【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)·(a1+a3+a5)的值等于________.
【解析】 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,①
再令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,②
①+②得a0+a2+a4=16,
①-②得a1+a3+a5=-16,
故(a0+a2+a4)·(a1+a3+a5)的值等于-256.
【答案】 -256
14.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是________.【97270069】
【解析】 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共A=20种排法,因为=,=,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是20-2=18.
【答案】 18
15.某市工商局于2016年3月份,对全市流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示,某种刚进入市场的X饮料的合格率为80%,现有甲、乙、丙3人聚会,选用6瓶X饮料,并限定每人喝2瓶.则甲喝2瓶合格的X饮料的概率是________.
【解析】 “第一瓶X饮料合格”为事件A1,“第二瓶X饮料合格”为事件A2,P(A1)=P(A2)=0.8,A1与A2是相互独立事件,则“甲喝2瓶X饮料”都合格就是事件A1,A2同时发生,根据相互独立事件的概率乘法公式得:
P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=0.8×0.8=0.64.
【答案】 0.64
16.某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的.则3个景区都有部门选择的概率是________.
【解析】 根据题意,每个部门都有3种情况可选,则4个部门选择3个景区有34=81种不同的选法,记“3个景区都有部门选择”为事件A,如果3个景区都有部门选择,则某一个景区必须有2个部门选择,其余2个景区各有1个部门选择,分2步分析:
(1)从4个部门中任选2个作为1组,另外2个部门各作为1组,共3组,共有C=6种分法;
(2)每组选择不同的景区,共有A=6种选法.
所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6=36种.则P(A)==.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2016·河南周口)在二项式n的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.
【解】 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1,,n(n-1),∴2·=1+n(n-1),
解得n=8或n=1(不合题意,舍去),
∴Tk+1=Cxk=C2-kx4-k,
当4-k∈Z时,Tk+1为有理项.
∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0,4,8符合要求.
故有理项有3项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.
∵n=8,∴展开式中共9项.
中间一项即第5项的二项式系数最大,则为T5=x.
18.(本小题满分12分)某班从6名班干部中(其中男生4人,女生2人),任选3人参加学校的义务劳动.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
【解】
(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,依题意,得
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,
则P(C)===,
∴所求概率为P()=1-P(C)=1-=.
(3)P(B)===,P(A)==,P(AB)==,
P(B|A)==.
19.(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:
千元)与月储蓄yi(单位:
千元)的数据资料,算得i=80,i=20,iyi=184,=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:
线性回归方程=x+中,b=,=-,其中,为样本平均值.
【解】
(1)由题意知n=10,=i==8,
=i==2,
又lxx=-n2=720-10×82=80,
lxy=iyi-n=184-10×8×2=24,
由此得===0.3,=-=2-0.3×8=-0.4.
故所求线性回归方程为y=0.3x-0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.3>0),故x与y之间是正相关.
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
20.(本小题满分12分)(2015·北京高考)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:
天)记录如下:
A组:
10,11,12,13,14,15,16;
B组:
12,13,15,16,17,14,a.
假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;
(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?
(结论不要求证明)
【解】 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,
事件Bi为“乙是B组的第i个人”,i=1,2,…,7.
由题意知P(Ai)=P(Bi)=,i=1,2,…,7.
(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5