应用随机过程学习心得Word下载.docx
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1,n（3）?
（3）.p{n
（1）?
2n
（1）?
1}.
2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.
（1）．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；
（2）.在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？
3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：
00开门，试求：
（1）.在开门半小时中，无顾客到来的概率；
（2）.若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
4、设有一泊松过程{n（t）,t?
0}，若有两个时刻s,t，且s?
t，试证明k?
s?
p{n（s）?
kn（t）?
n}?
cn?
k?
1?
n?
k，k?
0,1,,n.
5、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为?
.若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行，试计算：
（1）．此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率；
（2）．至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行
的概率.
第四章：
1.更新过程、更新方程及其解得存在唯一性
2.wald等式
3.更新定理及其在概率计算中的应用
n121、设p{xi?
1}?
p{xi?
2}?
，令Tn?
xi,n?
1.对于更新过程33i?
1
n（t）?
sup{n:
Tn?
t}，计算n
（1）和n
（2）的概率分布.
2、某控制器用一节电池供电，设电池寿命xi（i?
1,2,?
）服从（30,60）（单位：
h）内的均匀分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间Yi（i?
）服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工作时控制器更换电池的速率.
3、设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为20（人/小时）的poisson分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为2（分钟/人）的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来.试求：
（1）.顾客进银行的速率；
（2）.服务员工作的时间所占营业时间的比例.
第五章：
1.markov链的定义，转移概率矩阵，c-K方程
2.状态的周期，常返态、非常返态的定义及判别（定理5.2.3，推论5.3.3，5.3.4）
3.极限定理及平稳分布
1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨明天也下雨的概率为0.7，而今天无雨明天有雨的概率为0.4，计算星期一有雨，星期四天仍有雨的概率.
2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：
滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。
若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移概率矩阵为：
0?
1/21/2?
1/31/95/9?
?
1/62/31/6?
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
3、一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。
写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
4、设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：
e1、e2，经计算得一阶转移概率矩阵为
0.79p
（1）?
0.59?
0.21?
，求证该链具有遍历性，并求出极限分布。
0.41?
5、设I?
{1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵为
1/21/20?
00?
01/32/3?
1/201/20?
0?
试对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期.
6、设齐次markov链的转移概率矩阵为
q?
q
p0q0?
p?
，p?
1，0?
1，
p?
证明：
此markov链有遍历性，并求其平稳分布.
第六章
1.鞅及停时的定义
2.鞅的证明
1、设x1,x2,?
是一族零均值的独立随机变量序列，且e（xi）?
，sn?
x
i?
1i，证明：
sn?
是关于{Fn}的鞅.
2、证明brown运动是鞅.
第七章
1.brown运动的定义及相关概率计算
2.gauss过程及相关概率计算
3.brown的最大值变量及反正弦律
1、设{b（t）,t?
0}是标准brown运动，计算p{b
（1）?
0,b
（2）?
0}.
2、设{b（t）,t?
0}是标准brown运动，计算b
（1）?
2b
（2）?
3b（3）的分布.
3、设{b（t）,t?
0}是标准brown运动，计算p{b（t）dt?
12.
