四年级数学思维训练Word格式文档下载.docx

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　　=（1348-48）+（2234-234）-（76＋24）

　　=1300＋2000-100＝3200。

4.加补凑整法

例4：

（1）512-382；

（2）6854-876-97；

（3）397-146＋288-339。

（1）512-382=（500＋12）-（400-18）

　　=500+12-400+18

　　＝（500-400）＋（12＋18）

　　＝100＋30＝130；

（2）6854-876-97

　　=6854-（1000-124）-（100-3）

　　=6854-1000＋124-100＋3

　　=5854+24+3＝5881；

（3）397-146＋288-339

　　＝397＋3-3-146＋288＋12-12-339

　　＝（397＋3）＋（288＋12）-（146＋3＋12＋339）

　　＝400＋300-500=200。

课堂练习1

巧算下列各题：

1.42＋71＋24＋29＋58。

2.43+（38＋45）＋（55＋62＋57）。

3.698＋784＋158。

4.3993+2996+7994＋135。

5.4356＋1287-356。

6.526-73-27-26。

7.4253-（253-158）。

8.1457-（185＋457）。

9.389-497＋234。

10.698-154+269+787。

第2课横式数字谜

在一个数学式子（横式或竖式）中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。

解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。

例如，求算式324+□=528中□所代表的数。

根据“加数=和-另一个加数”知，

□=582-324＝258。

又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。

显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；

由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。

解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。

解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：

（1）一个加数+另一个加数=和；

（2）被减数-减数=差；

（3）被乘数×

乘数=积；

（4）被除数÷

除数=商。

由它们推演还可以得到以下运算规则：

由

（1），得和-一个加数=另一个加数；

其次，要熟悉数字运算和拆分。

例如，8可用加法拆分为：

8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；

24可用乘法拆分为：

　24＝1×

24=2×

12＝3×

8＝4×

6（两个数之积）

　　=1×

2×

12＝2×

6=…（三个数之积）

6＝2×

3=…（四个数之积）

下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？

（1）□+5＝13-6；

（2）28-○＝15＋7；

（3）3×

△=54；

（4）☆÷

3＝87；

（5）56÷

*＝7。

（1）由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；

（2）由减法运算规则知，○＝28-（15＋7）＝6；

（3）由乘法运算规则知，△＝54÷

3＝18；

（4）由除法运算规则知，☆=87×

3＝261；

（5）由除法运算规则知，*＝56÷

7＝8。

例2：

下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？

（1）□+□+□=48；

（2）○＋○＋6＝21-○；

（3）5×

△-18÷

6＝12；

（4）6×

3-45÷

☆＝13。

（1）□表示一个数，根据乘法的意义知，　□+□+□=□×

3，

　　故□=48÷

3＝16。

（2）先把左端（○＋○＋6）看成一个数，就有（○＋○＋6）＋○＝21，○×

3＝21-6，

　　○＝15÷

3＝5。

（3）把5×

△，18÷

6分别看成一个数，得到5×

△=12＋18÷

6，

　　5×

△=15，　　△=15÷

5＝3。

（4）把6×

3，45÷

☆分别看成一个数，得到　45÷

☆＝6×

3-13，

　　45÷

☆＝5，　☆＝45÷

5＝9。

例3:

（1）满足58＜12×

□＜71的整数□等于几？

（2）180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？

试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。

180=□×

□×

□。

（3）若数□，△满足　　□×

△=48和□÷

△=3，　　则□，△各等于多少？

（1）因为　58÷

12＝4……10，71÷

12＝5……11，并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。

（2）拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如：

180＝1×

4×

5×

90＝1×

3×

30＝…但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如：

80＝2×

9＝2×

6＝…若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。

按从小到大的次序排列只有下面一种：

180＝2×

6。

所以填的四个数字依次为2，3，5，6。

（3）首先，由□÷

△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有48＝48×

1＝24×

2＝16×

3＝12×

4＝8×

6，其中，只有48＝12×

4中，12÷

4=3，因此　□=12，△=4。

这道题还可以这样解：

由□÷

△=3知，□=△×

3。

把□×

△=48中的□换成△×

3，就有（△×

3）×

△＝48，于是得到△×

△=48÷

因为16＝4×

4，所以△=4。

再把□=△×

3中的△换成4，就有□=△×

3=4×

3=12。

这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。

下面，我们再结合例题课一类“填运算符号”问题。

例4:

