1′+F2′+…+Fn′=F1+F2+…+Fn=∑Fi（4－１）

求主矢R′的大小和方向，可应用解析法。

过O点取直角坐标系oxy，如图4－5所示。

主矢R′在x轴和y轴上的投影为

Rx′=x1′+x2′+…+xn′=x1+x2+…+xn=∑X

Ry′=y1′+y2′+…+yn′=y1+y2+…+yn=∑Y

式中：

xi′、yi′和xi、yi分别是力Fi′和Fi在坐标轴x和y轴上的投影。

由于Fi′和Fi大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。

主矢R′的大小和方向为

（4－2）

（4－3）

为R′与x轴所夹的锐角，R′的指向由∑X和∑Y的正负号确定。

由力偶系合成的理论知，m1，m2，…，mn可合成为一个力偶（如图4－5（c）），并称为原力系对简化中心O的主矩，即

（4－4）

综上所述，得到如下结论：

平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。

这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。

应当注意，作用于简化中心的力R′一般并不是原力系的合力，力偶矩为

MO′也不是原力系的合力偶，只有R′与MO′两者相结合才与原力系等效。

由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢R的大小和方向与简化中心的位置无关。

而主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，取不同的点作为简化中心，各力的力臂都要发生变化，则各力对简化中心的力矩也会改变，因而，主矩一般随着简化中心的位置不同而改变。

二、平面一般力系简化结果的讨论

平面力系向一点简化，一般可得到一力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。

根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：

（1）若R′=0，MO′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。

由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩和简化中心的位置无关，无论向哪一点简化，所得的主矩相同。

（2）若R′≠0，MO′=0，则作用于简化中心的力R′就是原力系的合力，作用线通过简化中心。

（3）若R′≠0，MO′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力R，如图4－6所示。

将力偶矩为MO′的力偶用两个反向平行力R、R〞表示，并使R′和R〞等值、共线，使它们构成一平衡力图4－6（b），为保持MO′不变，只要取力臂d为

将R〞和R′这一平衡力系去掉，这样就只剩下R力与原力系等效（图4－6（c））。

合力R在O点的哪一侧，由R对O点的矩的转向应与主矩MO′的转向相一致来确定。

（4）R′=0，MO′=0，此时力系处于平衡状态。

三、平面一般力系的合力矩定理

由上面分析可知，当R′≠0，MO′≠0时，还可进一步简化为一合力R，见图4－6，合力对O点的矩是

而

所以

由于简化中心O是任意选取的，故上式有普遍的意义。

于是可得到平面力系的合力矩定理。

平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

例4－1如图4－7（a）所示，梁AB的A端是固定端支座，试用力系向某点简化的方法说明固定端支座的反力情况。

解：

梁的A端嵌入墙内成为固定端，固定端约束的特点是使梁的端部既不能移动也不能转动。

在主动力作用下，梁插入部分与墙接触的各点都受到大小和方向都不同的约束反力作用（图4－7（b）），这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力RA和一个力偶矩为MA的力偶（图4－7（c）），为了便于计算，一般可将约束反力RA，用它的水平分力XA和垂直分力YA来代替。

因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个；即阻止梁端向任何方向移动的水平反力XA和竖向反力YA，以及阻止物体转动的反力偶MA。

它们的指向都是假定的（图4－7（d））。

例4－2已知素混凝土水坝自重，，水压力在最低点的荷载集度，各力的方向及作用线位置如图4－8（a）所示。

试将这三个力向底面Ａ点简化，并求简化的最后结果。

解：

以底面Ａ为简化中心，取坐标系如图4－8（a）所示，由式（4－2）和式（4－3）可求得主矢R′的大小和方向。

由于

所以

因为∑X为正值，∑Y为正值，故R′指向第一象限与x轴夹角为，再由式（4－4）可求得主矩为

计算结果为负值表示MA′是顺时针转向。

因为主矢R′≠0，主矩MA′≠0，如图4－8（b）所示，所以还可进一步合成为一个合力R。

R的大小、方向与R′相同，它的作用线与A点的距离为

因MA′为负，故MA（R）也应为负，即合力R应在A点右侧，如图4－8（c）所示。

第三节平面一般力系平衡条件及其应用

一、平面一般力系的平衡条件

平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。

因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即：

R′=0MO′=0

根据式（4－2）及式（4－4），可得到平面一般力系的平衡条件为

（4－5）

式（4－5）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。

式（4－5）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。

这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因此可求解三个未知量。

例4－3梁AB一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。

它承受均布荷载q和一集中力P的作用，如图4－9（a）所示。

已知P=10kN，　q=2kN/m，l=4m，，梁的自重不计，求支座A的反力。

解：

取梁AB为研究对象，其受力图如图4－9（b）所示。

支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。

在计算中可将线荷载q用作用其中心的集中力来代替。

选取坐标系，列平衡方程。

力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。

因此，我们可以列出其它的平衡方程，用来校核计算有无错误。

校核

可见，YA和mA计算无误。

例4－4图4－10（a）所示一伸臂梁。

受到荷载，三角形分布荷载作用。

如果不计梁重，求支座A和B的反力。

解：

取CD梁为研究对象，受力图如图4－10（b）所示，列平衡方程。

得数为正值，说明实际的反力方向与假设的方向一致，得数为负值，说明实际的反力方向与假设的方向相反。

例4－5一水平托架承受重的重物，如图4－11（a）所示，A、B、C各处均为铰链连接。

各杆的自重不计，试求托架A、B两处的约束反力。

解:

取托架水平杆AD作为研究对象，其受力图如图4－11（b）所示。

由于杆BC为二力杆，它对托架水平杆的约束反力沿杆BC轴线作用，A处为固定铰支座，其约束反力可用相互垂直的一对反力和来代替。

取坐标系如图，列出三个平衡方程。

校核

说明计算无误

例4－6钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图4－12（a）所示。

已知，试求支座处的反力。

解：

取刚架为研究对象，画其受力图如图4－12（b）所示，图中各支座反力指向都是假设的。

本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零，故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩列入。

设坐标系如图4－12（b）所示，列三个平衡方程

校核

说明计算无误。

从上述几个例题可以看出，平面一般力系平衡问题的解题步骤为：

1．选取研究对象，作出研究对象的受力图。

2．对所选取的研究对象，列出平衡方程。

3．由平衡方程解出未知量。

4．将计算结果代入不独立的平衡方程，以校核解题过程有无错误。

二、平面一般力系平衡方程的其他形式

前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。

1．二力矩形式的平衡方程

在力系作用面内任取两点A、B及X轴，如图4－13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即：

（4－6）

式中X轴不与A、B两点的连线垂直。

证明：

首先将平面一般力系向A点简化，一般可得到过A点的一个力和一个力偶。

若成立，则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡状态。

如果又成立，说明R必通过B。

可见合力R的作用线必为AB连线。

又因成立，则，即合力R在X轴上的投影为零，因AB连线不垂直X轴，合力R亦不垂直于X轴，由可推得。

可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向A点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。

2．三力矩形式的平衡方程

在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A、B、C，如图4－14所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即

（4－7）

式中，A、B、C三点不在同一直线上。

同上面讨论一样，若和成立，则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力（图4－14）或者平衡。

如果也成立，则合力必然通过C点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，才能成立。

因此，力系必然是平衡力系。

综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。

无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。

任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。

例4－7某屋架如图4－15（a）所示，设左屋架及盖