二、解答题(本大题共6小题,计90分)
15.(本小题满分14分)记关于的不等式的解集为,不等式的解集为.
(1)若,求;
(2)若,求正数的取值范围.
16.(本小题满分14分)等比数列{an}中,已知a2=2,a5=16.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)若等差数列{bn},b1=a5,b8=a2,求数列{bn}前n项和Sn,并求Sn的最大值.
17.(本小题满分14分)
(1)已知不等式的解集为求不等式的解集.
(2)若不等式的解集为,求的取值范围.
18.(本小题满分16分)某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年换掉x套的旧设备.
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照
(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?
下列数据供计算时参考:
1.19≈2.36
1.00499≈1.04
1.110≈2.59
1.004910≈1.05
1.111≈2.85
1.004911≈1.06
19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=
(a、b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4;
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<
.
20.(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=pan-2n,n∈N*,其中常数p>2.
(1)证明:
数列{an+1}为等比数列;
(2)若a2=3,求数列{an}的通项公式;
(3)对于
(2)中数列{an},若数列{bn}满足bn=log2(an+1)(n∈N*),在bk与bk+1之间插入2k-1
(k∈N*)个2,得到一个新的数列{cn},试问:
是否存在正整数m,使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013?
如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由.
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答题纸
一填空题:
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
15题:
班级姓名学号
姓名
学号
16题
17题:
18题:
19题
20题:
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题(理科加试)
21.(本小题满分10分)已知数列的通项公式,如果,
求数列的前项和。
班级姓名学号
22.(本小题满分10分)已知矩阵,向量.
(Ⅰ)求的特征值、和特征向量、;(Ⅱ)计算的值.
23.(本小题满分10分)矩阵与变换设矩阵(其中a>0,b>0).
(I)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;(II)若曲线C:
x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’:
,求a,b的值.
24.(本小题满分10分)已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列.(Ⅰ)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;(Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.
xx年如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答案
1.,2、,3、99,4、
-
-
,
5.,6.17、-3,8.,9.(-∞,-2)∪(3,+∞) ,
10.xx,11.-3,12.,13.
14.①③④
15.解:
(1)由,得.……6分
(2).……8分
由,得,……10分
又,所以,即的取值范围是.……14分
16.解
(1)由a2=2,a5=16,得q=2,解得a1=1,
从而an=2n-1.……6分
(2)由已知得b1=16,b8=2,又b8=b1+(8-1)d,解得d=-2,
所以Sn=nb1+
d=16n+
(-2)
=-n2+17n,……10分
由于Sn=-
2+
,n∈N*,
所以Sn的最大值为S8=S9=72.……14分
17.解
(1)不等式的解集为……7分
(2)为二次函数,
二次函数的值恒大于零,即的解集为.
,即,解得:
的取值范围为……10分
又当适合,综上所述:
2≤m<6……12分
当不等式的解集为时,
m≥或m<2……14分
18.解
(1)10年后学生人数为b(1+4.9‰)10=1.05b.……2分
又设今年起学校的合格实验设备为数列
,
则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x,(*)
令an+1+λ=1.1(an+λ),则an+1=1.1an+0.1λ,与(*)式比较知λ=-10x,
故数列
是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,
所以an-10x=(1.1a-11x)·1.1n-1,……6分
an=10x+(1.1a-11x)·1.1n-1.……8分
a10=10x+(1.1a-11x)·1.19≈2.6a-16x.
由题设得
=2×
,解得x=
a.……11分
即每年更换旧设备为
a套.……12分
(2)全部更换旧设备需
a÷
=16年.……15分
即按此速度全部更换旧设备需16年.……16分
19.解
(1)将x1=3,x2=4分别代入方程
-x+12=0,
得
解得
……7分
所以f(x)=
(x≠2).……8分
(2)不等式即为
<
,可化为
<0,即(x-2)(x-1)(x-k)>0.……10分
①当1<k<2时,解集为x∈(1,k)∪(2,+∞);
②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,
解集为x∈(1,2)∪(2,+∞);
③当k>2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).……16分
20.
(1)证明:
因为2Sn=pan-2n,所以2Sn+1=pan+1-2(n+1),所以2an+1=pan+1-pan-2,
所以an+1=
an+
,所以an+1+1=
(an+1),
因为2a1=pa1-2,所以a1=
>0,所以a1+1>0,
所以
=
≠0,所以数列{an+1}为等比数列.……6分
(2)由
(1)知an+1=
n,所以an=
n-1,
又因为a2=3,所以
2-1=3,所以p=4或p=
(舍去),所以an=2n-1.……10分
(3)由
(2)得bn=log22n,即bn=n(n∈N*),数列{cn}中,bk(含bk项)前的所有项的和是:
(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)×2=
+2k-2,
当k=10时,其和是55+210-2=1077<2013,
当k=11时,其和是66+211-2=2112>2013,
又因为2013-1077=936=468×2,是2的倍数,
所以当m=10+(1+2+22+…+28)+468=989时,Tm=xx,
所以存在m=989使得Tm=2013.……16分
如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题加试答案
21解.……10分
22.解(Ⅰ)矩阵的特征多项式为
得,
当,当. ……5分
(Ⅱ)由得
由
(2)得:
……10分
23.解:
(I)设矩阵M的逆矩阵,则
又,所以,
所以
故所求的逆矩阵……5分
(II)设曲线C上任意一点,
它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点,
则
又点在曲线上,
所以,,
则为曲线C的方程,
又已知曲线C的方程为
又……10分
24.(Ⅰ)证明:
由a1,2a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由
==1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.……5分
(Ⅱ)解法:
Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3(n-2),即Tn=a+2·(-)a+3·(-)2a+…+n·(-)n-1a.①
①×(-)3a得:
-Tn=-a+2·(-)2a+3·(-)3a+…+n·(-)na②
①-②有:
Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+…(-)n-1a-n·(-)na=-n·(-)na
=a-(+n)·(-)na.所以Tn=·(-)na.……10分