在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：

（1）4444＝24；

（2）55555=6。

解：

（1）因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×

”。

4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：

4＋4＋4＝24；

　4＋4×

4＋4＝24；

4＋4＋4×

4＝24。

（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个

“÷

”，有如下填法：

5÷

5+5-5+5＝6；

5＋5÷

5＋5-5＝6；

5＋5×

5=6；

5＝6。

由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。

这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。

例5:

在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：

　　823＝33。

首先考察右端“33”，它有四种填法：

　　3+3＝6；

3-3＝0；

　　3×

3＝9；

3÷

3=1。

再考察左端“823”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×

经试算，只有两种符合题意的填法：

　　8-2＋3＝3×

3；

8÷

2-3＝3÷

填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。

课堂练习2

1.在下列各式中，□分别代表什么数？

　　□+16＝35；

47-□=12；

□-3＝15；

　　4×

□=36；

□÷

4=15；

84÷

□=4。

2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？

　　（□+350）÷

3=200；

（54-○）×

4＝0；

　　360-△×

7＝10；

4×

9-☆÷

5=1。

3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？

　　150-□-□=□；

　　○×

○＝○＋○；

　　△×

9＋2×

△=22。

4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？

试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：

　　120＝□×

5.若数□，△同时满足

　　□×

△=36和□-△=5，

　　则□，△各等于多少？

6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：

（1）55555＝3；

（2）1234＝1。

7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：

　　12□4□4=10□3。

8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：

　　123□45□67□89＝100；

　　123□45□67□8□9＝100；

　　123□4□5□67□89＝100；

　　123□4□5□6□7□8□9＝100；

　　12□3□4□5□67□8□9＝100；

　　1□23□4□56□7□8□9＝100；

　　12□3□4□5□6□7□89＝100。

第3课竖式数字谜

本课只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。

掌握好乘、除法的基本运算规则是解乘、除法竖式谜的基础。

根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。

在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。

由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。

因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9（这是问题的“突破口”），被乘数的个位数是5。

　因为7×

9＜70＜8×

9，所以，被乘数的百位数字只能是7。

至此，求出被乘数是785，乘数是9（见右上式）。

在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。

由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。

乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由

可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。

到底是哪一个呢？

我们只能逐一进行试算：

（1）若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5（因4+5=9）。

这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。

这说明乘数不能是6。

（2）若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。

与

（1）分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。

得到符合题意的填法如右式。

（3）若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。

为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。

当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。

当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。

（4）若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。

为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。

而此时，积的最高两位是3

，不合题意。

综上知，符合题意的填法有上面两种。

　除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。

例3：

在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。

由48÷

8=6即8×

6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。

又显然，被除数的十位填1。

由1□=商的个位×

8知，两位数1□能被8除尽，只有16÷

8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。

填法如右上式。

例3是从最高位数入手分析而得出解的。

在右边除法竖式的□中填入合适的数字。

使竖式成立。

从已知的几个数入手分析。

首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。

由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×

4=12，8×

4=32，推知，除数必为3或8。

由于已经知道除数＞5，故除数=8。

（这是关键！

）从8×

4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。

从除数为8，第一步除法又出现了4，8×

8=64，8×

3=24，这说明商的千位只能填8或3。

试算知，8和3都可以。

所以，此题有下面两种填法。

课堂练习3

1.在下列各竖式的□里填上合适的数：

2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？

3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？

第4课找规律

这一课我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如，

（1）1，2，3，4，5，6，…

（2）1，2，4，8，16，32；

（3）1，0，0，1，0，0，1，…（4）1，1，2，3，5，8，13。

一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。

如，数列

（1）的第3项是3，数列

（2）的第3项是4。

一般地，我们将数列的第n项记作an。

数列中的数可以是有限多个，如数列

（2）（4），也可以是无限多个，如数列

（1）（3）。

许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一课就是课如何发现这些规律。

