高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解读第八章立体几何初步 总体设计Word文档格式.docx

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1借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理．

基本事实1：

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：

平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理．

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．

若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

3从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

垂直于同一个平面的两条直线平行．

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

4能利用以上已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．

3：

几何学的发展

收集、阅读几何学发展的历史资料，撰写小论文，论述几何学发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献．

二、本章知识结构框图

三、内容安排

本章内容主要包括两部分，第一部分是基本立体图形，主要是对空间几何体的认识．教科书从对空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，帮助学生认识这些图形的几何结构特征，学习它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算．第二部分是基本图形位置关系，主要是对组成立体图形的几何元素之间的位置关系的认识．教科书从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面的平行和垂直这两种特殊的位置关系．

本章第1节是“基本立体图形”，主要内容是认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征．教科书从日常生活中这些几何体的实物模型出发，让学生观察组成这些物体的表面，引导他们思考空间几何体的分类方法，得到多面体、旋转体的概念；

再进一步从围成物体的表面形状、位置关系等入手认识棱柱、棱锥、棱台等多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征，得到它们的相关概念，再进一步讨论由它们组合而成的简单组合体．

学习了基本立体图形，接下来自然的问题就是将它们在平面上表示出来，这也就是本章第2节“立体图形的直观图”的内容．教科书从观察矩形窗户的影子、矩形农田出发，利用平行投影，给出了平面图形直观图的斜二测画法．在此基础上，介绍了几何体的直观图的画法．需要注意的是，画旋转体的直观图时，对于圆的直观图的正等测画法，教科书没有作为基本要求，学生能用椭圆模板画示意图即可．

本章第3节是“简单几何体的表面积与体积”，主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法．受学生所学知识基础的限制，本节中的大部分体积公式都没有给出推导过程，而是直接给出的，学生能应用即可．另外，在本节，除了《标准（2021年版）》要求的棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积公式以外，为了加强知识之间的整体性和联系性，教科书还归纳了学生在义务教育阶段学习过的圆柱、圆锥的表面积和体积公式，并给出了圆台的表面积和体积公式，进而从这些几何体的结构特征上建立它们的体积公式之间的联系．

在前三节通过直观感知、操作确认等认识基本立体图形（即认识它们的结构特征、直观表示、表面积和体积的计算）的基础上，按照从整体到局部、从具体到抽象的安排，教科书接下来对立体几何内容的学习进入“局部”“抽象”“思辨论证”的定性研究的阶段．立体几何定性研究的重点是直线、平面之间的位置关系，在研究这些位置关系时，从复杂图形向简单图形、从立体图形向平面图形转化是考虑问题的一般思路．在这一过程中，确定图形的组成要素和特殊的位置则是考虑问题的出发点．为此，教科书在接下来的3节内容中，首先研究了平面的概念和基本性质，由此出发，研究空间点、直线、平面的位置关系，并重点研究直线、平面之间平行和垂直关系的性质和判定方法，在此基础上，解决一些简单的推理论证和应用问题．

按照上述思路，本章第4节安排了“空间点、直线、平面之间的位置关系”．首先是平面的概念和基本性质．平面是立体几何中不加定义的概念，它的“平”和“无限延展”的基本特征是通过三个基本事实刻画的，这三个基本事实以及它们的三个推论又提供了确定一个平面的方法，因此这部分内容是后续研究直线和平面的位置关系的基础．对于空间点、直线、平面的位置关系，教科书也是按照从整体到局部的思路来安排的，本节后半部分就是对这些位置关系的整体认识．结合长方体，教科书重点呈现了直线、平面之间的位置关系，包括直线和直线的位置关系相交直线、平行直线、异面直线），直线和平面的位置关系（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行），平面和平面的位置关系（两个平面平行、两个平面相交．

