matlab高等工程数学作业实践报告Word文件下载.docx
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其中a=36000,x0=420000,x20=0
（3）算法的选择
这是一个典型的非线性方程的求解问题，在此使用Newton迭代法求近似解。
即运用迭代公式：
（4）计算过程及MATLAB程序
%HouseLoanNewton
x0=0.2
x1=x0-（420*x0*（1+x0）^20-60*（（1+x0）^20-1））/（420*（1+x0）^20+8400*x0*（1+x0）^19-1200*（1+x0）^19）。
n=1。
while（abs（x1-x0）>
=1.0e-6）&
（n<
=100）
x0=x1。
n=n+1。
end
x1
N
MATLAB程序截图
（5）计算结果与分析
由计算结果可以看出，Newton迭代收敛速度很快，仅通过7次计算便得到了所需进度的近似解。
2．线性方程组的数值解法
……………配置指定成分合金
（1）问题描述
先要求配置某种合金，其成分为Al-Hg-Ge-Pb，要求利用已有的Al-Hg-Ge-Pb合金、Al-Hg-Ge合金、Al-Pb合金和纯Al配置。
其原料成分和目标成分要求如下表：
元素
中间合金（wt%）
目标合金（wt%）
Al-Hg-Ge-Pb
Al-Hg-Ge
Al-Pb
Al
40
80
50
67
Hg
30
10
\
15
Ge
8
Pb
若现在欲配置100kg目标成分的Al-Hg-Ge-Pb合金，需要准备多少上述中间合金。
为了搭配合理，我们假设3种不同的中间合金的质量分别为x1、x2、x3，纯Al的质量为x4，单位为kg。
得到如下方程组：
0.4x1+0.8x2+0.5x3+x4=67
0.3x1+0.1x2=15
0.15x1+0.1x2=8
0.15x1+0.5x3=10
将上面的方程组写成矩阵的形式为：
aX=b
其中，
，，
模型假设：
以上数据真实有效
由此该问题的模型可以建立如下：
可见解上述问题就需要对上面这个线性方程组进行求解。
（3）算法选择
在此选择的算法为Jacobi迭代算法，同时与矩阵直接除法即精确解做对比。
Jacobi迭代公式为：
（4）计算流程与MATLAB程序
%Jacobi迭代法
x0=[0,0,0,0]。
x1=[1,1,1,1]。
i=1。
whilenorm（x1-x0）>
=0.001&
&
i<
100
x1
（1）=1/0.3*（-0.1*x0
（2）+15）。
x1
（2）=1/0.1*（-0.15*x0
（1）+8）。
x1（3）=1/0.5*（-0.15*x0
（1）+10）。
x1（4）=1/1*（-0.4*x0
（1）-0.8*x0
（2）-0.5*x0（3）+67）。
i=i+1。
i
%直接除法
a=[0.40.80.51
0.30.100
0.150.100
0.1500.50]。
b=[6715810]’。
x=a\b
MATLAB程序截图：
（5）计算结果与分析
由结果可见，经过37次迭代，Jacobi迭代法产生了足够精确的结果（误差小于0.001）。
与精确解对比，已经足以完成原先的合金配置要求。
同时为了确保Jacobi迭代矩阵的收敛，在编程的时候将方程组中的各方程顺序做了适当的调整。
……………产品的合格检验
因工作需要，某厂购买了两批铝合金板。
为了确保最终产品尺寸稳定，需要确保两批板材厚度差异不大。
现分别在从两批板材中各抽取10块铝合金板作为样本，分别命名为A组和B组。
A：
30.4，30.2，30.1，29.9，29.7，30.1，30.4，30.0，29.6，29.5
B：
29.9，30.3，30.1，30.1，29.5，29.8，30.0，30.2，29.5，30.2
问两批铝合金板厚度是否相同。
（2）建立模型
做出以下假设：
两个样本相互独立。
A、B两样本数据分别来自正态分布总体，且样本方差相同，记为N（μ1，σ2）N（μ2，σ2）,μ1、μ2、σ2均未知。
取α=0.05
解题分析如下：
假设：
H0：
μ1=μ2
H1：
μ1≠μ2
由于σ1=σ2=σ未知，选取统计量为
其拒绝域为
x=[30.430.230.129.929.730.130.430.029.629.5]。
y=[29.930.330.130.129.529.830.030.229.530.2]。
[H,sig,ci]=ttest2（x,y,0.05,-1）
H=
0
sig=
0.5874
ci=
-Inf0.2621
MATLAB程序截图:
由MATLAB计算所得：
H=0，即可认为在置信区间α=0.05的显著水平下，假设成立。
所以可以得出结论，及两批铝合金板厚度一致。
