木材最优切割Word文件下载.docx

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矩形件下料切割问题guillotine

摘要：

随着社会的发展、人们对环境资源的重视，提高材料的利用率、获得最大利润就成了不可避免的问题，而解决这个问题的关键就是对产品的生产进行紧凑型的布局。

本文旨在解决家具厂木料的切割问题，由一维问题（或者说是1.5维问题）递推到二维问题，通过寻找合适的切割方法（采用guillotine，贪心启发式算法的多目标二维切割），使得我们从目标木板上切割出的所需产品的面积和最大或者利润最大，后对方案进行优化处理，最终得出最优方案。

问题一用guillotine方法切割可得一块木板上P1最多能切割59个。

问题二在问题一的基础上，通过迭

代的方法，分析得出前三甲利用率分别为99.64%，99.23%和99.03%的最佳方案。

问题三又在

问题二的基础上，引入了生产任务作为限制因素，并结合贪心启发式算法的多目标二维切割和问题使问题得到解决。

问题四在问题三的基础上，又增添了两个长宽不同的矩形件，用lingo找寻它的最下限后，用循环得出最大利用率为99.64%，这时候使用的木板数为359块。

问题五改变了问题四的目标函数，消除了生产任务对木块切割的限制。

在这种情形下，得到最优方案是在一块木板上切割59块矩形件P1，从而得出最大利润为1174100元，木板的利用率为

98.2979%。

98.2980%。

模型建立与优化

1、问题一

（1）算法分析分析第一题，其采用单一材料形式进行分割，我们通过guillotine切割方案进行初步求解，其采

用“一刀切”的形式对问题进行求解，得出在一块木板上P1切割的最大数为56，但是（相对误差比较大）利用率比较低。

后通过贪心算法再次对问题进行优化求解，得出切割的最大数为

60，接近于木板切割（装载）的上限，针对于该问题，贪心策略能得到较好的解，但它不适用

于其他问题。

（2）模型建立建立一个

minLW

1.5维的切割问题模型来求近似解n'

lwx

11i

或者

P1的数量

木板利用率

98.29793%

2、问题二

（1）算法分析

在第一题的基础上，继续贪心找到了每种产品的上限，通过guillotine切割进行迭代分析求出不同方案的木板利用率，经过对比分析，选取了三种利用率最高的方案。

（2）模型建立

min

s.t.

LWlwxlwx

111333LWlwxlwx

111333x,x

1都为非负整数

根据上面的方

案，进行利用率的排序

，易得三种最佳方案

方案编号

P3的数量

0.9964

0.9923

4）模型求解

1352

0.9903

3、问题三

P1和P3所能得到的最大数，再结合生产任务能得

（1）算法分析可结合问题一，得出在一块木板上分别切割

到满足需求的最小木板数，该值为35。

假设全部木板都用一种切割方式，并结合贪心启发式算

法的多目标二维切割和问题，使得木板的利用率达最大。

建立了模型。

后进行优化改进，让不同的木板有不同的切割方案，

minLWlwxlwx

111333

s.t.Bxd

Bxd

LWlwxlwxK

B35

B,x,x为非负整数

B,x,x

1为非负整数

3）模型求解

问题四

（1）算法分析问题四采用了guillotine二维切割方法，通过贪心等启发式算法获取最优解的近似解。

同时由于该问题属于NP问题，无法采用多项式方法求解，故只能采用guillotine方法得到部分解。

2）

利用率

25.0

11.0000

3.0000

9.0000

0.9473

18.0

13.0000

6.0000

0.9524

0.9218

34.0

12.0000

0.9543

9.0

29.0000

0.9787

14.0

20.0000

0.9658

19.0

21.0000

0.9801

24.0

22.0000

0.9943

29.0

0.9814

34.00

30.0

2.0000

27.0000

0.9610

28.0

4.0000

0.9690

98.2981

10.0000

0.9597

18.1

0.9677

25.1

14.0000

0.9757

34.1

16.0000

9.1

18.0000

0.9917

14.1

0.9664

19.1

24.0000

0.9824

24.1

5.0000

37.0000

0.9867

29.1

0.9661

8.0000

0.9669

30.1

15.0000

0.9859

28.1

7.0000

26.1

0.9842

0.9850

12.0

30.0000

0.9692

16.0

28.0000

0.9539

0.9028

0.9650

0.9640

0.9754

33.0000

0.9450

0.9659

25.0000

0.9630

23.0000

0.9733

0.9703

3）模型建立

minLWB

haljw

iijj

s.t.B

minBh

s.t.had,j

1,2,3,4

iij

1,..,4

a,hi为非负整数ij

LWalw,i1,..,k

ijjj

a,h为非负整

ij数

（4）模型求解

木板S1

备注

的数量

木板

359

16270.9964

每块木板切割方案相同

合计数量：

2153

1623

1614

木板总利用率=

774

___359

总利用率:

问题五

1）算法分析根据第四题所得分割方案，建立数学模型进行求解。

2）模型建立

max

cja

i1j1ijk

hadj

LWalw,i1,...,kijjj

（3）模

型求解

木板S1的数量

100

P2的数量

P4的数量

利润（元）

1174.1

木板利用率0.982979

每块木板切割方案相同木板总利用率

木板S1合计数量100

总利润:

1174100

总利用率

0.982979

进一步讨论结果表示，分析与检验误差分析上述问题求得的只是近似解，可能还有优化的空间，目前还没有发现此类解决NP问题一劳永逸的算法方案。

结语（模型评价，特点优缺点改进方法推广）该数学模型只能得到解的下限，不能直接得出解的结果，一方面是因为该模型选择用面积近似求解而没有考虑到所装载物体的形状，另一方面是因为无法很好的将木板的长宽与变量联系在一起（约束条件的缺少），因此只能求出可行解的上限或者下限，不能求出精确解。

除此之外，上述贪心策略求解切割方案的移植性较差，只能用于解决一些问题，但对于某些问题能得到更好的结果，例如问题一，采用guillotine只能求出装载p1数为56，而采用贪心策略则能求出装载p1数为59，更大得接近此问题的上限装载量60。

对于已存在的切割方案的优化求解，

可以采用一些智能算法对问题的解空间进行检索，进一步获取较多的切割方案。

这种方法也是寻求最优的全局最优解的另一种方式。

参考文献

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