正比例函数一次函数教案Word文档下载推荐.docx
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45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？
我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？
这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
答应:
１．根据圆的周长公式可得：
L=2
r．
２．依据密度公式p=
可得：
m=7．8V．
３．据题意可知：
h=0．5n．
４．据题意可知：
T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
x
-3
-2
-1
1
2
3
y
-6
-4
4
6
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x２．y=-2x
结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
画出图象如图
（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
画出图象如图
（2）．
３．两个图象的共同点：
都是经过原点的直线．
不同点：
函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；
经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；
经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行
比较．
1．y=
x２．y=-
y=
Y=-
比较两个函数图象可以看出：
两个图象都是经过原点的直线．函数y=
x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；
函数y=-
x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>
0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<
0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？
为什么？
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=
x２．y=-3x
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
备课资料
汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
１．汽车用几小时可到达北京？
速度是多少？
２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
毛
14．2．2一次函数
（一）
教学过程：
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是s＝570－95t．
说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．
问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．
分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：
y＝50＋12x．
问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
Ⅱ．导入新课
上面的两个函数关系式都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。
并且自变量和因变量的指数都是一次。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
例1：
下列函数中，y是x的一次函数的是（）
①y=x-6；
②y=
；
③y=
④y=7-x
A、①②③B、①③④C、①②③④D、②③④
例2下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
（1）面积为10cm2的三角形的底a（cm）与这边上的高h（cm）；
（2）长为8（cm）的平行四边形的周长L（cm）与宽b（cm）；
（3）食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
（4）汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
（5）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
（6）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（7）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
分析确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b（k≠0）或y＝kx（k≠0）形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．
解
（1）
，不是一次函数．
（2）L＝2b＋16，L是b的一次函数．
（3）y＝150－5x，y是x的一次函数．
（4）s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．
（5）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；
（6）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
（7）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
例3已知函数y＝（k－2）x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解若y＝（k－2）x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝
．
若y＝（k－2）x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．
例4已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；
（3）求x＝2.5时，y的值．
解
（1）因为y与x－3成正比例,所以y＝k（x－3）．
又因为x＝4时，y＝3，所以3＝k（4－3），解得k＝3，
所以y＝3（x－3）＝3x－9．
（2）y是x的一次函数．
（3）当x＝2.5时，y＝3×
2.5＝7.5．
例5已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．
（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．
（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
分析
（1）当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差．
（2）当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差．
解
（1）y＝30－12x．（0≤x≤2.5）
（2）y＝12x－30．（2.5≤x≤6.5）
例6 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．
分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．
解在第一阶段：
y＝3x（0≤x≤8）；
在第二阶段：
y＝16＋x（8≤x≤16）；
在第三阶段：
y＝－2x＋88（24≤x≤44）．
Ⅲ．随堂练习
1、见下表：
……
-5
7
根据上表写出y与x之间的关系式是：
________________，y是否为x一的次函数？
y是否为x有正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：
每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；
每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。
设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。
（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。
[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。
②y=8-2.4=5.6（元）]
Ⅳ．课时小结
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
Ⅴ．课后作业
1、已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
（1）写出y与x之间的函数关系．
（2）y与x之间是什么函数关系．（3）计算y＝－4时x的值．
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资．
3.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系．
4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高．
5.按照我国税法规定：
个人月收入不超过800元，免交个人所得税．超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．
14．2．2一次函数
（二）
教学目标
1、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
2、能较熟练作出一次函数的图象。
教学重点1、能熟练地作出一次函数的图象。
2.归纳作函数图象的一般步骤。
教学难点：
理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
1、回顾作函数图象的一般步骤
前面我们已经学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x与y的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。
2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y＝-6x
（2）y＝-6x＋5（3）y＝3x（4）y＝3x＋2
问题l：
以上四个一次函数图象是什么形状呢?
让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．
问题2：
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象都是一条直线吗?
举例验证．
让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线。
指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b（b≠0），特别地，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0，0）的一条直线．
问题3：
几个点可以确定一条直线?
问题4：
画一次函数图象时，只要取几个点?
只要取两点。
今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．
问题5：
观察“做一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．
（1）y＝-6x与y＝-6x＋2
（2）y＝
x与y＝
x＋2（3）y＝-6x＋2与y＝
x＋2
能否从中发现一些规律?
问题6：
对于直线y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）．常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响?
思考填空：
两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：
_______________________不同点:
_________________________
当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
_______________________不同点：
________________________
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
（1）y＝2x与y＝2x＋3
（2）y＝2x＋l与y＝
x＋1
请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．
Ⅲ．例题与练习
例1
（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。
列表：
…
y=-2x+5
9
5
描点：
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。
连线：
把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。
图象如下：
在图象上找点A（3，-1）B（4，-3），当x=3时，y=-2×
3+5=-1；
当x=4时，y=-2×
4+5=-3。
（3，-1），（4，-3）满足关系式y=-2x+5。
议一议
（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？
（1）满足关系式y=-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=-2x+5的图象上。
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。
由此看来，满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上；
反过来，一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。
所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足一次函数的代数表达式。
例2在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．
（1）y＝2x与y＝2x＋3；
（2）y＝3x＋1与
解
想一想
（1）上面每组中的两条直线有什么关系？
（2）你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便．结论：
一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便．
例3直线
分别是由直线
经过怎样的移动得到的．
分析只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是由正比例函数的图象y＝kx（k≠0）经过向上或向下平移
个单位得到的．b＞0，直线向上移；
b＜0，直线向下移．
是由直线
向上平移3个单位得到的；
而
向下平移5个单位得到的．
1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．画一次函数图象时，只要取几个点?
怎样取比较简便?
3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?
当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?
同步练习：
演兵场
☆我能选
1．下列说法正确的是（）
A．正比例函数是一次函数B．一次函数是正比例函数
C．正比例函数不是一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数
2．下列函数中，y是x的一次函数的是（）
A．y=-3x+5B．y=-3x2C．y=
D．y=2
3．已知等腰三角形的周长为20cm，将底边y（cm）表示成腰长x（cm）的函数关系式是y=20-2x，则其自变量的取值范围是（）
A．0<
x<
10B．5<
10C．x>
0D．一切实数
4．一次函数y=kx+b满足x=0时，y=-1；
x=1时，y=1，则这个一次函数是（）
A．y=2x+1B．y=-2x+1C．y=2x-1D．y=-2x-1
☆我能填
5．已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k________时，它是一次函数，当k=_______时，它是正比例函数．
6．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t之间的函数关系式是_________．
7．已知A、B、C是一条铁路线（直线）上顺次三个站，A、B两站相距100千米，现有一列火车从B站出发，以75千米/时的速度向C站驶去，设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与A站的距离，则y与x的关系式是_________．
☆我能答
8．某电信公司的一种通话收费标准是：
不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分缴费0.25元．
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）某用户本月通话120分钟，他的费用是多少元？
（3）若某用户本月预交了200元，那么该用户本月可以通话多长时间？
9．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：
购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；
乙商店的优惠条件是：
从第1本开始就按标价的85%卖．
（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x>
10）的关系式，它们都是正比例函数吗？
（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
探究园
10．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：
月收入低于800元的部分不收税；
月收入超过800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人月收入1200元，他应该缴个人工资、薪金所得税为（1200-88）×
5%=20（元）．
（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的函数关系式．y是x的一次函数吗？
（2）某人月收入为1000元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税18元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
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