4.插值与拟合算法
……………晶粒尺寸与退火时间的关系
对于金属材料而言，晶粒尺寸决定了材料的诸多性能，所以在实验中我们往往希望得到预期的晶粒尺寸。
而对变形铝合金而言，晶粒尺寸又与加工后的退火时间有着密切的关系。
现在通过实验测得某种铝合金经过一定量的形变后置于460℃下退火，测得不同退货时间的晶粒尺寸如下表
时间（h）
0.5
1
1.5
2
3
4
5
6
尺寸（μm）
53
102
160
202
413
577
624
642
现要求绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，并求得退火时间为2.5小时时晶粒尺寸的大小。
为绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，必须求得实验所测试的两个时间段中间的晶粒尺寸。
为此必须使用插值来求得近似的函数曲线。
使用差商算法，并与三次样条插值算法进行比较。
在此令，即自然条件作为限制。
在此选用的2阶Newton基本插值多项式为：
（4）计算流程与MATLAB程序：
%Newton
a=[0.511.523456]。
b=[52102160202413577624642]。
f01=1:
1:
7。
f012=1:
6。
fori=1:
7
f01（i）=（b（i+1）-b（i））/（a（i+1）-a（i））。
f012（i）=（f01（i+1）-f01（i））/（a（i+2）-a（i））。
fori=0:
0.01:
x（n）=2+i。
y（n）=b（4）+f01（4）*（x（n）-a（4））+f012（4）*（x（n）-a（4））*（x（n）-a（5））。
plot（x,y）
%spline
a0=0.5:
0.1:
8。
b0=spline（a,b,a0）。
x=spline（a,b,2.5）
plot（a0,b0）。
holdon。
plot（2.5,x,’-o’）
对于Newton差商插值多项式计算了退火时间从2小时到3小时这段区域，图形接近于线性增长。
由样条插值曲线图分析可知，晶粒尺寸随退火时间的改变而近似线性地增长，直到一定尺寸后变化区域平缓。
同时根据计算结果，可知在2.5小时的退货时间下，晶粒尺寸约为294.6nm。
……………镁合金析氢与时间关系
镁合金海水激活电池的一个重要性能指标便是析氢速率。
现在通过实验制备得到了某种镁合金，并将其置于NaCl溶液中，通过排水法收集氢气，建立其析氢量与时间之间的关系。
其实验数据如下：
时间/h
析氢/ml
0.9
2.1
3.8
6.2
9.0
11.8
已知析氢量与时间为线性关系，现欲求出析氢量与与时间的函数关系。
这是典型的一元线性回归问题，其模型为。
通过极大似然估计可得：
。
其中，。
通过MATLAB编程可以很容易地求得上述未知量，从而得到未知参数a,b的估计值。
x=1:
y=[0.92.13.86.29.011.8]。
x0=mean（x）。
y0=mean（y）。
lxx=0。
lxy=0。
lxx=（x（i）-x0）^2+lxx。
lxy=（x（i）-x0）*（y（i）-y0）+lxy。
b=lxy/lxx。
a=y0-b*x0。
a
b
n=1:
m=a+b*n。
plot（x,y,'
*'
）
holdon
plot（n,m）
显然两者的函数关系为。
由此关系可以预测任意时间下该种镁合金在NaCl溶液中的析氢量。
……………人口统计模型
某城市2013年的人口密度近似为，P（r）表示距离市中心r公里区域内的人口数，单位为美平方公里10万人。
试求距离市中心2公里区域内的人口数。
假设从城市中心到2公里范围是由无数个非常小的同心圆环组成的，每一个环的宽度很小，以至于在环内人口密度可以看成常数P（rj）。
那么就可以得到所求的人口数：
分别使用分段的梯形公式和Simpson公式对原函数进行积分。
表达式分别为和。
functiony=fc（x）
y=8*pi*x/（x^2+20）。
s1=0。
s2=0。
1.9
s2=s2+0.1/6*（fc（i）+4*fc（（i+i+0.1）/2）+fc（i+0.1））。
s1=s1+0.05*（fc（i）+fc（i+0.1））。
s2
s1
该积分的精确解为4πln2.4，约等于2.291，而Simpson算法的结果也为2.291，梯形算法的结果为2.197。
由此可见，当分段较少时，Simpson算法比梯形算法精确。
当分段区间变为0.01时，两者的输出结果都为2.291。
所以，在已知被积函数表达式时，这两者都具有简单、易于实现等优点。
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