按照一般到特殊的思路，在对空间点、直线、平面的位置关系整体认识的基础上，接下来教科书重点研究直线、平面间的平行、垂直关系，这也就是接下来教科书第5节、第6节的内容．教科书第5节“空间直线、平面的平行”是按照位置关系展开的，即按照直线和直线平行、直线和平面平行、平面和平面平行展开研究，重点研究它们的判定和性质．对于垂直，教科书第6节“空间直线、平面的垂直”也是按照这一思路，一脉相承地处理．按照《标准（2021年版）》的要求，对于直线和平面平行、垂直的判定方法，在本章并不要求证明（将在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中进行证明），因此教科书按照直观感知、操作确认的思路处理，让学生经历研究思路的引导，观察发现、操作确认这一研究判定定理的过程．对于性质，则要在上述过程的基础上思辨论证，即对性质定理进行证明．在学习直线、平面的平行、垂直判定和性质的基础上，教科书还安排了一些简单的几何命题以及应用问题，以要求学生应用这些图形的判定和性质．

在本章，在对空间几何体的整体认识部分，简单几何体的结构特征是教学的重点，在认识空间几何体时，需要数学抽象，需要从“感性具体”略去非数学特征到“理性具体”，再由“理性具体”把握其共同属性到“理性一般”．在教学中，需要充分使用直观模型，在抽象过程中引导学生关注组成几何体的面的特征及其位置关系这一观察重点，逐步深入，抽象出空间几何体的本质属性，形成概念．

本章的四个基本事实是考虑立体几何问题的出发点，因此它们是本章教学的重点．在研究直线、平面的位置关系的过程中，重点是其特殊情况，即直线、平面的平行和垂直关系．对它们的研究又体现了由简单到复杂、由易到难的研究方法，同时也体现了在解决空间图形问题过程中，空间图形问题转化为平面图形问题的重要思想方法．因此，直线、平面平行和垂直的判定和性质也是本章的重点内容，它们也是解决立体几何问题的基本定理．

在解决空间图形的问题中，有时需要在较复杂的图形中分析其中直线、平面的位置关系，需要综合运用本章一些基本事实以及位置关系的判定和性质，这需要较高的直观想象和逻辑推理能力，这是本章教学的难点．这需要在教学相关定理时遵循直观感知、操作确认、思辨论证的研究空间图形的过程，引导学生体会研究空间图形的方法，关注基本图形，从基本图形再到复杂图形，逐步形成研究和解决空间图形问题的思路和方法．

四、课时安排

本章教学时间约需19课时，具体分配如下（仅供参考）：

81基本立体图形约2课时

82立体图形的直观图约2课时

83简单几何体的表面积与体积约2课时

84空间点、直线、平面之间的位置关系约2课时

85空间直线、平面的平行约3课时

86空间直线、平面的垂直约3课时

文献阅读与数学写作*几何学的发展约1课时

小结约2课时

五、本章编写思考

1．从整体到局部，从一般到特殊，构建本章的体系结构

按照《标准（2021年版）》的要求，本章“立体几何初步”包括基本立体图形和基本图形位置关系两部分内容．从研究立体几何内容的数学逻辑来看，应该是从构成空间图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究其概念与基本性质，在此基础上，研究这些元素的位置关系（主要是平行与垂直关系），最后研究这些元素组成的几何体，研究它们的结构特征、平面表示以及表面积和体积的计算等．这种思路，按公理化体系，按知识的逻辑关系展开内容，优点是结构严谨、逻辑性强．但不符合学生的认知规律、思维习惯，这也是造成学生学习立体几何困难的原因之一．我们知道，空间图形是现实世界物体的抽象，学生观察世界，首先接触的是具体的几何体．因此教科书从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间图形的结构特征、平面表示（直观图）以及表面积和体积的计算．在此基础上，抽象出组成几何体的基本元素——点、直线、平面，再以长方体为载体，直观认识这些组成元素的位置关系，并进一步研究直线、平面的平行和垂直关系，重点研究其判定和性质．这种处理，从整体到局部，在尽量符合数学逻辑严谨性要求的前提下考虑到了学生认知规律，为学生提供一个从感性到理性、循序渐进、逐步严格的学习过程，为从合情推理到逻辑推理的过渡创造条件；

