三角函数公式大全1Word格式.docx
《三角函数公式大全1Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数公式大全1Word格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
a）+（1-2sin&
a）sina
=3sina-4sin&
sup3;
a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos&
a-1）cosa-2（1-cos&
a）cosa
=4cos&
a-3cosa
sin3a=3sina-4sin&
=4sina（3/4-sin&
a）
=4sina[（√3/2）&
-sin&
a]
=4sina（sin&
60°
=4sina（sin60°
+sina）（sin60°
-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°
-a）/2]*2sin[（60°
-a）/2]cos[（60°
-a）/2]
=4sinasin（60°
+a）sin（60°
-a）
cos3a=4cos&
=4cosa（cos&
a-3/4）
=4cosa[cos&
a-（√3/2）&
]
a-cos&
30°
）
=4cosa（cosa+cos30°
）（cosa-cos30°
=4cosa*2cos[（a+30°
）/2]cos[（a-30°
）/2]*{-2sin[（a+30°
）/2]sin[（a-30°
）/2]}
=-4cosasin（a+30°
）sin（a-30°
=-4cosasin[90°
-（60°
-a）]sin[-90°
+（60°
+a）]
=-4cosacos（60°
-a）[-cos（60°
=4cosacos（60°
-a）cos（60°
+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°
-a）tan（60°
半角公式
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;
cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.
sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2
cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）
积化和差
sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
双曲函数
sinh（a）=[e^a-e^（-a）]/2
cosh（a）=[e^a+e^（-a）]/2
tanh（a）=sinh（a）/cosh（a）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）=sinα
cos（2kπ＋α）=cosα
tan（2kπ＋α）=tanα
cot（2kπ＋α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）=-sinα
cos（π＋α）=-cosα
tan（π＋α）=tanα
cot（π＋α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
（以上k∈Z）
A·
sin（ωt+θ）+B·
sin（ωt+φ）=
√{（A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}•sin{ωt+arcsin[（A•sinθ+B•sinφ）/√{A^2+B^2;
+2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限
万能公式
其它公式
（1）
（sinα）^2+（cosα）^2=1
（2）1+（tanα）^2=（secα）^2
（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可
（4）对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan（A+B）=tan（π-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）
sec（a）=1/cos（a）
[编辑本段]
内容规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
1、三角函数本质：
三角函数的本质来源于定义，如右图：
根据右图，有
sinθ=y/R;
cosθ=x/R;
tanθ=y/x;
cotθ=x/y。
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB为例：
推导：
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。
角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'
OD。
A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,A'
（cos（α-β）,sin（α-β））
OA'
=OA=OB=OD=1,D（1,0）
∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）
[1]
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；
实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图象中的三角形确保了这个公式；
半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
一,诱导公式
口诀:
（分子）奇变偶不变,符号看象限.
1.
sin
（α+k·
360）=sin
α
cos
360）=cos
tan
360）=tan
2.
sin（180°
+β）=-sinα
cos（180°
+β）=-cosa
3.
sin（-α）=-sina
cos（-a）=cosα
4*.
tan（180°
+α）=tanα
tan（-α）=tanα
5.
-α）=sinα
-α）=-cosα
6.
sin（360°
-α）=-sinα
cos（360°
-α）=cosα
7.
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
8*.
Sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
9*.
Sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+a）=-sinα
10*.sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
二,两角和与差的三角函数
两点距离公式
S（α+β）:
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
C（α+β）:
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
S（α-β）:
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
C（α-β）:
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
4.
T（α+β）:
T（α-β）:
5*.
三,二倍角公式
S2α:
sin2α=2sinαcosα
C2a:
cos2α=cos2α-sin2a
T2α:
tan2α=（2tanα）/（1-tan2α）
C2a'
:
cos2α=1-2sin2α
cos2α=2cos2α-1
四*,其它杂项（全部不可直接用）
1.辅助角公式
asinα+bcosα=sin（a+φ）,其中tanφ=b/a,其终边过点（a,
b）
asinα+bcosα=cos（a-φ）,其中tanφ=a/b,其终边过点（b,a）
2.降次,配方公式
降次:
sin2θ=（1-cos2θ）/2
cos2θ=（1+cos2θ）/2
配方
1±
sinθ=[sin（θ/2）±
cos（θ/2）]2
1+cosθ=2cos2（θ/2）
1-cosθ=2sin2（θ/2）
三倍角公式
sin3θ=3sinθ-4sin3θ
cos3θ=4cos3-3cosθ
万能公式
和差化积公式
sinα+sinβ=
书p45
例5
（2）
sinα-sinβ=
cosα+cosβ=
cosα-cosβ=
积化和差公式
sinαsinβ=1/2[sin（α+β）+sin（α-β）]
例5
（1）
cosαsinβ=1/2[sin（α+β）-sin（α-β）]
sinαsinβ-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]
cosαcosβ=1/2[cos（α+β）+cos（α-β）]
半角公式
例4
小计:
57个
另：
三角函数口诀
三角知识，自成体系，
记忆口诀，一二三四。
一个定义，三角函数，
两种制度，角度弧度。
三套公式，牢固记忆，
同角诱导，加法定理。
同角公式，八个三组，
平方关系，导数商数。
诱导公式，两类九组，
象限定号，偶同奇余。
两角和差，欲求正弦，
正余余正，符号同前。
两角和差，欲求余弦，
余余正正，符号相反。
两角相等，倍角公式，
逆向反推，半角极限。
加加减减，变量替换，
积化和差，和奇互变。
升级会员 