1993年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题及答案文档格式.docx

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时，圆锥的轴截面顶角是：

　　（A）45°

　　　　　　（B）60°

　　　　　　　（C）90°

　　　　　　　　（D）120°

（4）当z＝

时，z100＋z50＋1的值是：

　　（A）1　　　　　　　　　（B）-1　　　　　　　　（C）i　　　　　　　　　（D）-i

（5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是：

　　（A）三棱锥　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）四棱锥

　　（C）五棱锥　　　　　　　　　　　　　　　　　（D）六棱锥

（6）在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB：

　　（A）有最大值1/2和最小值0

　　（B）有最大值1/2,但无最小值

　　（C）既无最大值也无最小值

　　（D）有最大值1,但无最小值

（7）在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为：

　　（A）12　　　　（B）10　（C）8　　　　（D）2+log35

（8）当F（x）＝[1＋2/（2x－1）]f（x）　（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）：

　　（A）是奇函数

　　（B）是偶函数

　　（C）可能是奇函数也可能是偶函数

　　（D）不是奇函数也不是偶函数

（9）设直线2x－y－

＝0与y轴的义点为P，把圆（x＋1）2＋y2＝25的直径分为两段,则其长度之比为：

　　（A）7/3或3/7　　　　　　　　　　　　　　　　（B）7/4或4/7

　　（C）7/5或5/7　　　　　　　　　　　　　　　　（D）7/6或6/7

（10）若a、b是任意实数,且a>

b,则：

　　（A）a2＞b2　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）b/a＜1

　　（C）lg（a－b）＞0　　　　　　　　　　　　　　　（D）（1/2）a＜（1/2）b

（11）已知集合E={θ│cosθ<

sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<

sinθ},那么E∩F为区间：

　　（A）（π/2，π）　　　　　　　　　　　　　　　（B）（π/4，3π/4）

　　（C）（π，3π/2）　　　　　　　　　　　　　　（D）（3π/4，5π/4）

（12）一动圆与两圆:

x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为：

　　（A）抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）圆

　　（C）双曲线的一支　　　　　　　　　　　　　　（D）椭圆

（13）若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则：

　　（A）ab>

0，bc>

0　　　　　　　　　　　　　　　 

（B）ab>

0，bc<

　　（C）ab<

（D）ab<

（14）如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是：

　　（A）（L/6）3π　　　　　　（B）（L/3）3π　　　　　（C）（L/4）3π　　　　　（D）[（L/4）3π]/4

（15）展开所得的x多项式中，系数为有理数的共有：

　　（A）50项　　　　　　　　（B）17项　　　　　　　（C）16项　　　　　　　（D）15项

（16）设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么：

　　（A）1/c＝1/a＋1/b　　　　　　　　　　　　　　（B）2/c＝2/a＋1/b

　　（C）1/c＝2/a＋2/b　　　　　　　　　　　　　　（D）2/c＝1/a＋2/b

（17）同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分

　　配方式有：

　　（A）6种　　　　　　　　（B）9种　　　　　　　　（C）11种　　　　　　　　（D）23种

（18）在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点（如图）.若θ为直线CM与D1N所成的角,则sinθ

　　的值为：

　　（A）1/9　　　　　　　　（B）2/3　　　　　　　　（C）

　　　　　　　　（D）

二、填空题:

把答案填在题中横线上.

（19）抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为

，则焦点到AB的距离为________。

（20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为

　　120°

。

若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m（精确到0.1m）。

（21）在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共______种（用数字作答）。

（22）建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那

　　么水池的最低总造价为______元。

（23）设f（x）=4x-2x+1,则f-1（0）=________。

（24）设a＞1，则

__________。

三、解答题:

解答应写出文字说明、演算步骤.