体现从具体到抽象的认识规律，有利于学生空间观念的培养．

在具体内容的展开过程中，教科书也遵从整体到局部、一般到特殊的原则．例如，对于几何体的结构特征的认识，教科书首先呈现了大量的生活实物照片，让学生对它们进行观察，并引导学生从整体上进行观察，对它们分类，得到多面体和旋转体的概念，在此基础上，进一步细分，从而得出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本几何体．在对空间点、直线、平面位置关系进行研究的过程中，也是先以长方体为载体，整体认识点、直线、平面之间的位置关系，在此基础上，再对直线、平面的位置关系进行深入研究，并重点研究直线、平面之间平行和垂直这两种特殊情况，不只是得出概念，还要研究它们的判定和性质．

需要注意的是，整体和局部是有机联系的，不能绝对分割．没有对整体的把握，就不易认知局部．例如，异面直线的概念（局部）是一个教学难点，但把它放在长方体（整体）中来观察，就容易学习了．反之，没有对局部细微的认识，也不能真正认识整体．例如，不理解直线、平面间的垂直关系，就不能深入理解长方体与平行六面体之间的联系与区别．因此，教科书在学习点、直线、平面的位置关系时，也注意照应一些有关整体的问题．例如，教科书在给出直线与平面垂直、平面与平面垂直之后，分别给出了点到平面的距离、两个平行平面之间的距离的概念，并进一步解释了棱柱、棱锥、棱台的高，还借助相关性质推导了棱台的体积公式．这样处理反过来又加深了对于棱柱、棱锥、棱台这些几何体的理解，这也是一种螺旋上升的观点．

2．渗透立体几何研究方法，发展学生直观想象素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养．在本章，教科书在认识基本立体图形，认识基本图形位置关系，发现和探索直线、平面平行和垂直关系的判定和性质定理等过程中，都注意培养学生直观想象素养．

直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、研究它们的性质的重要手段．从人们认识世界的过程来看，对“形”的认识要先于对“数”的认识，“形”直观、具体、形象，“数”理性、抽象、逻辑，所以学习立体几何的途径是：

直观感知（识图）——操作确认（画图）——度量计算（算图）——思辨论证（证图）．教科书的安排也体现了这个认知过程．本章通过对实物模型的直观感知和操作，认识空间几何体的结构特征，进一步掌握了在平面上表示空间图形的方法，了解了它们的表面积和体积的计算方法；

通过对图形的抽象和直观想象，认识了刻画平面性质的三个基本事实；

在得到直线、平面平行（垂直）的定义后，通过探究直线、平面平行（垂直）的充分条件，得到了相应位置关系的判定定理；

通过探究直线、平面平行（垂直）的必要条件，得到了相应位置关系的性质定理，并进行了证明．

空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决空间图形问题的重要思想方法．简单地说，就是要把相关的点、直线（段）转化到同一个平面上，而转化的出发点就是四个基本事实．例如，探究直线与平面平行的性质，就是在直线a平行平面a的条件下，探究直线a、平面a与空间中其他直线、平面的位置关系，利用基本事实可以发现，过a的平面

与a的交线与a平行，而且这些交线相互平行．

在研究直线、平面的位置关系时，由简单到复杂、由易到难是研究的一般思路．我们利用直线与直线的位置关系，研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系．反过来，由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系，由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系．在对空间直线、平面的平行、垂直关系进行研究时，教科书充分体现了这一过程．

3．关注研究几何对象的基本方法，提升学生发现和提出问题的能力

立体几何的研究对象是立体图形，基本立体图形（柱、锥、台、球等）和基本图形位置关系（空间点、直线、平面的位置关系）是这一章的主要研究内容．研究这些内容的基本方法是直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算．教科书特别注意引导学生在研究几何对象的过程中体会这些基本思路和方法．

