版高考数学一轮复习第9章 第2讲 圆的方程及直线圆的位置关系Word文件下载.docx

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A.-2B.-4C.-6D.-8

10.[2017天津,12,5分][文]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°

则圆的方程为　　　　. 

11.[2016全国卷Ⅰ,15,5分][文]设直线y=x+2a与圆C:

x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

12.[2016全国卷Ⅲ,15,5分]已知直线l:

mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=　　　　. 

13.[2015重庆,12,5分][文]若点P（1,2）在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　. 

14.[2015新课标全国Ⅰ,20,12分][文]已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C:

（x-2）2+（y-3）2=1交于M,N两点.

（Ⅰ）求k的取值范围;

（Ⅱ）若·

=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

题组3　圆与圆的位置关系

15.[2016山东,7,5分][文]已知圆M:

x2+y2-2ay=0（a>

0）截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:

（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（　　）

A.内切B.相交C.外切D.相离

16.[2014湖南,6,5分][文]若圆C1:

x2+y2=1与圆C2:

x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=（　　）

A.21B.19C.9D.-11

17.[2013重庆,7,5分]已知圆C1:

（x-2）2+（y-3）2=1,圆C2:

（x-3）2+（y-4）2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

A.5-4B.-1C.6-2D.

18.[2013新课标全国Ⅰ,21,12分][文]已知圆M:

（x+1）2+y2=1,圆N:

（x-1）2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程;

（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

A组基础题

1.[2017陕西省高三质量检测,5]圆:

x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是（　　）

A.1+B.2C.1+D.2+2

2.[2017宁夏银川市教学质量检测,3]已知圆C1:

x2+y2=4,圆C2:

x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）

A.相离B.外切C.相交D.内切

3.[2017辽宁省高三第一次质量监测,5]已知直线l:

y=k（x+）和圆C:

x2+（y-1）2=1,若直线l与圆C相切,则k=（　　）

A.0B.C.或0D.或0

4.[2017长春市高三二检,4]圆（x-2）2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是（　　）

A.（x-）2+（y-1）2=4B.（x-）2+（y-）2=4

C.x2+（y-2）2=4D.（x-1）2+（y-）2=4

5.[2017武汉市四月模拟,10]已知圆C:

（x-1）2+（y-4）2=10和点M（5,t）,若圆C上存在两点A,B,使得MA⊥MB,则实数t的取值范围为（　　）

A.[-2,6]B.[-3,5]C.[2,6]D.[3,5]

6.[2017云南11校调考,15]已知动圆C过A（4,0）,B（0,-2）两点,圆心C关于直线x+y=0的对称点为M,过点M的直线交圆C于E,F两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为　　　　. 

7.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,16]设圆C满足:

①截y轴所得弦长为2;

②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;

③圆心到直线l:

x-2y=0的距离为d.当d最小时,圆C的面积为　　　　. 

B组提升题

8.[2017辽宁省部分重点高中第三次联考,5]若直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则点（k,b）所在的圆为（　　）

A.（x-）2+（y+5）2=1B.（x-）2+（y-5）2=1

C.（x+）2+（y-5）2=1D.（x+）2+（y+5）2=1

9.[2017新疆维吾尔自治区第二次适应性检测,8]设m,n∈R,若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆x2+y2=1相切,则m-n的最大值是（　　）

A.2B.2C.D.

10.[2017江西省南昌市第一次模拟,8]如图9-2-2,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cos∠AOB=（　　）

图9-2-2

A.　　　B.-C.　　　D.-

11.[2018湘东五校联考,15]圆心在抛物线y=x2（x<

0）上,且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为　　　　　　　　. 

12.[2017广西南宁市第二次适应性测试,15]过动点M作圆:

（x-2）2+（y-2）2=1的切线MN,其中N为切点,若|MN|=|MO|（O为坐标原点）,则|MN|的最小值是　　　　. 

13.[2018湖北省月考,20]已知圆N:

（x-1）2+y2=1,点P是曲线y2=2x上的动点,过点P分别向圆N引切线PA,PB（A,B为切点）.

（1）若P（2,2）,求切线的方程;

（2）若切线PA,PB分别交y轴于点Q,R,点P的横坐标大于2,求△PQR的面积S的最小值.

答案

1.A　由题可知,圆心为（1,4）,结合题意得=1,解得a=-.故选A.

2.（x-2）2+y2=9　设圆心为（a,0）（a>

0）,则圆心到直线2x-y=0的距离d==,解得a=2,所以半径r==3,所以圆C的方程为（x-2）2+y2=9.

3.（-2,-4）　5　由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为（-2,-4）,半径为5.当a=2时,方程不表示圆.