（25）解方程lg（x2+4x-26）-lg（x-3）=1。

（26）已知数列（8×

2）/（12×

32），（8×

2）/（32×

52），（8×

n）/[（2n－1）2×

（2n＋1）2]，……Sn为其前n项和。

计算

　　得S1＝8/9，S2＝24/25，S3＝48/49，S4＝80/81，观察上述结果,推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。

（27）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.

　　（Ⅰ）判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;

　　（Ⅱ）若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°

求顶点A1到直线l的距离.

（28）在面积为l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

（29）设复数z＝cosθ＋isinθ　（0＜θ＜π）

，argω＜π/2，求θ。

　　　　　　　　　　　　　　　1993年试题（文史类）答案

一、选择题:

本题考查基本知识和基本运算.

（1）C　　　　

（2）B　　　　（3）C　　　　（4）D　　　　（5）D　　　　（6）B

　　（7）B　　　　（8）A　　　　（9）A　　　　（10）D　　　（11）A　　　　（12）C

　　（13）D　　　（14）A　　　　（15）B　　　 

（16）B　　　（17）B　　　　（18）D

　　（19）2　　　（20）17.3　　　（21）4186

　　（22）1760　　（23）1　　　　（24）-1

三、解答题.

（25）本小题考查对数方程的解法及运算能力.

　　解:

原方程可化为：

　　解得：

　x1＝3－

；

x2＝3＋

　　检验x1＝3－

时，x－3＝－

＜0；

负数的对数没有意义，

　　所以x＝3－

不是原方程的根，

　　x＝3＋

时，原方程的左边＝lg10

－lg

＝lg10＝1＝右边

　　所以原方程的根是：

x＝3＋

（26）本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.

　　解Sn＝[（2n＋1）2－1]/（2n＋1）2　（n∈N）

　　证明如下:

　　（Ⅰ）当n＝1时，S１＝[32－1]/32＝8/9，等式成立。

　　（Ⅱ）设当n=k时等式成立,即

　　由此可知,当n=k+1时等式也成立.

　　根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知,等式对任何n∈N都成立.

（27）本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

（Ⅰ）l∥A1C1.证明如下:

　　根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.

　　由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.

　　根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.

　　（Ⅱ）解法一:

　　过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到l的距离.

　　连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.

　　∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.

　　又　　l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：

　　　　　　　　　　　　　AE⊥l.

　　由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,

　　　　　　　　　　　　　∴l∥AC.

　　作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

　　从而AE＝BD＝（AE×

BC）/AC＝（4×

3）/5＝12/5

　　在Rt△A1AE中,

　　∵A1A=1，∠A1AE=90°

　　∴

　　故点A1到直线l的距离为13/5。

　　解法二:

　　同解法一得l∥AC.

　　由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE，

　　从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE:

BC=AB:

AC，

　　　　　　　　　　∴AE＝（BC×

AB）/AC

　　以下同解法一。

　　（28）本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.

　　解法一:

建立直角坐标系如图:

以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。

　　设椭圆方程为：

x2/a2＋y2/b2＝1

　　分别记M、N、P点的坐标为（-c,0）、（c,0）和（x0,y0）.

　　∵tgα=tg（π-∠N）=2,

　　∴由题设知

　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高为4c/3

　　∴ 

　　∴a＝（│PM│+│PN│）/2＝

　　从而b2=a2-c2=3.

　　同解法一得：

　　∵点P在椭圆上,且a2=b2+c2.

　　解得b2＝3　或　b2＝-1/3（舍去）

　　a2=b2＋c2=15/4.

　　故所求椭圆的方程为：

4x2/15＋y2/3＝１

（29）本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.

　　解

　　因0<

θ<

π,故有

　　当tg2θ＝－

时，得θ＝5π/12或θ＝11π/12，这时都有：

　　ω＝

[（cos11π/6）＋（isin11π/6）]，

　　得：

argω＝（11π/6）＞π/2不适合题意，舍去，

　　综合（Ⅰ）、（Ⅱ）可知：

θ＝π/12或θ＝7π/12