中考专题复习3第15讲等腰三角形和直角三角形.docx

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中考专题复习3第15讲等腰三角形和直角三角形

第四单元三角形

第15讲　等腰三角形和直角三角形

基础过关

1.一个三角形是直角三角形，其中两条直角边长是2、3，则斜边长是（　　）

A.4B.5C.D.

2.（2018福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）

A.15°B.30°C.45°D.60°

第2题图　　

3.如图，等边△ABC的周长为18，则BC边上的高AD的长为（　　）

A.3B.3C.6D.6

第3题图

4.如图，在△ABC中，AD＝DB＝BC，若∠C＝54°，则∠A的度数为（　　）

A.27°B.30°C.36°D.45°

第4题图

5.（2019宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（　　）

A.40°B.45°C.55°D.70°

第5题图

6.如图，下列四个三角形中，若AB＝AC，则能被过三角形的一顶点的一条直线分成两个小等腰三角形的有（　　）

第6题图

A.①②B.①③C.②④D.③④

7.（2018包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°

第7题图　

8.（2019湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A.10B.8C.4D.2

　第8题图

9.如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（　　）

A．8B．9.6C．10D．4.5

第9题图　　

10.（2018陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）

A.B.2C.D.3

第10题图

11.（2019株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．

第11题图

12.（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．

第12题图

13.如图，在△ABC中，AC＝BC，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若∠B＝80°，则∠BAD的度数是________度．

第13题图

14.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积是________．

第14题图

15.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F.

（1）证明：

△ADF是等腰三角形；

（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．

第15题图

能力提升

1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（　　）

第1题图

A.5

B.7.5

C.9

D.10

2.易错题（2019内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）

A.16B.12C.14D.12或16

3.（2019陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为（　　）

第3题图

A.2＋

B.＋

C.2＋

D.3

4.如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.

（1）求证：

△COD是等边三角形；

（2）若OA＝3，OC＝4，OB＝5，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）若∠AOB＝110°，∠BOC＝α，请探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

第4题图

满分冲关

1.（2019盐城）如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

第1题图

2.易错题（2019徐州）函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有________个．

参考答案

第15讲等腰三角形和直角三角形

基础过关

1.C

2.A　【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠ACB＝60°，∴AD垂直平分线段BC，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝60°－45°＝15°.

3.B　【解析】∵△ABC是等边三角形，其周长为18，∴AB＝BC＝AC＝×18＝6，∠B＝60°.∵AD⊥BC，∴AD＝AB·sin60°＝6×＝3.

4.A　【解析】∵DB＝BC，∠C＝54°，∴∠BDC＝∠C＝54°，∵AD＝DB，∴∠A＝∠DBA，∴∠A＝∠BDC＝27°.

5.C　【解析】∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝（180°－40°）＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°－70°）＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.

6.B　【解析】①中，作底角的平分线即可；③中，作底边上的高即可，则①③正确．

7.D　【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠B＝180°－（∠C＋∠BAC）＝35°，∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°，∴∠ADC＝90°－∠C＝55°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°.

8.D　【解析】∵cos∠BDC＝，∴设DC＝5x，BD＝7x.又∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝DB＝7x.又∵AC＝12，∴5x＋7x＝12，解得x＝1.在Rt△BDC中，CD＝5，DB＝7，BC＝＝＝2.

9.B　【解析】如解图，作AD⊥BC于D，则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝6，由勾股定理得：

AD＝＝＝8，当BM⊥AC时，BM最小，此时，∠BMC＝90°，∵△ABC的面积＝AC·BM＝BC·AD，即×10×BM＝×12×8，解得：

BM＝9.6.

第9题解图

10.C　【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，AC＝8，∴AD＝AC·sin45°＝8×＝4，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝30°，∴∠BAD＝∠ABE，∴AE＝BE，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°，∴DE＝BE＝AE，∵AE＋DE＝AD，∴AE＋AE＝4，∴AE＝.

11.4　【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2MC，∵E、F分别为MB、BC的中点，∴EF是△CMB的中位线．又∵EF＝1，∴MC＝2EF＝2.∴AB＝2MC＝4.

12.　【解析】根据勾股定理可知，AB＝＝＝5.S△ABC＝×3×4＝6.∵S△ABC＝×AB×CD＝CD＝6，∴CD＝.在Rt△ACD中，AD＝＝＝.

13.60°　【解析】∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝80°，∴∠C＝180°－80°－80°＝20°，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝20°，∴∠BAD＝∠CAB－∠DAC＝80°－20°＝60°.

14.36　【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝＝＝5，∵AD＝13，DC＝12，∴AC2＋CD2＝AD2.∴∠ACD＝90°.∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36.

15.

（1）证明：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵FE⊥BC，

∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，

∴∠F＝∠BDE，

∵∠BDE＝∠FDA，

∴∠F＝∠FDA，

∴AF＝AD，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）解：

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵∠B＝60°，BD＝4，

∴BE＝BD＝2，

∵AB＝AC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB＝AD＋BD＝6，

∴EC＝BC－BE＝4.

能力提升

1.A　【解析】如解图，连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，∴S△ABC＝S△ABO＋S△ACO＝AB·OE＋AC·OF＝AB·（OE＋OF）＝×6×（OE＋OF）＝15，解得OE＋OF＝5.

第1题解图

2.A　【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.

3.A　【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∴DE＝DF＝1.在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2.在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴CD＝DF＝，∴BC＝BD＋CD＝2＋.

第3题解图

4.

（1）证明：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，

∴CO＝CD.

∴△COD是等边三角形；

（2）解：

△AOD为直角三角形，

∵△ADC≌△BOC，

∴DA＝OB＝5，

∵△COD是等边三角形，

∴OD＝OC＝4，

又∵OA＝3，

∴DA2＝OA2＋OD2，

∴△AOD为直角三角形；

（3）解：

当△AOD是等腰三角形时，

分三种情况：

①∠AOD＝∠ADO，

②∠ODA＝∠OAD，

③∠AOD＝∠DAO，

∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，

∴∠BOC＝190°－∠AOD，

而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO＋∠CDO，

由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD＋60°，

求得α＝125°；

由②∠ODA＝∠OAD可得190°－α＋2（α－60°）＝180°，

求得α＝110°；

由③∠AOD＝∠DAO可得2（190°－α）＋α－60°＝180°，

求得α＝140°；

综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°.

满分冲关

1.2　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝x，AC＝x.∴AB＝AC＝2x.在Rt△ABD中，BD＝＝＝x，∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝（＋1）x＝＋＝（＋1），解得x＝，∴AC＝2.

第1题解图

2.4　【解析】由等腰三角形分类讨论有三种情况，如解图，AB＝AC1，AB＝AC4；AB＝BC3；AC2＝BC2.则满足条件的点C有4个．

第2题解图