4.（x-1）2+y2=2　因为直线mx-y-2m-1=0（m∈R）恒过点（2,-1）,所以当点（2,-1）为切点时,半径最大,此时半径r=,故所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.

5.（x-2）2+（y-1）2=4　依题意,设圆心的坐标为（2b,b）（其中b>

0）,则圆C的半径为2b,圆心到x轴的距离为b,所以2=2,b>

0,解得b=1,故所求圆C的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=4.

6.（Ⅰ）设P（x,y）,圆P的半径为r.

由题知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.

故点P的轨迹方程为y2-x2=1.

（Ⅱ）设P（x0,y0）.由已知得=　①.

又P点在双曲线y2-x2=1上,所以-=1　②.

由①②得

当时,解得此时,圆P的半径r=.

故圆P的方程为x2+（y+1）2=3或x2+（y-1）2=3.

7.D　圆（x+3）2+（y-2）2=1的圆心为（-3,2）,半径r=1.作出点（-2,-3）关于y轴的对称点（2,-3）.由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点（2,-3）.设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-（-3）=k（x-2）,即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得=1,即|5k+5|=,整理得12k2+25k+12=0,即（3k+4）（4k+3）=0,解得k=-或k=-.故选D.

8.C　由题意得圆C的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=4,所以圆C的圆心为（2,1）,半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=（-4-2）2+（-1-1）2-4=36,所以|AB|=6,故选C.

9.B　由题意得圆的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=2-a,圆心为（-1,1）,半径r满足r2=2-a,则圆心到直线x+y+2=0的距离d==,所以r2=4+2=2-a,解得a=-4.故选B.

10.（x+1）2+（y-）2=1　由题意知该圆的半径为1,设圆心坐标为C（-1,a）（a>

0）,则A（0,a）,又F（1,0）,所以=（-1,0）,=（1,-a）,由题意得与的夹角为120°

得cos120°

==-,解得a=,所以圆的方程为（x+1）2+（y-）2=1.

11.4π　圆C的方程可化为x2+（y-a）2=a2+2,可得圆心的坐标为C（0,a）,半径r=,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为=,所以（）2+（）2=（）2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.

12.4　设圆心到直线l:

mx+y+3m-=0的距离为d（d>

0）,则弦长|AB|=2=2,解得d=3,即=3,解得m=-,则直线l:

x-y+6=0,数形结合可得|CD|==4.

13.x+2y-5=0　由题意,得kOP==2,则该圆在点P处的切线方程的斜率为-,所以所求切线方程为y-2=-（x-1）,即x+2y-5=0.

14.（Ⅰ）由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.

因为直线l与圆C交于两点,所以<

1.

解得<

k<

.

所以k的取值范围为（,）.

（Ⅱ）设M（x1,y1）,N（x2,y2）.

将y=kx+1代入圆C的方程（x-2）2+（y-3）2=1,整理得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0.

所以x1+x2=,x1x2=.

·

=x1x2+y1y2

=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1

=+8.

由题设可得+8=12,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.

故圆C的圆心（2,3）在直线l上,所以|MN|=2.

15.B　由题知圆M:

x2+（y-a）2=a2（a>

0）,圆心（0,a）到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2.圆M与圆N的圆心距|MN|=,两圆半径之差为1,故两圆相交.故选B.

16.C　圆C1的圆心是C1（0,0）,半径r1=1,圆C2:

（x-3）2+（y-4）2=25-m,圆心C2（3,4）,半径r2=,由两圆外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,解得m=9.故选C.

17.A　两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C'

1（2,-3）,则（|PC1|+|PC2|）min=|C'

1C2|=5,所以（|PM|+|PN|）min=5-（1+3）=5-4.故选A.

18.由已知得圆M的圆心为M（-1,0）,半径长r1=1;

圆N的圆心为N（1,0）,半径长r2=3.

设圆P的圆心为P（x,y）,半径为R.

（Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,

所以|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4.

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆（左顶点除外）,其方程为+=1（x≠-2）.

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x,y）,由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2,0）时,R=2.

所以当圆P的半径最长时,其方程为（x-2）2+y2=4.

若l的倾斜角为90°

则l与y轴重合,可得|AB|=2.

若l的倾斜角不为90°

由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q（-4,0）,所以可设l:

y=k（x+4）.由l与圆M相切得=1,解得k=±

当k=时,将y=x+代入+=1,

整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.

所以|AB|=|x2-x1|=.

当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.

综上,|AB|=2或|AB|=.

1.A　将圆的方程化为（x-1）2+（y-1）2=1,即圆心坐标为（1,1）,半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为1+d=1+,故选A.

2.B　易知圆C2的标准方程为（x+3）2+（y-4）2=9,则圆C1与C2的圆心的距离为=5,又两圆半径之和为2+3=5,所以圆C1与圆C2外切,故选B.