第八章
考试范围：
p157性质8.2.1第二条，伊藤公式
篇二：
应用随机过程
一、随机过程简介
随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳（wiener，美国数学家，控制论的创始人）、莱维（Levy，法国数学家）等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫（markov）研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）和杜布（Doob）奠定的。
柯尔莫哥洛夫
1903年4月25日，柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯的坦博夫城。
他的父亲在1919年去世。
他的母亲出身于贵族家庭，在他出生后10天去世。
他只好由二位姨妈抚育和指导学习。
他5、6岁时就归纳出了“l＝1^2，1+3＝2^2，1+3+5=3^2，1+3+5+7＝4^2．…”这一数学规律。
14岁时他就开始自学高等数学，1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，大学三年级时就发表了论文。
1925年大学毕业后，当研究生。
1929年研究生毕业后，担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。
1935年获得苏联首批博士学位。
1931年起他担任莫斯科大学教授，并指导研究生。
1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室，先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。
1939年当选为原苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。
1954年担任莫斯科大学数学力学系主任。
1966年当选为原苏联教育科学院院士。
1987年10月20日在莫斯科逝世，享年84岁。
研究范围
他的研究范围广泛：
基础数学、数理逻辑、实变函数论、微分方程、概率论、数理统计、信息论、泛函分析力学、拓朴学……以及数学在物理、化学、生物、地质、
冶金、结晶学、人工神经网络中的广泛应用。
他创建了一些新的数学分支——信息算法论、概率算法论和语言统计学等。
荣誉奖项
由于他的卓越成就，他在国内外享有极高的声誉。
他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20多个科学院的外国院士，英国皇家学会外国会员，他是法国巴黎大学，波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。
1963年获国际巴尔桑奖，1975年获匈牙利奖章，1976年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章，1980年获世界最著名的沃尔夫奖。
在国内，1941年获国家奖，1951年获苏联科学院车贝雪夫奖，1963年获苏维埃英雄称号，1965年获列宁奖，1940年获劳动红旗勋章，1944—1979年获7枚列宁勋章、金星奖章及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章，1983年获十月革命勋章，1986年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。
杜布
杜布是美国数学家，1910年10月27日生于辛辛那提，20XX年6月7日卒于伊利诺伊。
杜布毕业于哈佛大学，1932年获博士学位。
他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士，伊利诺伊大学教授。
杜布的主要贡献是概率论。
他深入研究了随机过程理论，得出了任意的随机过程都具有可分修正，建立了随机函数理论的公理结构。
他是鞅论的奠基人，虽然莱维等人早在1935年发表了一些孕育着鞅论的工作，1939年莱维引进“鞅”（martingale）这个名称，但对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的，则应归功于杜布。
他还引进了半鞅的概念。
在鞅论中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布──迈耶上鞅分解定理等。
鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了概率论的内容，而且为其它数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具。
对马尔可夫过程，杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究。
一、随机过程的概念
二、poisson过程?
三、马尔可夫链
主要内容?
四、更新过程?
五、布朗运动?
六、鞅
4课时（1周）12课时（3周）24课时（6周）12课时（3周）12课时（3周）8课时（2周）
主要内容：
poisson过程、马尔可夫链、更新过程、布朗运动
问题：
随机变量的定义？
定义：
设（?
?
p）是概率空间，x是定义在?
上取值于实数集R的函数，如果
R,
{?
:
x（?
）?
x}?
，则称x是?
上的随机变量，简称为随机变量。
函数
称为随机变量x的分布函数。
F（x）?
p{?
x},
第一章随机过程的基本概念
一、随机过程的定义
例1：
医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，xn表示第n次登记的数字，得到一个序列x1，x2，·
·
，记为{xn，n=1,2,·
}，则xn是随机变量，而{xn，n=1,2,·
}是随机过程。
例2：
在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令xn表示第n次统计所得的值，则xn是随机变量。
为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{xn，n=1,2,·
}的统计规律性。
例3：
一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。
以x（t）记他t时刻在路上的位置，则{x（t）,t?
0}就是（直线上的）随机游动。
例4：
乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。
乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用x（t）表示t时刻的队长，用Y（t）表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则{x（t）,t?
T}和{Y（t）,t?
T}都是随机过程。
设给定参数集合T，若对每个t?
T,x（t）是概率空间（?
p）上的随机变量，则称{x（t）,t?
T}为随机过程，其中T为指标集或参数集。
xt（?
）:
e，e称为状态空间，即x（t）的所有可能状态构成的集合。
e为{0,1}例2：
e为[0,10]
e为{0,1,?
2,?
}例4：
e都为[0,
）
注：
（1）根据状态空间e的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T通常代表时间，当T取R,R,[a,b]时，称{x（t）,t?
T}为连续参数的随机过程；
当T取Z,Z时，称{x（t）,t?
T}为离散参数的随机过程。
（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。
+
二、有限维分布与Kolmogorov定理
随机过程的一维分布：
F（t,x）?
p{x（t）?
x}随
机
过
程
的
二
维
分
布
：
Ft1,t2（x1,x2）?
p{x（t1）?
x1,x（t2）?
x2},
t1,t2?
