复数的几何意义文档格式.docx
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即|Z|=|a+bi|=
4、复数的加法与减法的几何意义
加法的几何意义减法的几何意义
y
x
o
z1z2≠0时，z1+z2对应的向量是以OZ1、OZ2、为邻边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ，z2-z1对应的向量是Z1Z2
5、复数乘法与除法的几何意义
z1=r1（cosθ1+isinθ1）z2=r2（cosθ2+isinθ2）
①乘法：
z=z1·
z2=r1·
r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]
如图：
其对应的向量分别为
显然积对应的辐角是θ1+θ2
<
1>
若θ2>
0则由
逆时针旋转θ2角模变为
的r2倍所得向量便是积z1·
z2=z的向量
。
2>
若θ2<
0则由向量
顺时针旋转
角模变为r1·
r2所得向量便是积z1·
为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·
z2=zaz对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法
（其中z2≠0）
除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
<
二、综合应用
例1
例2、满足3<
|z|<
5（z∈C）的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
解：
设z=x+yi（x,y∈R）
图形:
以原点为圆心,半径3至5的圆环内
例3．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
解:
法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=
，∴argZ∈[0,
]∪[
π,2π）
法二:
用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,y∈R）
则由|Z-2|≤1得（x-2）2+y2≤1,
∴|Z|=
≤
=
∵（x-2）2+y2≤1,∴（x-2）2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.
例4．复数Z满足arg（Z+3）=
π,求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:
由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
解法一:
由arg（Z+3）=
π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=
π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|（z+3）-（-3）|+|（Z+3）-（3+3i）|
将B（-3,0）与C（3,3）连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
∴所求最小值=3
.
π,知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，
∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P（-6,0）和点Q（0,3）距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
∴所求最小值=3
例5．若
与
分别表示复数Z1=1+2
i,Z2=7+
i,求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.
欲求∠Z2OZ1，可计算
∴∠Z2OZ1=
且
，
由余弦定理，设|OZ1|=k,|OZ2|=2k（k>
0）|Z1Z2|2=k2+（2k）2-2k·
2k·
cos
=3k2
∴|Z1Z2|=
k,
而k2+（
k）2=（2k）2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°
的直角三角形.
例6．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）和B（0,8）关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
如图，建立复平面x0y，设向量
、
对应复数分别为
x1+y1i,x2+y2i.
由对称性，|OA'
|=|OA|=1,|OB'
|=|OB|=8,
∴x2+y2i=（x1+y1i）8i=-8y1+8x1i
∴
设抛物线方程为y2=2px（p>
0）则有y12=2px1,y22=2px2,
∴x1=
y12=p2,又|OA'
|=1，
∴（
）2+p2=1, ∴p=
或-
（舍）
∴抛物线方程为y2=
x，直线方程为:
y=
x.
例7：
设M是单位圆周x2+y2=1上的动点，点N与定点A（2,0）和点M构成一个等边三角形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。
设M、N、A对应的复数依次为：
那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到
用复数运算来实现这个变换就是
但
故
整理得
即
例8、设复平面上的点A.B.C对应的复数分别为z1,z2,z3,已知|z1|=1,z2=z1z,z3=z2z,其中z=3/2（1+√3i）,求四边形OABC的面积。
（SOABC=SAOB+SBOC
=15√3/2）
例9：
已知︱z︱=2,arg（z+2）=π/3求：
（1）求虚数z
（2）在复平面内，把复数z3对应的向量OP绕原点O按顺时针旋转π/3，求所得向量对应的复数
解
（1）如图，设虚数z对应的向量OA，2对应的点为C，由加法的几何意义可得以OC，OA为邻边作平行四边OABC，则OB对应的复数为z+2，∠COB=π/3,|OA|=|BC|=|OC|=2,∴∠AOB=∠OBC=∠BOC=π/3
∴∠COA=2π/3
∴z=2（cos2π/3+isin2π/3）=-1+√3i
（2）z3=（-1+√3i）3=8（cos2π+isin2π）
故由乘法的几何意义得
8（cos2π+isin2π）
[cos（-2π/3）+isin（-2π/3）]
=8（cos5π/3+sin5π/3）
=4-4√3i
例10．已知|z|=1,且z5+z=1,求z。
[思路分析]：
复数的概念，运算都有几何意义，由z5+z=1，若设z5,z,1对应点为A，B，C则四边形OACB为平行四边形。
解：
设z5,z,1在复平面上对应点分别为A，B，C，则由z5+z=1，可知，四边形OACB为平行四边形，
又∵|z5|=|z|5=1=|z|
OACB为边长为1的菱形且∠AOB=120°
，∴易求得：
z=
+
i或z=
-
i。
可以验证当z=
±
i时，z5=
i符合题意。
思考题：
（1）已知非零复数z1,z2分别对应于复平面上的点A,B，且
Z12-√3z1z2+z22=0，则三角形AOB是（）
（A）等腰三角形（B）等边三角形
（C）直角三角形（D）等腰直角三角形
（2）复平面上点Z1对应的复数是-1+√3i，将向量OZ1绕原点O顺时针旋转5π/6，得向量OZ2，则向量Z1Z2对应的复数的三角形式为——
（3）两个非零复数Z1Z2对应的向量OZ1⊥OZ2的充要条件是——
（4）非零复数满足|z1+z2|=|z1-z2|,u=（z1/z2）2,则（）
（A）u＞0（B）u＜0（C）u=0（D）以上都有可能
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