高中数学132球体的体积和表面积教案新人教A版必修2.docx

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高中数学132球体的体积和表面积教案新人教A版必修2

2019-2020年高中数学1.3.2球体的体积和表面积教案新人教A版必修2

【教学目标】

（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】

重点：

球的体积和面积公式的实际应用

难点：

应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】

一、教师提出问题：

球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？

引导学生进行思考。

教师设疑：

球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？

球的体积和面积公式：

半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2

二、典例

例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径.（钢密度9g/cm3）

求空心钢球的体积。

解析：

利用“体积=质量/密度”及球的体积公式

解：

设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9（cm3）

由V=（4/3）π（53-r3）得r=4（cm）

点评：

初步应用球的体积公式

变式：

正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________（）

例2在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。

（答案：

2500π）

解析：

利用轴截面解决

解：

设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=（x+9）2+72

解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π

点评：

数形结合解决实际问题

变式：

长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是。

（答案50π）

【板书设计】

一、球的面积和体积公式

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】P301、2

1.3.2球的体积和表面积

课前预习学案

一．预习目标：

记忆球的体积、表面积公式

二．预习内容：

1.3.2课本内容思考：

球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一．学习目标：

应用球的体积与表面积公式的解决实际问题

学习重点：

球的体积和面积公式的实际应用

学习难点：

应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

二．学习过程：

教师提出问题：

球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？

引导学生进行思考。

教师设疑：

球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？

球的体积和面积公式：

半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2

例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径.（钢密度9g/cm3）

求空心钢球的体积。

变式：

正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________

例2在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。

变式：

长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是。

课后练习与提高

一．选择题

1．将气球的半径扩大1倍，它的体积增大到原来的（）倍

A2B4C8D16

2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A.16πB.20πC.24πD.32π

3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）

A.1倍B.2倍C.倍D.倍.

二．填空题

4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.

5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________..

三．解答题

6.图5是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？

图5

参考答案

1.C2.C3.C4.27π5.

6.解：

因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π（cm3），

设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为=100πx（cm3）.

所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（cm）.

答：

杯里的水下降了0.6cm.

2019-2020年高中数学1.3.2球的体积与表面积教案新人教A版必修2

【教材分析】本节课是人教A版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征。

从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。

【学情分析】学生刚学习立体几何不久，具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足， 几何体的内切球、外接球的位置关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难，而且学生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有一定困难，还不能从一定高度去体

会和感悟数学思想。

这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。

【教学目标】

1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。

2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。

3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。

【教学重点、难点】

重点：

球的体积和表面积的计算公式的应用

难点：

解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题

【教学方法】讲练结合

【教学过程】

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课引入

问题一、座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的舒适感和实用性。

现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？

问题二、一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？

为什么？

通过多媒体展示实际问题

师：

对于这两个实际问题，我们能否利用数学知识来解决呢？

通过问题的铺设引入新课

探索新知

回顾上一节的内容

柱体的体积公式V=Sh

锥体的体积公式

台体的体积公式

这些公式推导的依据是什么？

提出问题

怎样求球的表面积和体积？

球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展开成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？

球的体积

1.实验法：

排液法测小球的体积（曹冲称象）

小球排出的液体的体积等于小球的体积

2祖暅定理法：

一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。

用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面

设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为r

则截面面积

设圆大环半径为R小圆半径为，面积

所以，

由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即

∴

球的表面积:

设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.

……=……）R

=

知识要点

1．球的体积：

2．球的表面积：

解惑一，解决问题一

解惑二，解决问题二

多媒体展示回顾内容

师以提问的方式让学生回答回顾内容

师：

这些公式推导的依据是什么？

生：

分割

师投影提出问题

师投影球的体积和表面积的推导方法，并简单介绍

师：

因为球的体积和表面积公式的推导不要求掌握，所以在这里只做简单了解

师：

通过给出的球的体积表面积公式，思考球的体积、表面积由哪一个量来决定的？

生：

球的半径R

师：

（肯定）利用刚才所学知识能否解决问题一？

生：

师：

那能否解决问题二呢？

通过回顾内容提出问题

通过球的体积表面积的推导让学生简单了解，不要求学生掌握所以用时要简单

加强对公式的认识培养学生理解能力

典例分析

例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:

（1）球的体积等于圆柱体积的三分之二；

（2）球的表面积与圆柱的侧面积

相等.

证明:

（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

∴

（2）

例2篮球直径是10cm,不考虑球皮厚度，求它的体积.

拓展一

在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？

解：

由题意得，球的直径等于正方体的棱长

∴正方体的表面积为

拓展二

如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。

分析：

由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。

师：

投影例1并读题，学生先独立完成

生：

利用投影仪展示自己所做的答案

师：

点评学生做的答案并投影本题答案（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）

教师投影例2并读题，学生先独立完成.让学生投影答案教师进行点评

教师投影拓展一并读题，师：

思考：

用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

生：

球内切于正方体

师：

你准备怎样研究这个组合体？

生：

画出球和正方体的平面图.

师：

正方体的棱长与球的哪一个量相等？

生：

球的直径.

师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.

教师投影拓展二并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，并利用投影仪展示学生做的解题过程，最后给出正确答案让学生比照自己做的，找出不足之处。

.

师：

简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.

本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.

本题较易，学生能独立完成，该题的目的是引出拓展

通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

随堂练习

（1）若球的表面积变为原来的4倍,则半径变为原来的—倍。

（2）若球半径变为原来的4倍，则表面积变为原来的—倍。

（3）若两球表面积之比为1:

4，则其体积之比是———。

（4）若两球体积之比是1:

8，则其表面积之比是———。

应用练习

如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着

一个直径为8cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计）,使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?

分析：

解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后使得圆锥体积大于等于半