二项式定理Word文档下载推荐.docx
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一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。
请问：
⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法?
⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色,则有
多少种不同的着色方法?
⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有种着色方法.
⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;
其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;
因此满足条件的着色方法共有种着色方法.
d
a
第一类：
从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；
根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法
变式训练3：
某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．
用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×
（3＋3）×
3＝36种．
例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点a向结点b传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（）
3512
b46a
67612
8
要完成的这件事是：
“从a向b传递信息”，完成这件事有4类办法：
1253
第二类：
1264
第三类：
1267
第四类；
：
1286
可见：
第一类中单位时间传递的最大信息量是3；
第二类单位时间传递的最大信息量是4；
第三类单位时间传递的最大信息量是6；
第四类单位时间传递的最大信息量是6。
所以由分类记数原理知道共有：
3+4+6+6=19，故选d
变式训练4：
7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？
首先要清楚：
“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。
于是，我们采用“隔板法”来解决。
在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。
即有=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。
所以共有20种放球放法。
注；
（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；
大家可以试一试。
（2）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用
两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．
第2课时排列
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列的定义包含两个基本内容：
一是“取出元素”；
二是“按照一定顺序排列”．因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．
2．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号amn表示．排列数公式amn＝．
这里m≤n，其中等式的右边是个连续的自然数相乘，最大的是，最小的是．
3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用表示．
4．解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法．
5．排列问题常用框图来处理．
例1、
（1）元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？
（2）同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？
（3）（06湖南理14）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？
（1）分类：
9种
（3）将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有＝20种
有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分,将这9个球排成一列有____种不同的方法.
9个球排成一列有种排法,再除去2红、3黄、4白的顺序即可,
故共有排法种。
答案:
1260
例2．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数
（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．
（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．
（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．
（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．
（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有
种．
（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．
（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种．
（8）甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有种．
（9）甲乙之间有且只有4人的排法有种．
（1）8！
8×
8！
（2）2×
6×
7！
（3）×
9！
×
1,×
2×
（4）×
7!
＋7×
7×
（5）2×
5！
×
4！
（6）5！
5！
2
（7）9！
－2×
2＋2×
3×
6！
×
（8）9！
－×
（9）捆绑法．2×
也可用枚举法2×
4×
从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
5．
例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数
分两类．
①类5在千位上：
1×
5×
＝280
②类4或6在千位上：
＝448
故有280＋448＝728个
3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）
若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×
2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×
3×
2＋1×
2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个
例4.
（1）从6名短跑运动员中选4人参加4×
100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？
（2）一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？
（1）①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5×
＝300种②60对．
某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．
96
1．解排列应用问题首先必须认真分析题意．看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等）
2．解有约束条件的排列问题的几种策略．
a.特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况，见例1）
b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理
3．解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法．
4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．
第3课时组合
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
组合数公式＝＝
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式＝，它的分子是，分母是与的积．
3．组合数性质：
①
②
③
④
⑤
例1.某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
（1）如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
（2）如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
（3）如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
（4）如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
解；
（1）＝286
（2）＝1430（3）＝1287
（4）－＝1716
从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（）
a．140b．120
例2.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有（）
没有女生的选法有,至少有1名女生的选法有种,
所以选派方案总共有：
31×
=186种。
故选b.
从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）
a．210种b．420种
b
例3.
（1）把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
（3）一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
（1）先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有＝15种，
（2）平行六面体中能构成三角形个数＝56为任取两个有种情况，其中共面的有12，因而不共面的有—12种（3）
马路上有编号为1，2，3，4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
20用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有种关灯方法．
例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
（1）在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
（2）在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．
（1）四个点共面的取法可分三类．第一类：
再同一个面上取，共有4个面；
第二类：
在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；
第三类：
在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有＝3个面．故有69种．
（2）用间接法．共＝141个面．
在1，2，3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．
（1）其和是3的倍数
（2）其差是3的倍数（大数减小数）.
（3）相加，共有多少个不同的和.
（4）相乘，使其积为7的倍数.
（1）1650
（2）1617（3）197（4）1295
1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．
2．要注意准确理解“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义．
3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。
4．避免重复和遗漏．
第4课时排列组合综合题
1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、枚举法、隔板法、对称法；
常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.
2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则
（1）按元素性质进行分类
（2）按事情发生的过程进行分步.
3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取（选）后排，但有时也可以边取（选）边排.
4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.
例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；
（3）甲、乙必须在两端；
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（5）甲、乙不在两端；
（6）甲在乙前；
（7）甲在乙前，并且乙在丙前；
（8）甲、乙相邻；
（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
（10）甲、乙、丙不全相邻
解析：
（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；
首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：
=24种
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：
=6种
（3）首先排两端有种，再排中间有种，
所以甲、乙必须在两端排法种数为：
=12种
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：
－2+=78种
（5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，
所以甲、乙不在两端排法种数为×
=36种
（6）因为甲、乙共有2！
种顺序，所以甲在乙前排法种数为：
÷
2！
=60种
（7）因为甲、乙、丙共有3！
种顺序，
所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：
3！
=20种
（8）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为×
=48种
（9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为×
（10）因为甲、乙、丙相邻有×
，
所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×
=84种
某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有（）
a．45种b．36种
例2.
（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
（2）5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？
第一为甲丙都去，第二类不去共有种
（2）分类：
第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种
某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是（）
a．504b．210
a＝504故选a
设直线的倾斜角为，并且为锐角。
则tan=－＞0,不妨设a＞b,那么b＜0
故符合条件的直线有7+36=43条
将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.
例4.从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
某赛季足球比赛中的计分规则是：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？
设该队胜负平的情况是：
胜x场，负y场，则平15－（x＋y）场，依题意有：
x≥9。
故有3种情况，即胜、负、平的场数是：
9，0，6；
10，2，3；
11，4，0．
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.
2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.
3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
第5课时二项式定理
1．（a＋b）n＝（n∈n），这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用tr＋1表示，即通项公式tr＋1＝是表示展开式的第r＋1项．
2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
①在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：
第项的二项式系数最大，为；
当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第项及每项，它们的二项式系数最大，为
③二项式系数的和等于—————————，即————————————
④二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝即
⑤展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
3．二项式定理主要有以下应用
①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）
注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④杨辉三角形
例1.
（1）（06湖南理11）若（ax－1）5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是．
（2）（06湖北文8）在的展开式中，x的幂指数是整数的有项．
（3）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+……+（1+x）6展开式中x2项的系数为．
（1）－2
（2）5项（3）35
若多项式,则（）
根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴故选d。
例2.已知f（x）＝（1+x）m+（1+x）n，其中m、n∈n展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？
最小值是多少？
由题意，则含x3项的系数为＋
，当n＝5或6时x3系数取得最小值为30
分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是（）
第三项,第五项的系数分别为,
依据题意有：
整理得
即解方程（n－10）（n＋5）＝0
则只有n=10适合题意.由,
当时,有r=8,
故常数项为=45故选d
例3.若求（）+（）+……+（）
对于式子：
令x=0，便得到：
=1
令x=1，得到=1
又原式：
（）+（）+……+（）
=
∴原式：
（）+（）+……+（）=2004
注意：
“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系
若，则
的值是（）
a．b．1
例4.已知二项式，（n∈n）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：
1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为（1-2）=1
（2）展开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤并且≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为t=1792；
二项式系数最大的项为t=1120
①已知（）n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:
3，求展开式中不含x的项.
②求（x－1）－（x－1）2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1）5的展开式中x2项的系数.
1．注意（a＋b）n及（a－b）n展开式中，通项公式分别为及这里且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的
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