第三章13可线性化的回归分析Word格式.docx

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26

39

54

（1）由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx；

（2）据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．

解　

（1）

＝

＝3.5，

＝42，

∴a＝

－b

＝42－9.4×

3.5＝9.1

∴回归直线方程为y＝9.1＋9.4x.

（2）当x＝4时，y＝9.1＋9.4×

4＝46.7，

故广告费用为6万元时销售额为46.7万元．

跟踪演练1　为了研究3月下旬的平均气温（x）与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日（y）的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：

年份

2006

2007

2008

2009

2010

2011

x/℃

24.4

29.6

32.9

28.7

30.3

28.9

y/日

19

6

1

10

8

（1）对变量x，y进行相关性检验；

（2）据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．

解　制表.

i

xi

yi

≈29.13，

y2＝563，

＝7.5，

x

＝5130.92，

xiyi＝1222.6

（1）r＝

≈－0.9498.

由|r|＞0.75，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．

（2）b＝

≈－2.3，a＝

－b

≈74.5.所以，线性回归方程为y＝74.5－2.3x.当x＝27时，y＝74.5－2.3×

27＝12.4.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．

要点二　可线性化的回归分析

例2　在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y（g/min）与一种催化剂的量x（g）有关，现收集了8组观测数据列于表中：

催化剂的量x/g

15

18

21

24

27

30

33

36

化学物质的反应速度y（g·

min－1）

70

205

65

350

解　根据收集的数据，作散点图（如图），根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．

令z＝lny，则z＝lny＝lnc1＋c2x，

即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx（a＝lnc1，b＝c2）的周围．

由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：

z

1.792

2.079

3.401

3.296

4.248

5.323

4.174

5.858

作出z与x的散点图（如图）．

由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．

由z与x的数据表，可得线性回归方程：

z＝0.848＋0.81x，

所以y与x之间的非线性回归方程为

y＝e－0.848＋0.81x.

规律方法　可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．

跟踪演练2　电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt（b＜0）表示，现测得时间t（s）时的电压U（V）如下表：

t/s

7

9

U/V

100

75

55

40

20

试求：

电压U对时间t的回归方程．（提示：

对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题）

解　对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：

y

4.6

4.3

4.0

3.7

3.4

3.0

2.7

2.3

1.6

根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得

＝5，

≈3.045，进而可以求得b≈－0.313，

a＝

＝4.61，所以y对x的线性回归方程为y＝4.61－0.313x.

由y＝lnU，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·

e－0.313x，因此电压U对时间t的回归方程为U＝e4.61·

e－0.313x.

要点三　非线性回归模型的综合应用

例3　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm

60

80

90

110

体重y/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

120

130

140

150

160

170

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

试建立y与x之间的回归方程．

解　根据题干表中数据画出散点图如图所示．

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny.

1.81

2.07

2.30

2.50

2.71

2.86

3.04

3.29

3.44

3.66

3.86

4.01

画出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：

z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.

规律方法　根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；

可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．

跟踪演练3　对两个变量x，y取得4组数据（1，1），（2，1.2），（3，1.3），（4，1.37），甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：

甲　y＝0.1x＋1，

乙　y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

丙　y＝－0.8·

0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．

解　甲模型，当x＝1时，y＝1.1；

当x＝2时，y＝1.2；

当x＝3时，y＝1.3；

当x＝4时，y＝1.4.

乙模型，当x＝1时，y＝1；

当x＝4时，y＝1.3.

丙模型，当x＝1时，y＝1；

当x＝4时，y＝1.35.

观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.