T
随机过程的n维分布：
Ft1,t2,?
tn（x1,x2,?
xn）?
x2,?
x（tn）?
xn},t1,t2,?
tn?
1、有限维分布族：
随机过程的所有一维分布，二维分布，…n维分布等的全体
{Ft1,t2,?
xn）,
t1,t2,?
T,n?
1}称为{x（t）,t?
T}的有限维分布族。
2、有限维分布族的性质：
（1）对称性：
对（1,2，…n）的任一排列（j1,j2,?
jn），有
Ftj
1
,tj
2
,?
tj
n
（xj1,xj2,?
xjn）?
Ft1,t2,?
xn）
（2）相容性：
对于m Ft1,?
tm,tm?
tn（x1,?
xm,?
Ft1,?
tm（x1,?
xm）
3、Kolmogorov定理定理：
设分布函数族{Ft
,t2,?
tn
（x1,x2,?
xn）,t1,t2,?
1}满足上述的对称
性和相容性，则必存在一个随机过程{x（t）,
t?
T}，使
1}恰好是{x（t）,t?
设{x（t）,t?
T}是一随机过程：
（1）称x（t）的期望?
x（t）?
e[x（t）]（如果存在）为过程的均值函数。
（2）如果?
T，e[x（t）]存在，则称随机过程{x（t）,t?
T}为二阶矩过程。
此时，称
函数?
（t1,t2）?
e[（x（t1）?
x（t1））（x（t2）?
x（t2））]，t1,t2?
T为过程的协方差函数；
称Var[x（t）]?
（t,t）为过程的方差函数；
称Rx（s,t）?
e[x（s）x（t）],s,t?
T为自相关函数。
例：
x0?
tV（a?
b），其中x0和V是相互独立的且均服从n（0,1）分布的随机变量，求?
x（t）和?
（t1,t2）。
三、随机过程的基本类型
独立增量过程：
如果对任意t1,t2,?
tn?
T,t1?
t2?
tn,随机变量x（t2）?
x（t1）?
x（tn）?
x（tn?
1）是相互独立的，则称{x（t）,t?
T}是独立增量过程。
平稳增量过程：
如果对任意t1,t2，有x（t1+h）-x（t1）dx（t2+h）-x（t2），则称{x（t）,t?
T}是平稳增量过程。
平稳独立增量过程：
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如poisson过程和brownianmotion
poisson过程2.1poisson过程
1.计数过程
随机过程{n（t）,
如果n（t）表示从0到t时刻某一特定事件At?
0}称为计数过程，
发生的次数，它具备以下两个特点：
（1）n（t）?
0且取值为整数；
（2）s?
t时，n（s）?
n（t）且n（t）?
n（s）表示（s,t]时间内事件A发生的次数。
2.poisson过程
定义2.1.1：
计数过程{n（t）,
（1）n（0）?
0;
（2）过程具有独立增量性；
（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为?
t的poisson分布，即对一
0}称为参数为?
（?
0）的poisson过程，如果
篇三：
《应用随机过程》第三章习题总结
3.正态过程的可加性；
9.维纳过程的平移不变性；
15.泊松过程的可加性；
泊松过程与复合泊松过程；
16.泊松过程的两个二项分布；
19.23.泊松过程的分解；
21.一些正态过程的性质，p45例题14；
方法：
8,
10,
13,14，
19，
21，
3,4,5,6维纳过程的几个不变性；
对于齐次poisson过程，有
即在n?
1的条件下，?
1为?
0,t?
上的均匀分布。
更一般的，有如下定理，st
定理：
设?
t?
为强度?
的齐次poisson过程，在n?
n的条件下，n个到达时刻?
n和n个相互独立同?
上均匀分布的随机变量u1,u2,?
un的顺序统计量u?
u?
有相同分布。
即在n?
n的条件下，?
1,?
的联合概率密度为：
n!
u1?
u2?
un?
tf?
u1,u2,?
un?
其他?
19
20
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