二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．（本小题满分14分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
16．（本小题满分14分）等比数列{an}中，已知a2＝2，a5＝16.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）若等差数列{bn}，b1＝a5，b8＝a2，求数列{bn}前n项和Sn，并求Sn的最大值．
17．（本小题满分14分）
（1）已知不等式的解集为求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为,求的取值范围．
18．（本小题满分16分）某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．
（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
（2）依照
（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据供计算时参考：
1.19≈2.36
1.00499≈1.04
1.110≈2.59
1.004910≈1.05
1.111≈2.85
1.004911≈1.06
19．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝
（a、b为常数），且方程f（x）－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式f（x）＜
.
20.（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，n∈N*，其中常数p>2.
（1）证明：
数列{an＋1}为等比数列；
（2）若a2＝3，求数列{an}的通项公式；
（3）对于
（2）中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2（an＋1）（n∈N*），在bk与bk＋1之间插入2k－1
（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：
是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2013？
如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答题纸
一填空题：
1．2．3．4．5．
6．7．8．9．10．
11．12．13．14．
15题：
班级姓名学号
姓名
学号
16题
17题：
18题：
19题
20题：
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题（理科加试）
21．（本小题满分10分）已知数列的通项公式，如果，
求数列的前项和。
班级姓名学号
22．（本小题满分10分）已知矩阵,向量.
（Ⅰ）求的特征值、和特征向量、；（Ⅱ）计算的值.
23．（本小题满分10分）矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：
x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：
，求a，b的值．
24.（本小题满分10分）已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列.（Ⅰ）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;（Ⅱ）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.
xx年如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答案
1．，2、，3、99，4、
－
－
，
5．，6．17、-3,8．,9．（－∞，－2）∪（3，＋∞） ,
10．xx,11．-3，12．,13．
14．①③④
15．解：
（1）由，得．……6分
（2）．……8分
由，得，……10分
又，所以，即的取值范围是．……14分
16.解
（1）由a2＝2，a5＝16，得q＝2，解得a1＝1，
从而an＝2n－1.……6分
（2）由已知得b1＝16，b8＝2，又b8＝b1＋（8－1）d，解得d＝－2，
所以Sn＝nb1＋
d＝16n＋
（－2）
＝－n2＋17n，……10分
由于Sn＝－
2＋
，n∈N*，
所以Sn的最大值为S8＝S9＝72.……14分
17.解
（1）不等式的解集为……7分
（2）为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
，即，解得：
的取值范围为……10分
又当适合，综上所述：
2≤m＜6……12分
当不等式的解集为时，
m≥或m＜2……14分
18.解
（1）10年后学生人数为b（1＋4.9‰）10＝1.05b.……2分
又设今年起学校的合格实验设备为数列
，
则a1＝1.1a－x，an＋1＝1.1an－x，（*）
令an＋1＋λ＝1.1（an＋λ），则an＋1＝1.1an＋0.1λ，与（*）式比较知λ＝－10x，
故数列
是首项为1.1a－11x，公比为1.1的等比数列，
所以an－10x＝（1.1a－11x）·1.1n－1，……6分
an＝10x＋（1.1a－11x）·1.1n－1.……8分
a10＝10x＋（1.1a－11x）·1.19≈2.6a－16x.
由题设得
＝2×
，解得x＝
a.……11分
即每年更换旧设备为
a套．……12分
（2）全部更换旧设备需
a÷
＝16年．……15分
即按此速度全部更换旧设备需16年．……16分
19.解
（1）将x1＝3，x2＝4分别代入方程
－x＋12＝0，
得
解得
……7分
所以f（x）＝
（x≠2）．……8分
（2）不等式即为
<
，可化为
<0，即（x－2）（x－1）（x－k）>0.……10分
①当1＜k＜2时，解集为x∈（1，k）∪（2，＋∞）；
②当k＝2时，不等式为（x－2）2（x－1）＞0，
解集为x∈（1,2）∪（2，＋∞）；
③当k＞2时，解集为x∈（1,2）∪（k，＋∞）．……16分
20.
（1）证明：
因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2（n＋1），所以2an＋1＝pan＋1－pan－2，
所以an＋1＝
an＋
，所以an＋1＋1＝
（an＋1），
因为2a1＝pa1－2，所以a1＝
>0，所以a1＋1>0，
所以
＝
≠0，所以数列{an＋1}为等比数列．……6分
（2）由
（1）知an＋1＝
n，所以an＝
n－1，
又因为a2＝3，所以
2－1＝3，所以p＝4或p＝
（舍去），所以an＝2n－1.……10分
（3）由
（2）得bn＝log22n，即bn＝n（n∈N*），数列{cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
（1＋2＋3＋…＋k）＋（20＋21＋22＋…＋2k－2）×2＝
＋2k－2，
当k＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2013，
当k＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2013，
又因为2013－1077＝936＝468×2，是2的倍数，
所以当m＝10＋（1＋2＋22＋…＋28）＋468＝989时，Tm＝xx，
所以存在m＝989使得Tm＝2013.……16分
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题加试答案
21解．……10分
22.解（Ⅰ）矩阵的特征多项式为
得,
当,当. ……5分
（Ⅱ）由得
由
（2）得:
……10分
23．解：
（I）设矩阵M的逆矩阵，则
又，所以，
所以
故所求的逆矩阵……5分
（II）设曲线C上任意一点，
它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，
则
又点在曲线上，
所以,,
则为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为
又……10分
24．（Ⅰ）证明:
由a1,2a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.变形得（4q3+1）（q3-1）=0,所以q3=-或q3=1（舍去）由
==1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.……5分
（Ⅱ）解法:
Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n-2）,即Tn=a+2·（-）a+3·（-）2a+…+n·（-）n-1a.①
①×（-）3a得:
-Tn=-a+2·（-）2a+3·（-）3a+…+n·（-）na②
①-②有：
Tn=a+（-）a+（-）2a+（-）3a+…（-）n-1a-n·（-）na=-n·（-）na
=a-（+n）·（-）na.所以Tn=·（-）na.……10分
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