3.D　因为直线l与圆C相切,所以圆心C到直线l的距离d==1,即|-1+k|=,解得k=0或k=,故选D.

4.D　解法一　圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同,只需圆心关于直线对称即可.

设所求圆的圆心坐标为（a,b）,则解得所以圆（x-2）2+y2=4的圆心关于直线y=x对称的点的坐标为（1,）,从而所求圆的方程为（x-1）2+=4,选D.

解法二　由于两圆关于直线对称,因此两圆心的连线必与该直线垂直,则两圆心连线的斜率为-,备选项中只有选项D中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为-,选D.

5.C　当MA,MB与圆相切时,|CM|==,由题意,圆C上存在两点使MA⊥MB,则|CM|=≤,解得2≤t≤6,故选C.

6.2　依题意知,动圆C的半径不小于|AB|=,即当圆C的面积最小时,AB是圆C的一条直径,此时点C是线段AB的中点,即点C（2,-1）,点M的坐标为（1,-2）,且|CM|==<

所以点M位于圆C内,当点M为线段EF的中点（过定圆内一定点作圆的弦,以该定点为中点的弦最短）时,|EF|最小,其最小值等于2=2.

7.2π　设圆C的圆心为C（a,b）,半径为r,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°

圆C截x轴所得的弦长为r,故r2=2b2,又圆C截y轴所得的弦长为2,所以r2=a2+1,从而得2b2-a2=1.又点C（a,b）到直线x-2y=0的距离d=,所以5d2=（a-2b）2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2（a2+b2）=2b2-a2=1,当且仅当即a2=b2=1时等号成立,此时d取得最小值,r2=2,圆C的面积为2π.

8.A　由题意知直线y=kx与直线2x+y+b=0互相垂直,所以k=.又圆上两点关于直线2x+y+b=0对称,故直线2x+y+b=0过圆心（2,0）,所以b=-4,结合选项可知,点（,-4）在圆（x-）2+（y+5）2=1上,故选A.

9.A　依题意得,圆心（0,0）到直线（m+1）x+（n+1）y-2=0的距离等于圆的半径1,于是有=1,即（m+1）2+（n+1）2=4,设m+1=2cosθ,n+1=2sinθ,则m-n=（m+1）-（n+1）=2cosθ-2sinθ=2cos（θ+）≤2,当且仅当cos（θ+）=1时取等号,因此m-n的最大值是2,故选A.

10.D　解法一　因为圆x2+y2=4的圆心为O（0,0）,半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d==,

所以弦长|AB|=2=2.

在△AOB中,由余弦定理得cos∠AOB===-.

解法二　取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB,且∠AOB=2∠AOD,

又圆心到直线的距离d==,即|OD|=,

所以cos∠AOD==,

故cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=2×

（）2-1=-.故选D.

11.（x+1）2+（y-）2=1　依题意设圆的方程为（x-a）2+（y-a2）2=r2（a<

0）,因为该圆与抛物线的准线及y轴均相切,所以+a2=r=-a⇒故所求圆的标准方程为（x+1）2+（y-）2=1.

12.　解法一　由题意知圆的圆心为（2,2）,半径为1.设M（x,y）,则|MO|=,|MN|=.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即y=-x,所以|MN|=|MO|====,当x=时,|MN|取得最小值=.

解法二　由题意知圆的圆心为（2,2）,半径为1.设M（x,y）,则|MO|=,|MN|=.由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即点M的轨迹为4x+4y-7=0,则由题意知,要使|MN|取得最小值,即|MO|取得最小值,此时|MO|的最小值就是原点到直线4x+4y-7=0的距离,即=,故|MN|的最小值为.

13.

（1）由题意知,圆N的圆心为（1,0）,半径为1.

因为P（2,2）,所以其中一条切线的方程为x=2.

设另一条切线的斜率为k,则其方程为y-2=k（x-2）,即y=kx+2-2k,

圆心（1,0）到切线的距离d==1,解得k=,

此时切线的方程为y=x+.

综上,切线的方程为x=2或y=x+.

（2）设P（x0,y0）（x0>

2）,则=2x0,Q（0,a）,R（0,b）,

则kPQ=,所以直线PQ的方程为y=x+a,即（y0-a）x-x0y+ax0=0.

因为直线PQ与圆N相切,

所以=1,即（x0-2）a2+2y0a-x0=0.

同理,由直线PR与圆N相切,得（x0-2）b2+2y0b-x0=0,

所以a,b是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根,

其判别式Δ=4+4x0（x0-2）=4>

0,

a+b=,ab=,

则|QR|=|a-b|==,

S=|QR|x0===x0-2++4≥8,

当且仅当x0=4时,Smin=8.