对于基本立体图形的认识，教科书按结构特征（包括相关定义）

平面表示（直观图）

表面积和体积的过程展开．对于具体图形的结构特征，教科书也呈现了一个由具体到抽象、逐步深入的研究过程．例如，在第81节，教科书首先呈现了一些实物图片，然后向学生提出问题：

“这些图片中的物体具有怎样的形状在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么如何描述它们的形状”接下来，对如何观察这些物体进行了引导：

“观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．”在此基础上，将这些实物所表示的几何体分成两类：

“由若干个平面多边形围成的”和“封闭的旋转面围成的”，从而得到多面体和旋转体的概念．对多面体和旋转体结构特征的研究，教科书也是从它们的组成元素的形状、位置关系入手，进一步按照上述思路研究，从而得到各种多面体、旋转体的具体概念．

对于空间点、直线、平面位置关系的研究，教科书按定义

判定

性质的思路展开．在每一环节中，都注意通过问题引导学生构建具体的研究思路，体会研究图形的位置关系，就是对它们的组成元素之间位置关系的研究．例如，对于两个平面平行的判定的研究，教科书提出了这样一些问题：

类似于研究直线与平面平行的判定，要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题．

如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行．

如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？

有没有更简便的方法？

如果一个平面内两条相交直线或两条平行直线（它们都可以确定一个平面）都和另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？

两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面．为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能用两条平行直线呢？

你能从向量的角度解释吗？

上述层层递进的问题，从要解决的问题出发（平面与平面平行），联系以往的学习经验（直线与平面平行），联系确定一个平面的要素（相交直线或平行直线），联系平面向量的知识（平面向量基本定理），既体现了研究平面与平面平行这一问题的研究过程，也有得到判定定理之后的反思，体现了研究图形位置关系的一般思路和方法，有利于培养学生发现和提出问题的能力．

4．循序渐进地安排推理训练，发展逻辑推理素养

《标准（2021年版）》指出，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：

一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；

一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章是培养学生逻辑推理素养的很好的载体，教科书在编写时也充分注意到了这一点．

在本章，教科书采用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法认识和探索空间图形的性质．例如，通过对实物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括，帮助学生认识空间几何体的结构特征；

通过对图形的观察和实验，发现和提出描述直线、平面之间平行、垂直关系的命题，并逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，引导学生直观解释命题的含义和证明思路，并能证明其中一些命题．这些过程，都蕴含了丰富的逻辑推理．

教科书对于逻辑推理的安排是循序渐进的．首先，对于几何体的认识，在描述几何体的结构特征时，出现的直线与直线平行、直线与平面垂直、平面与平面平行等，更多地依赖于直观感知，不做严格的定义和推理论证的要求；

接下来，在利用平面的基本性质作判断（包括三个推论的推导），在以长方体为主要载体，通过对图形进行观察、操作、实验，发现直线、平面之间的位置关系，发现直线、平面平行和垂直的判定方法和性质时，要适当地进行逻辑推理训练；

在利用相关结论证明直线、平面之间平行、垂直的性质时，在利用基本事实、定义、判定定理、性质定理解决空间图形问题时，要求进行严格的证明．这种处理，使得对于逻辑推理的要求逐步实现，降低了学生证明立体几何问题的难点，更有利于学生逻辑推理素养的培养．

5．重视几何语言的培养和训练，帮助学生有逻辑地思考和表达

正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件．图形是从实物和模型抽象后的产物，也是形象、直观的语言；

文字语言是对图形的描述、解释与讨论；

符号语言则是对文字语言的简化．显然，首先建立的是图形语言，然后引入文字语言和符号语言，最后形成三种数学语言的综合运用．如果学生对三种语言的运用达到了融会贯通的程度，就基本掌握描述几何对象的方法了．

在本章，三种语言的协同训练也是教科书编写的一个特点．我们知道，由文字、符号语言想象出图形（物体）的能力是一种建构和认识（物体）表象的能力，是直观想象的重要组成部分，三种语言的综合运用和转化也是学生进行逻辑推理的基础．另外，由于本章表示点、直线、平面的位置关系时引入了集合语言，学生会感到不适应，因此加强三种语言的协同训练，有意识地引导学生养成同时使用三种语言的习惯尤为必要．

