课堂新坐标教师用书高中数学 111 命题教案 新人教A版选修11Word文件下载.docx

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命题的概念

【问题导思】

观察下列实例：

①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；

③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；

④作△ABC∽△A′B′C′

上述语句中，哪些能判断真假？

【提示】　①、②、③、④是祈使句不能判断真假．

1．定义

在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．分类

①真命题：

判断为真的语句叫做真命题；

②假命题：

判断为假的语句叫做假命题.

命题的形式

【问题导思】　

1．“同位角相等”是命题吗？

如果是命题，是真命题还是假命题？

【提示】　是命题，为假命题．

2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？

【提示】　若两个角为同位角，则这两个角相等．

　命题的形式：

“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.

命题的判断

　判断下列语句是否为命题，并说明理由．

（1）x－2＞0；

（2）梯形是不是平面图形呢？

（3）若a与b是无理数，则ab是无理数；

（4）这盆花长得太好了！

（5）若x＜2，则x＜3.

【思路探究】　

（1）这些语句是陈述句吗？

（2）你能判断它们的真假吗？

【自主解答】　

（1）不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．

（2）不是命题，疑问句不是命题．

（3）是命题，因为此语句是陈述句且是假的．（反例a＝b＝

）

（4）不是命题，感叹句不是命题．

（5）是命题，因为此语句是陈述句且是真的．

判断一个语句是否为命题的步骤：

（1）语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．

（2）该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

（1）一条直线l，与平面α不是平行就是相交；

（2）若xy＝1，则x，y互为倒数；

（3）作△ABC∽△A′B′C′.

【解】　

（1）是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．

（2）是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．

（3）不是命题，祈使句不是命题．

命题真假的判定

　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

（1）函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

（2）若x＝4，则2x＋1＜0；

（3）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

（4）求证：

x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．

【思路探究】　

【自主解答】　

（1）

（2）（3）是命题，（4）不是命题．

命题

（1）中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，为真命题．

命题

（2）中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．

命题（3）中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．

（4）是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．

1．真假命题的判定方法：

（1）真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

（2）假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．

在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．

【解】　

（2）是假命题，改为真命题为：

若x＝4时，则2x＋1＞0.

（3）是假命题，改为真命题为：

一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．

（4）不是命题，改为真命题为：

若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.

命题的形式及改写

　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）两个周长相等的三角形面积相等；

（2）已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

（3）当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；

（4）当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.

【思路探究】　

（1）这些命题的条件与结论分别是什么？

（2）第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？

【自主解答】　

（1）若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；

（2）已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；

（3）若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；

（4）若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．

1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．

2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；

对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）奇数不能被2整除；

（2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1；

（3）两个相似三角形是全等三角形；

（4）在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

【解】　

（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；

（2）若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1，是真命题；

（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

（4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

（对应学生用书第4页）

因知识欠缺，导致对命题真假判断失误

　判断下列命题的真假．

（1）若a＞b，则

＜

；

（2）x＝1是方程（x－1）（x－2）＝0的一个根．

【错解】　

（1）真命题．　

（2）假命题．

【错因分析】　

（1）误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a、b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞b但

＞

.

（2）因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．

【防范措施】　平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．

【正解】　

（1）假命题　

（2）真命题

1．判断一个语句是否是命题要注意两点：

（1）是不是陈述句；

（2）能否判断真假．

2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p，则q”的形式再加以判断.

1．下列语句中是命题的是（　　）

A.

是无限不循环小数　　B．3x≤5

C．什么是“温室效应”D．《非常学案》真好呀！

【解析】　疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．

【答案】　A

2．下列命题中是假命题的是（　　）

A．5是15的约数　　　B．对任意实数x，有x2＜0

C．对顶角相等D．0不是奇数

【解析】　对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．

【答案】　B

3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．

【答案】　若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行

4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．

（1）求证：

是无理数．

（2）若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．

（3）末位数字是0的整数能被5整除．

（4）你是高二的学生吗？

【解】　

（1）不是命题，

（2）假命题，（3）真命题，（4）不是命题.

一、选择题

1．（2013·

郑州高二检测）在空间，下列命题正确的是（　　）

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

【解析】　A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．

【答案】　D

2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是（　　）

A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

【解析】　“若p，则q”的形式：

若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．

【答案】　C

3．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集

B．若x2＝1，则x＝1

C．空集是任何集合的真子集

D．若

＝

，则x＝y

【解析】　A中方程在实数范围内无解，故为假命题；

B中，若x2＝1，则x＝±

1，也为假命题；

因为空集是任何非空集合的真子集，故C为假命题，D为真．

4．给出命题：

方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　）

A．4　　　　B．2　　　　C．0　　　　D．－3

【解析】　方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故当a＝0时适合条件．

5．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

②若a＞b，则a＋c＞b＋c；

③矩形的对角线互相垂直．

其中真命题共有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【解析】　①由x·

y＝0得到x＝0或y＝0，

所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；

②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；

③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．

二、填空题

6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．

【答案】　若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．

7．如果命题“若x∈A，则x＋

≥2”为真命题，则集合A可以是________．（写出一个即可）

【解析】　当x＞0时，有x＋

≥2，故A可以为{x|x＞0}．

【答案】　{x|x＞0}

8．下列命题：

①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac2＞bc2，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．

【解析】　①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac2≥bc2，故为假命题，④为真命题．

【答案】　①④

三、解答题

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：

（1）实数的平方是非负数；

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；

（3）当ac＞bc时，a＞b；

（4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【解】　

（1）若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．

（2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．

（3）若ac＞bc，则a＞b，假命题．

（4）若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．

10．判断下列命题的真假并说明理由．

（1）合数一定是偶数；

（2）若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；

（3）若m＞

，则方程mx2－x＋1＝0无实根．

【解】　

（1）假命题．例如9是合数，但不是偶数．

（2）真命题．因为ab＞0，则a、b同号．

又a＋b＞0故a、b不能同负，

故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.

（3）真命题．因为当m＞

时，Δ＝1－4m＜0；

∴方程无实根．

11．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．

【解】　因为ax2－2ax－3＞0不成立，

所以ax2－2ax－3≤0恒成立．

（1）当a＝0时，－3≤0成立；

（2）当a≠0时，应满足

解之得－3≤a＜0.

由

（1）

（2），得a的取值范围为[－3,0]．

下列四个命题：

①若向量a，b满足a·

b＜0，则a与b的夹角为钝角；

②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；

③在平面直角坐标系内，点M（|a|，|a－3|）与N（cosα，sinα）在直线x＋y－2＝0的异侧；

④规定下式对任意a，b，c，d都成立．

2＝

·

，则

其中真命题是________（将你认为正确的命题序号都填上）．

【解析】　当a与b的夹角为π时，有a·

b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；

因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是错误的；

因为|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cosα＋sinα－2＝

sin

－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0的异侧，故③是真命题；

根据题意有

，

所以④是真命题，故填③④.

【答案】　③④

把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．

若函数f（x）＝3＋log2x（x＞0）的图象与g（x）的图象关于x轴对称，则g（x）＝________.

【解析】　设g（x）图象上任一点（x，y），则它关于x轴的对称点为（x，－y），此点在f（x）的图象上，故有：

－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x（x＞0）．

【答案】　－3－log2x（x＞0）