数列

（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：

后项=前项+1或第n项an＝n。

数列

（2）的规律是：

后项=前项×

2，或第n项

数列（3）的规律是：

“1，0，0”周而复始地出现。

数列（4）的规律是：

从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：

第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。

例如数列

（1）

（2）。

第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。

例如数列（3）（4）。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。

这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）4，7，10，13，（），…

（2）84，72，60，（），（）；

（3）2，6，18，（），（），…

（4）625，125，25，（），（）；

（5）1，4，9，16，（），…（6）2，6，12，20，（），（），…

通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现

（1）的规律是：

前项+3=后项。

所以应填16。

（2）的规律是：

前项-12=后项。

所以应填48，36。

（3）的规律是：

前项×

3=后项。

所以应填54，162。

（4）的规律是：

前项÷

5=后项。

所以应填5，1。

（5）的规律是：

数列各项依次为1=1×

1，4=2×

2，9=3×

3，16=4×

4，所以应填5×

5=25。

（6）的规律是：

数列各项依次为2=1×

2，6=2×

3，12=3×

4，20=4×

5，所以，应填5×

6=30，6×

7=42。

说明：

本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。

各数列的第n项分别可以表示为

（1）an＝3n+1；

（2）an＝96-12n；

（3）an＝2×

3n-1；

（4）an＝55-n；

（5）an＝n2；

（6）an＝n（n+1）。

这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列

（1）的第100项等于3×

100+1=301。

本例中，数列

（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。

（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；

（2）（），（），10，5，12，6，14，7；

（3）3，7，10，17，27，（）；

（4）1，2，2，4，8，32，（）。

通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。

（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：

前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。

（2）把后面已知的六个数分成三组：

10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。

（3）这个数列的规律是：

前面两项的和等于后面一项，故应填（17+27=）44。

（4）这个数列的规律是：

前面两项的乘积等于后面一项，故应填（8×

32=）256。

找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）18，20，24，30，（）；

（2）11，12，14，18，26，（）；

（3）2，5，11，23，47，（），（）。

（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。

（2）12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。

因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。

（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项×

2+1，所以

　　a6=2a5+1＝2×

47+1＝95，

　　a7＝2a6+1＝2×

95+1=191。

例4：

（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；

（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。

（1）数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；

数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。

故应填27，60。

（2）如

（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；

由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。

故应填11，2。

课堂练习4

按其规律在下列各数列的（）内填数。

1.56，49，42，35，（）。

2.11，15，19，23，（），…

3.3，6，12，24，（）。

4.2，3，5，9，17，（），…

5.1，3，4，7，11，（）。

6.1，3，7，13，21，（）。

7.3，5，3，10，3，15，（），（）。

8.8，3，9，4，10，5，（），（）。

9.2，5，10，17，26，（）。

第5课加减法应用题

用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”。

应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。

这一课主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。

小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只。

小玲家养了多少只鹅？

将已知条件表示为下图：

表示为算式是：

24+？

=46+5。

由此可求得养鹅

　　（46+5）-24=27（只）。

　　答：

养鹅27只。

　　若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只（其它不变），则已知条件可表示为下图，

　　表示为算式是：

+5=46。

　　46-5-24=17（只）。

例2:

一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。

如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。

原来梨筐里有多少个梨？

分析：

根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。

有几种思考方法：

（1）根据取走18个梨后，梨比苹果少12个，先求出梨筐里现有梨52-12=40（个），再求出原有梨

　　（52-12）+18=58（个）。

（2）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52个。

这样就可先求出原有梨比苹果多18-12＝6（个），再求出原有梨

　　52+（18-12）=58（个）。

（3）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果

　　52+18=70（个）。

　　这样一来，现有苹果就比原来的梨多了12个（见下图）。

由此可求出原有梨（52+18）-12=58（个）。

由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。

　　解法1：

（52-12）+18=58（个）。

　　解法2：

52+（18-12）=58（个）。

　　解法3：

（52+18）-12=58（个）。

原来梨筐中有58个梨。

例3:

某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。

已知水果糖比小白兔软糖多15块，巧克力糖比水果糖多28块。

又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍。

三年级一班共买了多少块糖果？

只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。

先求出哪一种糖的块数最简便呢？

我们先把已知条件表示为下图。

　由上图可求出，

　　小白兔软糖块数=15+28=43（块），

　　水果糖块数=43+15=58（块），

　　巧克力糖块数=43×

2=86（块）。

　　糖果总数=43+58+8