在本章，教科书特别注意“实物模型

图形

文字

符号”这个抽象过程．无论是对空间几何体的认识，平面的三个基本事实的抽象，还是相关定义、判定和性质定理的得出，教科书都是首先强调实物原型的作用，让学生从实物原型中抽象出几何图形．其次，教科书重视图形语言的作用，对于图形的文字和符号描述，都是紧密联系图形，发挥图形直观的作用，在图形基础上发展其他数学语言．

本章教科书除了重视“实物模型

符号”的转化过程外，也重视相反的教学过程，即“符号

图形”的教学过程，让学生先理解符号或文字所表达的图形及关系，并把它们用图形直观表示出来，化“无形”为“有形”．本章注意安排了一些这样的练习、习题．教学中要重视这些方面的训练，使学生能较快掌握三种语言的运用和相互转化，从而更好地掌握所研究的几何图形，也为更好地进行逻辑推理打下基础．

6．重视平面三个基本事实的作用，帮助学生理解平面基本特征

“平面”是立体几何中一个只描述不定义的基本概念，贯穿于立体几何的始终．从数学发展的角度来看，将平面作为一个不加定义的基本概念，是数学家长期地尝试如何更本质地描述和理解这个概念的结果．从教学的角度看，把它作为教学的起点并不容易理解．实际上，对平面的本质特征的认识浓缩在刻画平面的三个基本事实里．对于这三个基本事实的理解，也有益于培养学生直观想象素养．

教科书在处理“平面”这部分内容时，不仅注意其在研究空间图形、位置关系及进行逻辑推理的基础作用，也注意三个基本事实在刻画平面的“平”和“无限延展”这些本质特征中的作用．实际上，基本事实1“过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”提供了确定一个平面的方法，这里的确定，是确定平面在空间所处的位置．基本事实2“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是用点、直线与平面的关系对平面进行刻画，用直线的“直”说明平面的“平”，用直线的“无限延伸”说明平面的“无限延展”．结合基本事实1，2，可以由给定的不在一条直线上的三点构造三条直线，再由这些直线编织一个“直线网”，也就形成了一个平面，也就是开始三点确定的平面，进而由这些直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明平面的“平”和“无限延展”．基本事实3“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线”，是通过两个平面相交成直线来反映平面的“平”和平面的“无限伸展”这一属性的．

在本章，我们利用点、直线、平面这些基本概念之间的关系来刻画平面的基本特征．实际上，这种思想方法学生之前也接触过，在初中，我们就是通过一些基本事实，利用点、直线之间的关系来刻画直线这一基本概念的．为了加深这种理解，教科书在本节拓广探索题目安排了这样的一个习题，让学生回顾初中刻画直线的基本事实，体会这些基本概念之间的联系．

和以前的教科书不同，这次教科书对三个基本事实的顺序进行了调整，即把以往教科书的公理1和2对调了．这样处理，基本事实1首先是“三点确定一个平面”，是平面的存在性，接下来基本事实2和3是对平面的进一步刻画．另外，基本事实1描述的是点与平面位置关系，基本事实2描述的直线与平面位置关系（直线在平面上），基本事实3描述的是平面与平面位置关系（相交），这也按照从简单到复杂，从点、到直线、到平面，从它们的关系的角度对平面进行了刻画．因此，这是一个更符合认知逻辑的顺序，也与希尔伯特的公理体系的顺序是一致的．

在立体几何的研究中，关注确定图形的组成要素和特殊的位置往往是考虑问题的出发点．例如我们可以把直线和平面垂直转化为直线和平面上的两条相交直线垂直，而两条相交直线确定一个平面正是实现这种转化的条件．这就需要对确定平面的基本要素有所理解．在确定平面的要素中，除了三个基本事实以外，还有它们的三个推论，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面．教科书也将这三个推论在正文给出，并通过说理进行了证明，以更好地体现它们