1．在一次试验中，当变量x的取值分别为1，

，

时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与

的回归方程为（　　）

A．y＝

＋1B．y＝

＋3

C．y＝2x＋1D．y＝x－1

答案　A

解析　由数据可得，四个点都在曲线y＝

＋1上．

2．某种产品的广告费支出与销售额（单位：

百万元）之间有如下对应数据：

广告费

销售额

50

则广告费与销售额间的相关系数为（　　）

A．0.819B．0.919C．0.923D．0.95

答案　B

3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量（单位：

亿吨标准煤）的几个统计数据：

1996

2001

产量

12.9

16.1

19.3

22.3

根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种（　　）

A．y＝ax＋b（a≠0）B．y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

C．y＝ax（a>

0且a≠1）D．y＝logax（a>

0且a≠1）

4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.

x/万元

y/万元

答案　（6，50）

一、基础达标

1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值是（　　）

2.5

t

4.5

A.4.5B．4C．3D．3.15

答案　C

2．下列数据x，y符合哪一种函数模型（　　）

2.69

3.38

3.6

3.8

4.08

4.2

A.y＝2＋

xB．y＝2ex

C．y＝2e

D．y＝2＋lnx

答案　D

解析　取x＝1，2，…，10分别代入各解析式判断．

3．指数曲线y＝aebx的图像为（　　）

解析　∵y＝aebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B.

4．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：

广告费用x/千元

1.0

6.0

10.0

14.0

销售额y/千元

19.0

44.0

40.0

52.0

53.0

在同一坐标系中画散点图，直线L：

y＝24＋2.5x，曲线C：

y＝

，如图所示．更能表现这组数据之间的关系的是（　　）

A．直线L　　

B．曲线C

C．直线L和曲线C都一样　　

D．无法确定

5．已知线性回归方程的斜率的估计值是0.5，样本点的中心为（4.5，5），则线性回归方程是__________．

答案　y＝2.75＋0.5x

解析　在回归方程中，已知b＝0.5，则a＝

－b·

＝2.75.

6．对于回归方程y＝257＋4.75x，当x＝28时，y的估计值是__________．

答案　390

解析　当x＝28时，y＝257＋4.75×

28＝390，∴y的估计值为390.

7．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消光系数读数结果如下.

尿汞含量（xi）

消光系数（yi）

64

138

285

360

（1）画出对应数据的散点图；

（2）求线性回归方程；

（3）根据

（2）的结果，估计当xi为12mg/L时的消光系数yi.

（2）y＝－11.3＋36.95x.

（3）当xi＝12时代入y＝－11.3＋36.95x，得yi＝432.

二、能力提升

8．观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．③④

解析　在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用．

9．下表是某厂1～4月份用水量（单位：

百吨）的一组数据，

月份x

用水量y

由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝__________．

答案　5.25

解析　

＝2.5，

＝3.5，b＝－0.7，

∴a＝3.5＋0.7×

2.5＝5.25.

10．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以（

）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．

答案　二、四

解析　∵r＜0时b＜0，

∴大多数点落在第二、四象限．

11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

0.25

0.5

16

12

解　根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝

，令t＝

，则

y＝kt，原数据变为

由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：

序号

ti

tiyi

256

144

25

0.0625

∑

7.75

94.25

21.3125

430

∴

＝1.55，

＝7.2.

b＝

≈4.1344.

≈0.8.∴y＝0.8＋4.134t.

∴y与x的回归方程是y＝0.8＋

.

12．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温/℃

13

－1

杯数

34

38

画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．

解　画出散点图如图所示．

（26＋18＋13＋10＋4－1）≈11.7，

（20＋24＋34＋38＋50＋64）≈38.3，

xiyi＝26×

20＋18×

24＋13×

34＋10×

38＋4×

50－1×

64＝1910，

＝262＋182＋132＋102＋42＋（－1）2＝1286，

＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，

由r＝

可得r≈0.97.

由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系．

三、探究与创新

13．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

（1）试建立y与x之间的回归方程；

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为82kg的在校男生体重是否正常？

解　

（1）根据表中的数据画出散点图（如图所示）．

由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，得下表：

X

Z

作出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为

（2）当x＝175时，预测平均体重为

y＝e0.693＋0.020×

175≈66.22，

由于66.22×

1.2≈79.47＜82，

所以这个男生偏胖．

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