因式分解的方法Word下载.docx

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因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

注意四原则：

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：

-3x²

+x=x（-3x+1））不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x（2+3y+4z）

归纳方法：

1．拼凑法

2．提取公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：

找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

-am+bm+cm=-（a-b-c）m

a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（a-b）（x-y）。

注意：

把

变成

不叫提公因式

3．公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

平方差公式：

反过来为

完全平方公式：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

两根式：

立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

完全立方公式：

a3±

3a2b+3ab2±

b3=（a±

b）3

公式：

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）

a2+4ab+4b2=（a+2b）2

分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：

分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同

4．解方程法

通过解方程来进行因式分解，如：

X2+2X+1=0,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×

（X+1）

5．分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：

二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）

几道例题：

1．5ax+5bx+3ay+3by

解法：

=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）

说明：

系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2．x2-x-y2-y

=（x2-y2）-（x+y）=（x+y）（x-y）-（x+y）=（x+y）（x-y-1）

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。

6．十字相乘法

十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；

常数项是两个数的积；

一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

例1：

x2-2x-8=（x-4）（x+2）

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）．

例2：

分解7x2-19x-6

图示如下：

a=1b=7c=2d=-3

因为　-3×

7=-21，1×

2=2，且-21+2=-19，

所以，原式=（7x+2）（x-3）．

十字相乘法口诀：

分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

例3：

6X2+7X+2

第1项二次项（6X2）拆分为：

2×

3

第3项常数项

（2）拆分为：

1×

2

对角相乘：

3+2×

2得第2项一次项（7X）

纵向相乘，横向相加。

与之对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。

7．拆添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+bc（a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=（bc+ca）（c-a）+（bc-ab）（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）．

8．配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=（x+1.5）2-（6.5）2=（x+8）（x-5）．

9．因式定理

对于多项式f（x），如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a．

f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。

（事实上，x2+5x+6=（x+2）（x+3）．）

注意：

1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数

2．对于多项式f（a）=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

10．换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

换元后勿忘还元。

例如在分解（x2+x+1）（x2+x+2）-12时，可以令y=x2+x,则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=（y+5）（y-2）

=（x2+x+5）（x2+x-2）=（x2+x+5）（x+2）（x-1）．

11．综合除法

令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．

所以2x4+7x3-2x2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

12．主元法

例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x3+2x2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

13．特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，

则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×

5×

7．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x3+9x2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。

14．待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：

这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x4-x3-5x2-6x-4=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd

由此可得

a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x4-x3-5x2-6x-4=（x2+x+1）（x2-2x-4）．

也可以参看下图（相关公式）。

15．双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：

分解因式：

x2+5xy+6y2+8x+18y+12．

分析：

这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：

图如下，把所有的数字交叉相连即可

x　2y　2

x　3y　6

∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=（x+2y）（x+3y）

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y2+18y+12=（2y+2）（3y+6）

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

④纵向相乘，横向相加。

16．二次多项式（根与系数关系二次多项式因式分解）

对于二次多项式aX2+bX+c（a≠0）

当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2

=a（X2-（X1+X2）X+X1X2）

=a（X-X1）（X-X2）.

分解步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：

“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”

例题

1．分解因式（1+y）2-2x2（1+y2）+x4（1-y）2．

原式=（1+y）2+2（1+y）x2（1-y）+x4（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）（补项）

=[（1+y）+x2（1-y）]2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）（完全平方）

=[（1+y）+x2（1-y）]2-（2x）2

=[（1+y）+x2（1-y）+2x][（1+y）+x2（1-y）-2x]

=（x2-x2y+2x+y+1）（x^2-x2y-2x+y+1）

=[（x+1）2-y（x2-1）][（x-1）2-y（x2-1）]

=[（x+1）2-y（x+1）（x-1）][（x-1）2-y（x+1）（x-1）]

=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）．

2．求证：

对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：

x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．

原式=（x5+3x4y）-（5x3y2+15x2y3）+（4xy4+12y5）

=x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y）

=（x+3y）（x4-5x2y2+4y4）

=（x+3y）（x2-4y2）（x2-y2）

=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）．

当y=0时，原式=x5不等于33；

当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：

-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：

这个三角形是等腰三角形。

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：

∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

∴（a+c）（a-c）+2b（a-c）=0．

∴（a-c）（a+2b+c）=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a+2b+c>

0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x2n×

yn+18xn+2yn+1-6xn×

yn-1分解因式。

-12x2n×

yn-1

=-6xn×

yn-1（2xn×

y-3x2y2+1）．

四个注意

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

现举下例，可供参考。

例1把-a2-b2+2ab+4分解因式。

-a2-b2+2ab+4=-（a2-2ab+b2-4）=-[（a-b）2-4]=-（a-b+2）（a-b-2）

这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止学生出现诸如－9x2+4y2=（-3x）2-（2y）2=（-3x+2y）（-3x-2y）=（3x-2y）（3x+2y）的错误。

这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2（4x4-5x2-9）=y（x+1）（4x2-9）的错误，因为4x2-9还可分解为（2x+3）（2x-3）。

考试时应注意：

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：

“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

应用

1．应用于多项式除法。

a（b−1）（ab+2b+a）

　说明：

（ab+b）2−（a+b）2=（ab+b+a+b）（ab+b−a−b）=（ab+2b+a）（ab−a）

=a（b−1）（ab+2b+a）．

2．应用于高次方程的求根。

3．应用于分式的通分与约分

顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：

（8r+7）|（2P-1）。

即（2p+1）|（2P-1）

23|（211-1）;

；

11=4×

2+3

47|（223-1）;

23=4×

5+3

167|（283-1）;

,,.83=4×

20+3

2,p=2n×

32+1,，则（6p+1）|（2P-1），

223|（237-1）；

37=2×

3×

3+1

439|（273-1）；

73=2×

3463|（2577-1）；

577=2×

3，p=2n×

3m×

5s-1,则（8p+1）|（2P-1）

例如；

233|（229-1）；

29=2×

5-1

1433|（2179-1）；

179=2×

1913|（2239-1）；

239=2×

分解公式

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2

完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。

即a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

证明如下：

a3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3

所以a3-b3=（a-b）3-[-3（a2）b+3ab2]=（a-b）（a-b）2+3ab（a-b）

=（a-b）（a2-2ab+b2+3ab）=（a-b）（a2+ab+b2）

同理a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

十字相乘公式

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。

要务必注意各项系数的符号。

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab